دالة كثافة الاحتمال

في نظرية الاحتمالات ، تُعرف دالة كثافة الاحتمال ( PDF )، أو دالة الكثافة ، أو ببساطة كثافة متغير عشوائي متصل تمامًا ، بأنها دالة يمكن تفسير قيمتها عند أي نقطة معينة في فضاء العينة (مجموعة القيم الممكنة التي يأخذها المتغير العشوائي) على أنها تمثل "احتمالًا نسبيًا" لأن تكون قيمة المتغير العشوائي مساوية لتلك النقطة. بعبارة أخرى، كثافة الاحتمال هي الاحتمال لكل وحدة طول. الاحتمال المطلق لمتغير عشوائي متصل أن يأخذ أي قيمة معينة يساوي صفرًا. لذلك، يمكن استخدام قيمة دالة كثافة الاحتمال عند عينتين مختلفتين للاستدلال، في أي سحب معين للمتغير العشوائي، على مدى احتمالية أن يكون المتغير العشوائي أقرب إلى إحدى النقطتين مقارنةً بالأخرى.

بتعبير أدق، تُستخدم دالة كثافة الاحتمال (PDF) لتحديد احتمال وقوع المتغير العشوائي ضمن نطاق معين من القيم ، بدلاً من أن يأخذ قيمة واحدة فقط. يُعطى هذا الاحتمال بتكامل دالة كثافة الاحتمال لمتغير مستمر على ذلك النطاق، حيث يمثل التكامل المساحة غير السالبة أسفل منحنى دالة الكثافة بين أدنى وأعلى قيم النطاق. دالة كثافة الاحتمال غير سالبة في كل مكان، والمساحة أسفل المنحنى بأكمله تساوي واحدًا، وبالتالي فإن احتمال وقوع المتغير العشوائي ضمن مجموعة القيم الممكنة هو 100%.

يمكن أن يشير مصطلحا دالة التوزيع الاحتمالي ودالة الاحتمال إلى دالة كثافة الاحتمال. مع ذلك، لا يُعدّ هذا الاستخدام شائعًا بين علماء الاحتمالات والإحصائيين. في مصادر أخرى، يُستخدم مصطلح "دالة التوزيع الاحتمالي" عندما يُعرَّف التوزيع الاحتمالي كدالة على مجموعات عامة من القيم، أو قد يُشير إلى دالة التوزيع التراكمي (CDF)، أو قد يكون دالة كتلة احتمالية (PMF) بدلًا من دالة الكثافة. كما تُستخدم دالة الكثافة نفسها للإشارة إلى دالة الكتلة الاحتمالية، مما يُؤدي إلى مزيد من الالتباس. ^{[ 2 ]} عمومًا، تُستخدم دالة الكتلة الاحتمالية في سياق المتغيرات العشوائية المنفصلة (المتغيرات العشوائية التي تأخذ قيمًا على مجموعة قابلة للعد )، بينما تُستخدم دالة كثافة الاحتمال في سياق المتغيرات العشوائية المستمرة. تُعدّ كل من دالة الكتلة الاحتمالية ودالة كثافة الاحتمال مفاهيم أساسية في الاستدلال الإحصائي .

مثال

لنفترض أن بكتيريا من نوع معين تعيش عادةً من 20 إلى 30 ساعة. احتمال أن تعيش بكتيريا ما 5 ساعات بالضبط يساوي صفرًا (نتحدث هنا عن متغير حقيقي مثالي، وليس عن الملاحظة المسجلة). تعيش العديد من البكتيريا لمدة 5 ساعات تقريبًا، ولكن لا توجد فرصة لأن تموت أي بكتيريا معينة عند 5.00... ساعة بالضبط (مقاسة بدقة متناهية). مع ذلك، يمكن تحديد احتمال موت البكتيريا بين 5 ساعات و5.01 ساعة. لنفترض أن الإجابة هي 0.02 (أي 2%). عندئذٍ، يجب أن يكون احتمال موت البكتيريا بين 5 ساعات و5.001 ساعة حوالي 0.002، لأن هذه الفترة الزمنية تُعادل عُشر الفترة السابقة. يجب أن يكون احتمال موت البكتيريا بين 5 ساعات و5.0001 ساعة حوالي 0.0002، وهكذا.

في هذا المثال، تكون نسبة (احتمالية الوفاة خلال فترة زمنية) / (مدة الفترة الزمنية) ثابتة تقريبًا، وتساوي 2 لكل ساعة (أو ساعتين⁻¹ ⁾ . على سبيل المثال، هناك احتمال 0.02 للوفاة في الفترة الزمنية التي تبلغ 0.01 ساعة بين 5 و5.01 ساعة، و(0.02 احتمالية / 0.01 ساعة) = ساعتين⁻¹ ^.^تُسمى هذه الكمية ساعتين⁻¹ بكثافة الاحتمال للوفاة في حوالي 5 ساعات. لذلك، يمكن كتابة احتمالية وفاة البكتيريا في 5 ساعات على النحو التالي: (ساعتين⁻¹ ⁾ dt . هذا هو احتمالية وفاة البكتيريا خلال فترة زمنية متناهية الصغر حول 5 ساعات، حيث dt هي مدة هذه الفترة. على سبيل المثال، احتمال أن يعيش لأكثر من 5 ساعات، ولكن أقل من (5 ساعات + 1 نانوثانية)، هو (ساعتان ^{- 1} ) × (1 نانوثانية) ≈6 × 10 ⁻¹³ (باستخدام تحويل الوحدات)3.6 × 10 ¹² نانوثانية = ساعة واحدة).

توجد دالة كثافة احتمالية f حيث f (5 ساعات) = 2 ساعة ⁻¹ . تكامل f على أي فترة زمنية (ليس فقط الفترات الزمنية المتناهية الصغر ولكن أيضًا الفترات الزمنية الكبيرة) هو احتمال موت البكتيريا في تلك الفترة.

التوزيعات أحادية المتغير المستمرة تمامًا

ترتبط دالة كثافة الاحتمال عادةً بالتوزيعات أحادية المتغير المستمرة تمامًا . المتغير العشوائي $X$ كثافة عالية $f_{X}$ ، أين $f_{X}$ تكون دالة قابلة للتكامل وفقًا لمقياس ليبيغ غير سالبة ، إذا: $\Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.$

وبالتالي، إذا $F_{X}$ هي دالة التوزيع التراكمي لـ $X$ ، ثم: $F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(u)\,du,$ و (إذا $F_{X}$ قابلة للتفاضل عند $x$ ) $f_{X}(x)={\frac {d}{dx}}F_{X}(x).$

بشكل بديهي، يمكن للمرء أن يفكر في $f_{X}(x)\,dx$ باعتبارها احتمالية $X$ يقع ضمن الفترة المتناهية الصغر $[x,x+dx]$ .

التعريف الرسمي

( يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل أي توزيع احتمالي باستخدام التعريف النظري للاحتمال . )

متغير عشوائي $X$ بقيم في حيز قابل للقياس $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ (عادة $\mathbb {R} ^{n}$ (مع اعتبار مجموعات بوريل مجموعات فرعية قابلة للقياس) يكون لها توزيع احتمالي هو مقياس الدفع الأمامي X _∗P على $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ : كثافة $X$ فيما يتعلق بمقياس مرجعي $\mu$ على $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ وهو مشتق رادون-نيكوديم : $f={\frac {dX_{*}P}{d\mu }}.$

أي أن f هي أي دالة قابلة للقياس تتمتع بالخاصية التالية: $\Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu$ لأي مجموعة قابلة للقياس $A\in {\mathcal {A}}.$

مناقشة

في حالة المتغير الواحد المستمر المذكورة أعلاه ، يكون المقياس المرجعي هو مقياس ليبيغ . دالة الكتلة الاحتمالية لمتغير عشوائي منفصل هي الكثافة بالنسبة لمقياس العد على فضاء العينة (عادةً مجموعة الأعداد الصحيحة ، أو مجموعة جزئية منها).

لا يمكن تعريف دالة كثافة احتمالية بالرجوع إلى مقياس اعتباطي (على سبيل المثال، لا يمكن اختيار مقياس العد كمرجع لمتغير عشوائي مستمر). علاوة على ذلك، عندما توجد هذه الدالة، فإنها تكاد تكون فريدة، أي أن أي دالتين من هذا النوع تتطابقان تقريبًا في كل مكان .

مزيد من التفاصيل

على عكس الاحتمال، يمكن أن تأخذ دالة كثافة الاحتمال قيمًا أكبر من واحد؛ على سبيل المثال، التوزيع المنتظم المستمر على الفترة $[0، 1/2]$ له كثافة احتمال $f (x) = 2$ لـ $0 \leq x \leq 1/2$ و $f (x) = 0$ في أي مكان آخر.

التوزيع الطبيعي القياسي له كثافة احتمالية $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2}.$

إذا عُرِفَ متغير عشوائي $X$ وكان توزيعه يقبل دالة كثافة احتمالية $f$ ، فإنه يمكن حساب القيمة المتوقعة لـ $X$ (إن وُجِدَت القيمة المتوقعة) على النحو التالي: $\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.$

ليس لكل توزيع احتمالي دالة كثافة: توزيعات المتغيرات العشوائية المنفصلة ليس لها دالة كثافة؛ ولا توزيع كانتور ، على الرغم من أنه ليس له مكون منفصل، أي أنه لا يخصص احتمالًا موجبًا لأي نقطة فردية.

يكون للتوزيع دالة كثافة إذا كانت دالة التوزيع التراكمي $F (x)$ متصلة اتصالاً مطلقاً . ^{[ 3 ]} في هذه الحالة: $F$ قابلة للتفاضل في كل مكان تقريباً ، ويمكن استخدام مشتقتها كدالة كثافة احتمالية. ${\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).$

إذا كان توزيع الاحتمالات يقبل كثافة، فإن احتمال كل مجموعة مكونة من نقطة واحدة ${a}$ يساوي صفرًا؛ وينطبق الشيء نفسه على المجموعات المحدودة والقابلة للعد.

يمثل توزيعا الاحتمال $f$ و $g$ نفس توزيع الاحتمال تمامًا إذا اختلفا فقط على مجموعة من قياس Lebesgue الصفري .

في مجال الفيزياء الإحصائية ، يُستخدم عادةً تعريفٌ غير رسمي للعلاقة المذكورة أعلاه بين مشتقة دالة التوزيع التراكمي ودالة كثافة الاحتمال. وهذا التعريف البديل هو كالتالي:

إذا كان $dt$ عددًا صغيرًا جدًا، فإن احتمال أن يكون $X$ مدرجًا ضمن الفترة $(t ، t + dt)$ يساوي $f (t) dt$ ، أو: $\Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt.$

العلاقة بين التوزيعات المنفصلة والمتصلة

من الممكن تمثيل بعض المتغيرات العشوائية المنفصلة، وكذلك المتغيرات العشوائية التي تتضمن جزءًا متصلًا وآخر منفصلًا، بدالة كثافة احتمالية معممة باستخدام دالة ديراك دلتا . (لا يمكن تحقيق ذلك باستخدام دالة كثافة احتمالية بالمعنى المحدد أعلاه، بل يمكن تحقيقه باستخدام توزيع ) . على سبيل المثال، لنفترض متغيرًا عشوائيًا منفصلًا ثنائيًا يتبع توزيع رادماخر ، أي يأخذ القيمتين -1 أو 1 باحتمال 1/2 لكل منهما. كثافة الاحتمال المرتبطة بهذا المتغير هي: $f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).$

وبشكل أعم، إذا كان بإمكان متغير منفصل أن يأخذ $n$ قيمة مختلفة بين الأعداد الحقيقية، فإن دالة كثافة الاحتمال المرتبطة به هي: $f(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\delta (t-x_{i}),$ أين $x_{1},\ldots ,x_{n}$ هل القيم المنفصلة متاحة للمتغير و $p_{1},\ldots ,p_{n}$ هي الاحتمالات المرتبطة بهذه القيم.

يُوحّد هذا بشكلٍ كبير معالجة التوزيعات الاحتمالية المنفصلة والمتصلة. يسمح التعبير أعلاه بتحديد الخصائص الإحصائية لمتغير منفصل (مثل المتوسط والتباين والتفرطح ) ، انطلاقًا من الصيغ المُعطاة للتوزيع الاحتمالي المتصل.

عائلات الكثافات

من الشائع أن تكون دوال كثافة الاحتمال ( ودوال كتلة الاحتمال ) مُعَلمة، أي أن تُوصف بمعاملات غير محددة . على سبيل المثال، يُعَلم التوزيع الطبيعي بدلالة المتوسط والتباين ، ويُرمز لهما بـ $\mu$ و $\sigma ^{2}$ على التوالي، مما يعطي عائلة الكثافات $f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.$ تصف القيم المختلفة للمعاملات توزيعات مختلفة لمتغيرات عشوائية مختلفة على نفس فضاء العينة (نفس مجموعة جميع القيم الممكنة للمتغير)؛ ويُعدّ فضاء العينة هذا مجال عائلة المتغيرات العشوائية التي تصفها هذه العائلة من التوزيعات. تصف مجموعة معينة من المعاملات توزيعًا واحدًا ضمن العائلة، يشترك معها في الشكل الوظيفي للدالة الكثافة. من منظور توزيع معين، تُعتبر المعاملات ثوابت، وتُعدّ الحدود في دالة الكثافة التي تحتوي على معاملات فقط، دون متغيرات، جزءًا من عامل التوحيد للتوزيع (العامل المضاعف الذي يضمن أن المساحة تحت منحنى الكثافة - أي احتمال وقوع حدث ما في المجال - تساوي 1). يقع عامل التوحيد هذا خارج نواة التوزيع.

بما أن المعلمات ثابتة، فإن إعادة تحديد معلمات الكثافة بدلالة معلمات مختلفة لإعطاء توصيف لمتغير عشوائي مختلف في العائلة، يعني ببساطة استبدال قيم المعلمات الجديدة في الصيغة بدلاً من القيم القديمة.

الكثافات المرتبطة بمتغيرات متعددة

بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة $X1 ، ...، Xn ،$ من الممكن أيضًا تعريف دالة كثافة احتمالية مرتبطة بالمجموعة ككل، والتي تُسمى غالبًا دالة الكثافة الاحتمالية المشتركة . تُعرَّف دالة الكثافة هذه كدالة للمتغيرات $n$ ، بحيث يكون احتمال وقوع أي قيمة من قيم مجموعة المتغيرات داخل المجال D لأي مجال D في الفضاء ذي $الأبعاد$ $n$ لقيم $المتغيرات$ X1 $، ... ، Xn هو$ $\Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}.$

إذا كانت $F$ $(x1, ...$ $,$ $xn$ $)$ $= Pr($ $X1 \leq x1, ..., Xn \leq xn$ $)$ $هي$ $دالة$ $التوزيع$ $التراكمي$ $للمتجه$ $($ $X1$ , $...$ , Xn $) ، فإنه يمكن حساب$ $دالة$ $كثافة$ الاحتمال المشتركة كمشتقة جزئية $.$ $f(x)=\left.{\frac {\partial ^{n}F}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}\right|_{x}$

الكثافات الحدية

لكل $i = 1، 2، ...، n$ ، ليكن $f X i (x i)$ دالة كثافة الاحتمال المرتبطة بالمتغير $X i$ وحده. تُسمى هذه الدالة دالة الكثافة الحدية، ويمكن استنتاجها من دالة كثافة الاحتمال المرتبطة بالمتغيرات العشوائية $X 1 ، ...، X n$ عن طريق التكامل على جميع قيم المتغيرات الأخرى $n - 1$ . $f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}.$

استقلال

تكون المتغيرات العشوائية المستمرة $X1 ، ...، Xn$ التي تقبل دالة كثافة مشتركة مستقلة $عن$ بعضها البعض إذا $f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).$

نتيجة

إذا أمكن تحليل دالة كثافة الاحتمال المشتركة لمتجه من $n$ متغير عشوائي إلى حاصل ضرب $n$ دالة لمتغير واحد $f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),$ (حيث لا يُشترط أن تكون كل دالة كثافة $احتمالية$ $fᵢ$ دالة كثافة احتمالية) عندئذٍ تكون المتغيرات $n$ في المجموعة مستقلة عن بعضها البعض، وتُعطى دالة كثافة الاحتمال الهامشية لكل منها بواسطة $f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(x_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.$

مثال

يوضح هذا المثال البسيط التعريف المذكور أعلاه لدوال كثافة الاحتمال متعددة الأبعاد في الحالة البسيطة لدالة لمجموعة من متغيرين. لنسميها ${\vec {R}}$ متجه عشوائي ثنائي الأبعاد للإحداثيات $(X ، Y)$ : احتمال الحصول على ${\vec {R}}$ في ربع المستوى ذي الإحداثيات الموجبة $x$ و $y$ هو $\Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.$

دالة المتغيرات العشوائية وتغير المتغيرات في دالة كثافة الاحتمال

إذا كانت دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي (أو متجه) $X$ معطاة بالصيغة $f(X (x))$ ، فمن الممكن (ولكن ليس بالضرورة في كثير من الأحيان؛ انظر أدناه) حساب دالة كثافة الاحتمال لمتغير ما $Y = g (X)$ . يُطلق على هذا أيضًا اسم "تغيير المتغير"، ويُستخدم عمليًا لتوليد متغير عشوائي ذي شكل عشوائي $f(g (X)) = f(Y)$ باستخدام مولد أرقام عشوائية معروف (على سبيل المثال، منتظم).

قد يتبادر إلى الذهن أنه لإيجاد القيمة المتوقعة $E(g (X))$ ، يجب أولاً إيجاد دالة كثافة الاحتمال $fg (X)$ للمتغير العشوائي الجديد $Y = g (X) . ومع ذلك$ $،$ بدلاً من حساب $\operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }yf_{g(X)}(y)\,dy,$ قد يجد المرء بدلاً من ذلك $\operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx.$

تتساوى قيم التكاملين في جميع الحالات التي يكون فيها لكل من $X$ و $g (X)$ دالتا كثافة احتمالية. ليس من الضروري أن تكون $g$ دالة أحادية . في بعض الحالات، يكون حساب التكامل الثاني أسهل بكثير من حساب التكامل الأول. انظر قانون الإحصائي اللاواعي .

من قيمة قياسية إلى قيمة قياسية

يترك $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ إذا كانت دالة رتيبة ، فإن دالة الكثافة الناتجة هي ^{[ 4 ]} $f_{Y}(y)=f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|.$

هنا $g -1$ تشير إلى الدالة العكسية .

وينتج هذا عن حقيقة أن الاحتمال الموجود في منطقة تفاضلية يجب أن يكون ثابتًا عند تغيير المتغيرات. أي، $\left|f_{Y}(y)\,dy\right|=\left|f_{X}(x)\,dx\right|,$ أو $f_{Y}(y)=\left|{\frac {dx}{dy}}\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}(x)\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}={\left|\left(g^{-1}\right)'(y)\right|}\cdot f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}.$

بالنسبة للدوال غير الرتيبة، فإن دالة كثافة الاحتمال لـ $y$ هي $\sum _{k=1}^{n(y)}\left|{\frac {d}{dy}}g_{k}^{-1}(y)\right|\cdot f_{X}{\big (}g_{k}^{-1}(y){\big )},$ حيث $n (y)$ هو عدد الحلول في $x$ للمعادلة $g(x)=y$ ، و $g_{k}^{-1}(y)$ هل هذه هي الحلول؟

متجه إلى متجه

لنفترض أن $x$ متغير عشوائي ذو $n$ بُعد وكثافة احتمالية مشتركة $f$ . إذا كان $y = G (x)$ ، حيث $G$ دالة تقابلية قابلة للتفاضل ، فإن $y$ لها كثافة احتمالية $pY$ $.$ $p_{Y}(\mathbf {y} )=f{\Bigl (}G^{-1}(\mathbf {y} ){\Bigr )}\left|\det \left[\left.{\frac {dG^{-1}(\mathbf {z} )}{d\mathbf {z} }}\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\right]\right|$ مع اعتبار التفاضل بمثابة جاكوبيان معكوس $G (\cdot)$ ، الذي تم تقييمه عند $y$ . ^{[ 5 ]}

_على سبيل المثال _، في ^الحالة ثنائية الأبعاد ^x $= ($ ^x1 $,$ $x2$ $)$ $،$ $لنفترض$ $أن$ التحويل $G$ معطى على النحو $التالي$ $:$ $y1 = G1 (x1, x2)$ ، $y2 = G2 (x1$ $,$ $x2$ $)$ $،$ مع معكوسات $:$ $x1$ $=$ $G1-1$ $($ $y1$ $,$ $y2$ $)$ ، $x2 = G2-1$ $($ $y1$ $,$ $y2$ $)$ $.$ التوزيع $المشترك$ $لـ$ $y$ $=$ $($ y1 $,$ $y2$ $)$ $له$ الكثافة $[$ $6$ $]$ $.$ $p_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2})=f_{X_{1},X_{2}}{\big (}G_{1}^{-1}(y_{1},y_{2}),G_{2}^{-1}(y_{1},y_{2}){\big )}\left\vert {\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{2}}}-{\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{2}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{1}}}\right\vert .$

تحويل المتجه إلى عدد قياسي

يترك $V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ أن تكون دالة قابلة للتفاضل و $X$ ليكن متجهًا عشوائيًا يأخذ القيم في $\mathbb {R} ^{n}$ ، $f_{X}$ لتكن دالة كثافة الاحتمال لـ $X$ و $\delta (\cdot )$ لتكن دالة ديراك دلتا . من الممكن استخدام الصيغ أعلاه لتحديد $f_{Y}$ دالة كثافة الاحتمال لـ $Y=V(X)$ والتي سيتم تقديمها بواسطة $f_{Y}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} .$

تؤدي هذه النتيجة إلى قانون الإحصائي اللاواعي : ${\begin{aligned}\operatorname {E} _{Y}[Y]&=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)\,dy\\&=\int _{\mathbb {R} }y\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} \,dy\\&=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,dy\,d\mathbf {x} \\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].\end{aligned}}$

دليل:

يترك $Z$ ليكن متغيرًا عشوائيًا منهارًا بدالة كثافة احتمالية $p_{Z}(z)=\delta (z)$ (أي، ثابت يساوي صفرًا). ليكن المتجه العشوائي ${\tilde {X}}$ والتحول $H$ يُعرَّف بأنه $H(Z,X)={\begin{bmatrix}Z+V(X)\\X\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y\\{\tilde {X}}\end{bmatrix}}.$

من الواضح أن $H$ هي دالة تقابلية، وجاكوبي $H^{-1}$ يُعطى بواسطة: ${\frac {dH^{-1}(y,{\tilde {\mathbf {x} }})}{dy\,d{\tilde {\mathbf {x} }}}}={\begin{bmatrix}1&-{\frac {dV({\tilde {\mathbf {x} }})}{d{\tilde {\mathbf {x} }}}}\\\mathbf {0} _{n\times 1}&\mathbf {I} _{n\times n}\end{bmatrix}},$ وهي مصفوفة مثلثية علوية تحتوي على عناصر تساوي واحدًا على القطر الرئيسي ، وبالتالي فإن محددها يساوي 1. بتطبيق نظرية تغيير المتغير من القسم السابق، نحصل على أن $f_{Y,X}(y,x)=f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )},$ والتي إذا تم تهميشها $x$ يؤدي ذلك إلى دالة كثافة الاحتمال المطلوبة.

مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة

دالة كثافة الاحتمال لمجموع متغيرين عشوائيين مستقلين $U$ و $V$ ، لكل منهما دالة كثافة احتمال، هي التفاف دوال الكثافة المنفصلة الخاصة بهما: $f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy=\left(f_{U}*f_{V}\right)(x)$

من الممكن تعميم العلاقة السابقة إلى مجموع N من المتغيرات العشوائية المستقلة، بكثافات $U 1 ، ... ، U N$ : $f_{U_{1}+\cdots +U}(x)=\left(f_{U_{1}}*\cdots *f_{U_{N}}\right)(x)$

يمكن اشتقاق هذا من تغيير ثنائي الاتجاه للمتغيرات يتضمن $Y = U + V$ و $Z = V$ ، على غرار المثال أدناه لقسمة المتغيرات العشوائية المستقلة.

نواتج وقسمة المتغيرات العشوائية المستقلة

بالنظر إلى متغيرين عشوائيين مستقلين $U$ و $V$ ، لكل منهما دالة كثافة احتمالية ، يمكن حساب كثافة حاصل الضرب $Y = UV$ وقسمة $Y = U / V$ عن طريق تغيير المتغيرات.

مثال: توزيع ناتج القسمة

لحساب ناتج القسمة $Y = U / V$ لمتغيرين عشوائيين مستقلين $U$ و $V$ ، حدد التحويل التالي: ${\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}$

بعد ذلك، يمكن حساب الكثافة المشتركة $p (y, z)$ عن طريق تغيير المتغيرات من U , V إلى Y , Z ، ويمكن اشتقاق $Y$ عن طريق تهميش $Z$ من الكثافة المشتركة.

التحويل العكسي هو ${\begin{aligned}U&=YZ\\V&=Z\end{aligned}}$

القيمة المطلقة لمحدد مصفوفة جاكوبي $J(U,V\mid Y,Z)$ من هذا التحول ما يلي: $\left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial y}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}\\{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}\end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}z&y\\0&1\end{bmatrix}}\right|=|z|.$

هكذا: $p(y,z)=p(u,v)\,J(u,v\mid y,z)=p(u)\,p(v)\,J(u,v\mid y,z)=p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|.$

ويمكن حساب توزيع $Y$ عن طريق استبعاد $Z$ : $p(y)=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz$

تتطلب هذه الطريقة بشكلٍ أساسي أن يكون التحويل من U و V إلى Y و Z تقابليًا . ويحقق التحويل المذكور أعلاه هذا الشرط لأن $Z$ يمكن ربطها مباشرةً بـ $V$ ، وبالنسبة لقيمة $V$ معينة، فإن حاصل قسمة $U على V$ يكون رتيبًا . وينطبق الأمر نفسه على مجموع $U + V$ ، وفرق $U - V،$ وحاصل ضرب $UV$ .

ويمكن استخدام نفس الطريقة تمامًا لحساب توزيع الدوال الأخرى لمتغيرات عشوائية مستقلة متعددة.

مثال: خارج قسمة معيارين طبيعيين

بفرض وجود متغيرين طبيعيين معياريين $U$ و $V$ ، يمكن حساب الناتج كما يلي. أولاً، للمتغيرين دوال الكثافة التالية: ${\begin{aligned}p(u)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{u^{2}}/{2}}\\[1ex]p(v)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{v^{2}}/{2}}\end{aligned}}$

نقوم بالتحويل كما هو موضح أعلاه: ${\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}$

وهذا يؤدي إلى: ${\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}z\,dz\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\right|_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}\end{aligned}}$

هذه هي كثافة توزيع كوشي القياسي .

انظر أيضاً

تقدير الكثافة – تقدير دالة كثافة احتمالية كامنة غير قابلة للملاحظة
التكرار (الإحصاء) - عدد مرات الظهور في تجربة أو دراسة
تقدير كثافة النواة – مفهوم في الإحصاء
دالة الاحتمال – دالة مرتبطة بالإحصاء ونظرية الاحتمالات
قائمة التوزيعات الاحتمالية
سعة الاحتمال – عدد مركب تكون قيمته المطلقة المربعة احتمالًا
دالة الكتلة الاحتمالية – توزيع الاحتمال للمتغيرات المنفصلة
القياس الثانوي - مفهوم في الرياضيات
يستخدم كدالة كثافة احتمالية للموقع :
- المدار الذري – وظيفة تصف الإلكترون في الذرة
- النطاق المنزلي - المنطقة التي يعيش فيها الحيوان ويتحرك فيها

مراجع

↑ "مراجعة إحصاءات AP - منحنيات الكثافة والتوزيعات الطبيعية" . مؤرشف من الأصل في 2 أبريل 2015. تم الاطلاع عليه في 16 مارس 2015 .
↑ أورد، جيه كيه (1972) عائلات توزيعات التردد ، غريفين. ISBN 0-85264-137-0(على سبيل المثال، الجدول 5.1 والمثال 5.4)
↑ سكالاس، إنريكو (2025). مقدمة في نظرية الاحتمالات للاقتصاديين (ملف PDF) . منشور ذاتيًا. ص 28. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 10 ديسمبر 2024. تم الاطلاع عليه في 30 يوليو 2025 .
↑ سيغريست، كايل (5 مايو 2020). "تحويلات المتغيرات العشوائية" . إحصاءات ليبرتيكستس . تم الاسترجاع في 22 ديسمبر 2023 .
↑ ديفور، جاي إل؛ بيرك، كينيث إن. (2007). الإحصاء الرياضي الحديث مع التطبيقات . سينجايج. ص 263. ISBN 978-0-534-40473-4.
↑ ديفيد، ستيرزاكر (2007-01-01). الاحتمالات الأولية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521534284. OCLC 851313783 .

للمزيد من القراءة

بيلينغسلي، باتريك (1979). الاحتمال والقياس . نيويورك، تورنتو، لندن: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-00710-2.
كاسيلا، جورج ؛ بيرغر، روجر ل. (2002). الاستدلال الإحصائي ( الطبعة الثانية). تومسون ليرنينج. الصفحات 34-37 . ISBN 0-534-24312-6.
ستيرزاكر، ديفيد (2003). الاحتمالات الأولية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-42028-8.تتناول الفصول من 7 إلى 9 موضوع المتغيرات المستمرة.

روابط خارجية

أوشاكوف، ن. ج. (2001) [1994]، "كثافة التوزيع الاحتمالي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة كثافة الاحتمال" . عالم الرياضيات .

[1] "مراجعة إحصاءات AP - منحنيات الكثافة والتوزيعات الطبيعية" . مؤرشف من الأصل في 2 أبريل 2015. تم الاطلاع عليه في 16 مارس 2015 .

[2] أورد، جيه كيه (1972) عائلات توزيعات التردد ، غريفين. ISBN 0-85264-137-0(على سبيل المثال، الجدول 5.1 والمثال 5.4)

[3] سكالاس، إنريكو (2025). مقدمة في نظرية الاحتمالات للاقتصاديين (ملف PDF) . منشور ذاتيًا. ص 28. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 10 ديسمبر 2024. تم الاطلاع عليه في 30 يوليو 2025 .

[4] سيغريست، كايل (5 مايو 2020). "تحويلات المتغيرات العشوائية" . إحصاءات ليبرتيكستس . تم الاسترجاع في 22 ديسمبر 2023 .

[5] ديفور، جاي إل؛ بيرك، كينيث إن. (2007). الإحصاء الرياضي الحديث مع التطبيقات . سينجايج. ص 263. ISBN 978-0-534-40473-4.

[6] ديفيد، ستيرزاكر (2007-01-01). الاحتمالات الأولية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521534284. OCLC 851313783 .

.

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

الحالة