جدول الاحتمالات الشرطية

في الإحصاء ، يُعرَّف جدول الاحتمالات الشرطية (CPT) لمجموعة من المتغيرات العشوائية المنفصلة والمترابطة لعرض الاحتمالات الشرطية لمتغير واحد بالنسبة للمتغيرات الأخرى (أي احتمال كل قيمة ممكنة لمتغير واحد إذا عرفنا القيم التي تأخذها المتغيرات الأخرى). على سبيل المثال، لنفترض وجود ثلاثة متغيرات عشوائية.${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$حيث يمتلك كل منهما${\displaystyle K}$الولايات. ثم، جدول الاحتمالات الشرطية لـ${\displaystyle x_{1}}$يوفر قيم الاحتمالية الشرطية${\displaystyle P(x_{1}=a_{k}\mid x_{2},x_{3})}$– حيث الشريط العمودي${\displaystyle |}$يعني "بالنظر إلى قيم" - لكل قيمة من القيم K الممكنة${\displaystyle a_{k}}$من المتغير${\displaystyle x_{1}}$ولكل توليفة ممكنة من قيم${\displaystyle x_{2},\,x_{3}.}$يحتوي هذا الجدول على${\displaystyle K^{3}}$الخلايا. بشكل عام، بالنسبة لـ${\displaystyle M}$المتغيرات${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M}}$مع${\displaystyle K_{i}}$حالات لكل متغير${\displaystyle x_{i},}$يحتوي جدول التقسيم الإجرائي (CPT) لأي منها على عدد من الخلايا يساوي حاصل ضرب${\displaystyle K_{1}K_{2}\cdots K_{M}.}$^{[ 1 ]}

يمكن تحويل جدول الاحتمالات الشرطية إلى شكل مصفوفة . على سبيل المثال، مع متغيرين فقط، تكون قيم${\displaystyle P(x_{1}=a_{k}\mid x_{2}=b_{j})=T_{kj},}$مع قيم k و j التي تتراوح على K قيمة، أنشئ مصفوفة K × K. هذه المصفوفة هي مصفوفة عشوائية لأن مجموع أعمدتها يساوي 1؛ أي${\displaystyle \sum _{k}T_{kj}=1}$لكل j . على سبيل المثال، لنفترض أن متغيرين ثنائيين x و y لهما توزيع الاحتمال المشترك الموضح في هذا الجدول:

تُظهر كل خلية من الخلايا الأربع المركزية احتمالية توليفة معينة من قيم x و y . يُمثل مجموع العمود الأول احتمال أن تكون x = 0 وأن تكون y مساوية لأي من قيمها الممكنة - أي أن مجموع العمود 6/9 هو الاحتمال الهامشي لأن تكون x = 0. إذا أردنا إيجاد احتمالية أن تكون y = 0 بشرط أن تكون x = 0، فإننا نحسب نسبة الاحتمالات في عمود x = 0 التي تحقق القيمة y = 0، وهي 4/9 ÷ 6/9 = 4/6. وبالمثل، نجد في العمود نفسه أن احتمالية أن تكون y = 1 بشرط أن تكون x = 0 هي 2/9 ÷ 6/9 = 2/6. وبنفس الطريقة، يمكننا أيضًا إيجاد الاحتمالات الشرطية لأن تكون y مساوية لـ 0 أو 1 بشرط أن تكون x = 1. بدمج هذه المعلومات، نحصل على جدول الاحتمالات الشرطية لـ y التالي :

في حالة وجود أكثر من متغير شرطي واحد، سيظل الجدول يحتوي على صف واحد لكل قيمة محتملة للمتغير الذي سيتم تحديد احتمالاته الشرطية، وسيكون هناك عمود واحد لكل مجموعة ممكنة من قيم المتغيرات الشرطية.

علاوة على ذلك، يمكن توسيع عدد الأعمدة في الجدول بشكل كبير لعرض احتمالات المتغير محل الاهتمام بشرط وجود قيم محددة لبعض المتغيرات الأخرى فقط، بدلاً من جميعها.