التوزيع الهامشي

الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعرف التوزيع الهامشي لمجموعة جزئية من مجموعة من المتغيرات العشوائية بأنه التوزيع الاحتمالي للمتغيرات الموجودة في تلك المجموعة. وهو يُعطي احتمالات القيم المختلفة للمتغيرات في المجموعة دون الرجوع إلى قيم المتغيرات الأخرى. وهذا يختلف عن التوزيع الشرطي ، الذي يُعطي الاحتمالات المشروطة بقيم المتغيرات الأخرى.

المتغيرات الهامشية هي تلك المتغيرات ضمن مجموعة المتغيرات المحتفظ بها. تُسمى هذه المفاهيم "هامشية" لأنه يمكن إيجادها بجمع القيم في جدول على طول الصفوف أو الأعمدة، وكتابة المجموع في هوامش الجدول. [ 1 ] يتم الحصول على توزيع المتغيرات الهامشية (التوزيع الهامشي) عن طريق تهميش (أي التركيز على المجاميع في الهامش) توزيع المتغيرات المهملة، ويُقال إن المتغيرات المهملة قد تم تهميشها .

السياق هنا هو أن الدراسات النظرية الجارية، أو تحليل البيانات المُجرى، يتضمن مجموعة أوسع من المتغيرات العشوائية، ولكن التركيز يقتصر على عدد محدود منها. في العديد من التطبيقات، قد يبدأ التحليل بمجموعة معينة من المتغيرات العشوائية، ثم يُوسّع المجموعة أولاً بتعريف متغيرات جديدة (مثل مجموع المتغيرات العشوائية الأصلية)، وأخيراً يُقلّل العدد بالتركيز على التوزيع الهامشي لمجموعة فرعية (مثل المجموع). يمكن إجراء عدة تحليلات مختلفة، يُعالج كل منها مجموعة فرعية مختلفة من المتغيرات كتوزيع هامشي.

تعريف

دالة كتلة الاحتمال الهامشي

بمعرفة التوزيع المشترك لمتغيرين عشوائيين منفصلين ، ولنقل X و Y ، فإن التوزيع الهامشي لأي من المتغيرين - X على سبيل المثال - هو التوزيع الاحتمالي لـ X عندما لا تُؤخذ قيم Y في الاعتبار. ويمكن حسابه بجمع التوزيع الاحتمالي المشترك لجميع قيم Y. وبطبيعة الحال، فإن العكس صحيح أيضًا: يمكن الحصول على التوزيع الهامشي لـ Y بجمع التوزيعات الاحتمالية لقيم X المنفصلة .

صX(xأنا)=∑جص(xأنا،yج)،وصY(yج)=∑أناص(xأنا،yج){\displaystyle p_{X}(x_{i})=\sum _{j}p(x_{i},y_{j}),\quad {\text{and}}\quad p_{Y}(y_{j})=\sum _{i}p(x_{i},y_{j})}

X
Y
x 1x 23x​x 4p Y ( y ) ↓
ص 14 / 32​​2 / 32​​1 / 32​​1 / 32​​8 / 32​​
ص 23 / 32​​6 / 32​​3 / 32​​3 / 32​​15 / 32​​
ص 39 / 32​​0009 / 32​​
p X ( x ) →16 / 32​​8 / 32​​4 / 32​​4 / 32​​32 / 32​​
التوزيعات المشتركة والهامشية لزوج من المتغيرات العشوائية المنفصلة، ​​X و Y ، المرتبطة، وبالتالي لها معلومات متبادلة غير صفرية I ( X ; Y ) . تقع قيم التوزيع المشترك داخل المستطيل 3×4؛ وتقع قيم التوزيعات الهامشية على طول الهامشين الأيمن والسفلي.

يمكن دائمًا كتابة الاحتمال الهامشي كقيمة متوقعة : صX(x)=∫yصX|Y(x|y)صY(y)دy=هـY⁡[صX|Y(x|Y)].{\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\operatorname {E} _{Y[p_{X\mid Y}(x\mid Y)]\;.}

بشكل بديهي، يتم حساب الاحتمال الهامشي لـ X عن طريق فحص الاحتمال الشرطي لـ X بالنظر إلى قيمة معينة لـ Y ، ثم حساب متوسط ​​هذا الاحتمال الشرطي على توزيع جميع قيم Y.

ويترتب على ذلك تعريف القيمة المتوقعة (بعد تطبيق قانون الإحصائي اللاواعي ) هـY⁡[و(Y)]=∫yو(y)صY(y)دy.{\displaystyle \operatorname {E} _{Y}[f(Y)]=\int _{y}f(y)p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}

لذلك، يوفر التهميش قاعدة لتحويل التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي Y ومتغير عشوائي آخر X = g ( Y ) : صX(x)=∫yصX|Y(x|y)صY(y)دy=∫yدلتا(x-ز(y))صY(y)دy.{\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\int _{y}\delta {\big (}xg(y){\big )}\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}

دالة كثافة الاحتمال الهامشي

إذا كان لدينا متغيران عشوائيان متصلان X و Y معروف توزيعهما المشترك، فيمكن الحصول على دالة كثافة الاحتمال الهامشية عن طريق تكامل دالة كثافة الاحتمال المشتركة ، f ، على Y، والعكس صحيح.

وX(x)=∫جدو(x،y)دyوY(y)=∫أبو(x،y)دx{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\\f_{Y}(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\end{aligned}}}

أينx∈[أ،ب]{\displaystyle x\in [a,b]}، وy∈[ج،د]{\displaystyle y\in [c,d]}.

دالة التوزيع التراكمي الهامشي

يُعدّ إيجاد دالة التوزيع التراكمي الهامشي من دالة التوزيع التراكمي المشترك أمرًا سهلاً. تذكر أن:

  • بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة ،F(x،y)=P(X≤x،Y≤y){\displaystyle F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}
  • بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة ،F(x،y)=∫أx∫جyو(x′،y′)دy′دx′{\displaystyle F(x,y)=\int _{a}^{x}\int _{c}^{y}f(x',y')\,dy'dx'}

إذا كانت X و Y تأخذان قيمًا مشتركة على [ a , b ] × [ c , d ]، فإن

FX(x)=F(x،د)وFY(y)=F(ب،y){\displaystyle F_{X}(x)=F(x,d)\quad {\text{و}}\quad F_{Y}(y)=F(b,y)}

إذا كانت قيمة d تساوي ∞، فإن هذا يصبح حدًا.FX(x)=ليمy→∞F(x،y){\textstyle F_{X}(x)=\lim _{y\to \infty }F(x,y)}وكذلك بالنسبة لـFY(y){\displaystyle F_{Y}(y)}.

التوزيع الهامشي مقابل التوزيع الشرطي

تعريف

الاحتمال الهامشي هو احتمال وقوع حدث واحد بمعزل عن الأحداث الأخرى. أما الاحتمال الشرطي ، فهو احتمال وقوع حدث ما بشرط وقوع حدث آخر محدد مسبقًا . وهذا يعني أن حساب قيمة متغير ما يعتمد على قيمة متغير آخر. [ 2 ]

التوزيع الشرطي لمتغير ما بمعلومية متغير آخر هو التوزيع المشترك لكلا المتغيرين مقسومًا على التوزيع الهامشي للمتغير الآخر. [ 3 ] أي،

  • بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة ،صY|X(y|x)=P(Y=y|X=x)=P(X=x،Y=y)PX(x){\displaystyle p_{Y|X}(y|x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x,Y=y)}{P_{X}(x)}}}
  • بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة ،وY|X(y|x)=وX،Y(x،y)وX(x){\displaystyle f_{Y|X}(y|x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}

مثال

لنفترض وجود بيانات من فصل دراسي يضم 200 طالب حول مقدار الوقت الذي قضوه في الدراسة ( X ) ونسبة الإجابات الصحيحة ( Y ). [ 4 ] بافتراض أن X و Y متغيران عشوائيان منفصلان، يمكن وصف التوزيع المشترك لـ X و Y من خلال سرد جميع القيم الممكنة لـ p ( xi , yj ) ، كما هو موضح في الجدول 3 .

X
Y
مدة الدراسة (بالدقائق)
٪ صحيح
x 1 (0-20)x 2 (21-40)x 3 (41-60)x 4 (>60)p Y ( y ) ↓
y 1 (0-20)2 / 200​​008 / 200​​10 / 200​​
y 2 (21-40)10 / 200​​2 / 200​​8 / 200​​020 / 200​​
ص 3 (41-59)2 / 200​​4 / 200​​32 / 200​​32 / 200​​70 / 200​​
y 4 (60-79)020 / 200​​30 / 200​​10 / 200​​60 / 200​​
y 5 (80-100)04 / 200​​16 / 200​​20 / 200​​40 / 200​​
p X ( x ) →14 / 200​​30 / 200​​86 / 200​​70 / 200​​1
جدول ثنائي الاتجاه لمجموعة بيانات توضح العلاقة في فصل دراسي مكون من 200 طالب بين مقدار الوقت الذي يقضيه الطالب في الدراسة ونسبة الإجابات الصحيحة

يمكن استخدام التوزيع الهامشي لتحديد عدد الطلاب الذين حصلوا على 20 درجة أو أقل:صY(y1)=PY(Y=y1)=∑أنا=14P(xأنا،y1)=2200+8200=10200{\displaystyle p_{Y}(y_{1})=P_{Y}(Y=y_{1})=\sum _{i=1}^{4}P(x_{i},y_{1})={\frac {2}{200}}+{\frac {8}{200}}={\frac {10}{200}}}، أي 10 طلاب أو 5%.

يمكن استخدام التوزيع الشرطي لتحديد احتمالية حصول الطالب الذي درس لمدة 60 دقيقة أو أكثر على درجة 20 أو أقل:صY|X(y1|x4)=P(Y=y1|X=x4)=P(X=x4،Y=y1)P(X=x4)=8/20070/200=870=435{\displaystyle p_{Y|X}(y_{1}|x_{4})=P(Y=y_{1}|X=x_{4})={\frac {P(X=x_{4},Y=y_{1})}{P(X=x_{4})}}={\frac {8/200}{70/200}}={\frac {8}{70}}={\frac {4}{35}}}وهذا يعني أن هناك احتمالاً بنسبة 11% تقريباً للحصول على درجة لا تزيد عن 20 بعد الدراسة لمدة 60 دقيقة على الأقل.

مثال من الواقع

لنفترض أننا نريد حساب احتمالية تعرض أحد المشاة للدهس أثناء عبوره الطريق عند ممر المشاة دون الانتباه إلى إشارة المرور. ليكن H متغيرًا عشوائيًا منفصلاً يأخذ قيمة واحدة من بين {دهس، عدم  دهس}. وليكن L (إشارة المرور) متغيرًا عشوائيًا منفصلاً يأخذ قيمة واحدة من بين {أحمر، أصفر، أخضر}.

عمليًا، يعتمد احتمال وقوع حادث (H) على احتمال عدم وقوعه (L). أي أن احتمال وقوع حادث (P(H =  اصطدام)) سيختلف باختلاف حالة إشارة المرور (أحمر، أصفر، أو أخضر) (وينطبق الأمر نفسه على احتمال عدم وقوع حادث ). على سبيل المثال، يكون احتمال تعرض شخص ما لحادث دهس سيارة عند محاولته عبور الشارع عندما تكون إشارة المرور خضراء أكثر بكثير من احتمال تعرضه لحادث دهس عندما تكون حمراء. بعبارة أخرى، لأي زوج من القيم الممكنة لـ H و L، يجب مراعاة التوزيع الاحتمالي المشترك لـ H و L لإيجاد احتمال وقوع هذين الحدثين معًا إذا تجاهل المشاة حالة الإشارة.  

مع ذلك، عند محاولة حساب الاحتمال الهامشي P(H  = Hit)، فإن المطلوب هو إيجاد احتمال وقوع حادث (H  = Hit) في حالة عدم معرفة قيمة L، وتجاهل المشاة لحالة الإشارة الضوئية. عمومًا، يمكن أن يتعرض المشاة للدهس إذا كانت الإشارة حمراء أو صفراء أو خضراء. لذا، يمكن إيجاد الاحتمال الهامشي بجمع P(H  |  L) لجميع قيم L الممكنة، مع ترجيح كل قيمة L باحتمال وقوعها.

إليكم جدولاً يوضح الاحتمالات الشرطية للتعرض للاصطدام، تبعاً لحالة الإشارات الضوئية. (لاحظ أن مجموع أعمدة هذا الجدول يجب أن يساوي 1، لأن احتمال التعرض للاصطدام أو عدم التعرض له يساوي 1 بغض النظر عن حالة الإشارة الضوئية).

التوزيع الشرطي:P(ح|ل){\displaystyle P(H\mid L)}
ل
ح
أحمرأصفرأخضر
لم يُصب0.990.90.2
يضرب0.010.10.8

لإيجاد التوزيع الاحتمالي المشترك، نحتاج إلى مزيد من البيانات. على سبيل المثال، لنفترض أن احتمال ظهور اللون الأحمر (L)  يساوي 0.2، واحتمال ظهور اللون الأصفر (L ) يساوي 0.1، واحتمال ظهور اللون الأخضر (L ) يساوي 0.7. بضرب كل عمود في التوزيع الشرطي باحتمال ظهور ذلك العمود، نحصل على التوزيع الاحتمالي المشترك للقيمتين H وL، والمُعطى في المربع المركزي 2×3. (لاحظ أن مجموع قيم الخلايا في هذا المربع 2×3 يساوي 1).         

التوزيع المشترك :P(ح،ل){\displaystyle P(H,L)}⁠
ل
ح
أحمرأصفرأخضرالاحتمال الهامشي P( H )
لم يُصب0.1980.090.140.428
يضرب0.0020.010.560.572
المجموع0.20.10.71

الاحتمال الهامشي P(H  = Hit) هو مجموع 0.572 على طول  صف H = Hit في جدول التوزيع المشترك هذا، حيث يمثل هذا الاحتمال احتمال التعرض للإصابة عندما تكون الإشارات حمراء أو صفراء أو خضراء. وبالمثل، فإن الاحتمال الهامشي P(H  = Not  Hit) هو مجموع الاحتمال على طول صف H  = Not  Hit.

التوزيعات متعددة المتغيرات

عينات عديدة من توزيع طبيعي ثنائي المتغيرات. تظهر التوزيعات الهامشية باللونين الأحمر والأزرق. كما تم تقريب التوزيع الهامشي لـ X بإنشاء مدرج تكراري لإحداثيات X دون مراعاة إحداثيات Y.

بالنسبة للتوزيعات متعددة المتغيرات ، تُطبَّق صيغ مشابهة لتلك المذكورة أعلاه ، مع تفسير الرموز X و/أو Y على أنها متجهات. وعلى وجه الخصوص، يشمل كل جمع أو تكامل جميع المتغيرات باستثناء تلك الموجودة في X. [ 5 ]

هذا يعني أنه إذا كانت X1 ، X2 ، ...، Xn متغيرات عشوائية منفصلة ، ​​فإن دالة الكتلة الاحتمالية الهامشية يجب أن تكون صXأنا(ك)=∑ص(x1،x2،...،xأنا-1،ك،xأنا+1،...،xن)؛{\displaystyle p_{X_{i}}(k)=\sum p(x_{1},x_{2},\dots ,x_{i-1},k,x_{i+1},\dots ,x_{n});} إذا كانت X1 ، X2 ، ... ، Xn متغيرات عشوائية متصلة ، فإن دالة كثافة الاحتمال الهامشية يجب أن تكون وXأنا(xأنا)=∫-∞∞∫-∞∞∫-∞∞⋯∫-∞∞و(x1،x2،...،xن)دx1دx2⋯دxأنا-1دxأنا+1⋯دxن.{\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ترومبلر، روبرت ج. وويفر، هارولد ف. (1962). علم الفلك الإحصائي . منشورات دوفر. ص 32-33 . 
  2. ↑ "التوزيعات الاحتمالية الهامشية والشرطية: التعريف والأمثلة" . Study.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16-11-2019 .
  3. ↑ "الامتحان P [ رياضيات جامعة ولاية فلوريدا ] " . www.math.fsu.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16-11-2019 .
  4. ↑ التوزيعات الهامشية والشرطية ، تم استرجاعها بتاريخ 16-11-2019
  5. ↑ مقدمة حديثة في الاحتمالات والإحصاء : فهم لماذا وكيف . ديكينج، ميشيل، 1946-. لندن: سبرينغر. 2005. ISBN  9781852338961. OCLC 262680588 . {{cite book}}صيانة CS1: أخرى ( رابط )

فهرس

  • إيفريت، بي إس؛ سكروندال، أ. (2010). قاموس كامبريدج للإحصاء . مطبعة جامعة كامبريدج .
  • التزيين، FM. كرايكامب، C .؛ لوبوها ، إتش بي . ميستر، جنيه (2005). مقدمة حديثة للاحتمالات والإحصاء . لندن  : سبرينغر. رقم ISBN 9781852338961.{{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )