توزيع الاحتمالية المركبة

التوزيع المركب${\displaystyle H}$سيعتمد ذلك على التعبير المحدد لكل توزيع، بالإضافة إلى أي معلمة من معلمات${\displaystyle F}$يتم توزيعها وفقًا للتوزيع${\displaystyle G}$، ومعايير${\displaystyle H}$سيشمل ذلك أي معايير لـ${\displaystyle G}$أولئك الذين لا يتم تهميشهم أو دمجهم. دعم${\displaystyle H}$هو نفسه مثل ذلك الخاص بـ${\displaystyle F}$وإذا كان الأخير توزيعًا ذا معلمتين يتم تحديده بالمتوسط ​​والتباين، فإن بعض الخصائص العامة موجودة.

يتم تحديد أول عزمين للتوزيع المركب بواسطة قانون التوقع الكلي وقانون التباين الكلي :

$${\displaystyle \operatorname {E} _{H}[X]=\operatorname {E} _{G}{\bigl [}\operatorname {E} _{F}[X|\theta ]{\bigr ]}}$$

$${\displaystyle \operatorname {Var} _{H}(X)=\operatorname {E} _{G}{\bigl [}\operatorname {Var} _{F}(X|\theta ){\bigr ]}+\operatorname {Var} _{G}{\bigl (}\operatorname {E} _{F}[X|\theta ]{\bigr )}}$$

إذا كان متوسط${\displaystyle F}$يتم توزيعها على النحو التالي:${\displaystyle G}$وهذا بدوره يعني${\displaystyle \mu }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$تشير العبارات المذكورة أعلاه إلى${\displaystyle \operatorname {E} _{H[X]=\operatorname {E} _{G}[\theta ]=\mu }$و${\displaystyle \operatorname {Var} _{H}(X)=\operatorname {Var} _{F}(X|\theta )+\operatorname {Var} _{G}(Y)=\tau ^{2}+\sigma ^{2}}$، أين${\displaystyle \tau ^{2}}$هو تباين${\displaystyle F}$.

يترك${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$لنفترض أن التوزيعات الاحتمالية مُعَلمة بالمتوسط ​​والتباين كما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}x&\sim {\mathcal {F}}(\theta ,\tau ^{2})\\\theta &\sim {\mathcal {G}}(\mu ,\sigma ^{2})\end{محاذاة}}}$$ثم نرمز إلى دوال كثافة الاحتمال بـ${\displaystyle f(x|\theta )=p_{F}(x|\theta )}$و${\displaystyle g(\theta )=p_{G}(\theta )}$على التوالي، و${\displaystyle h(x)}$كونها دالة كثافة الاحتمال لـ${\displaystyle H}$لدينا$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{H}[X]=\int _{F}xh(x)dx&=\int _{F}x\int _{G}f(x|\theta )g(\theta )d\theta dx\\&=\int _{G}\int _{F}xf(x|\theta )dx\ g(\theta )d\theta \\&=\int _{G}\operatorname {E} _{F}[X|\theta ]g(\theta )d\theta \end{aligned}}}$$وقد حصلنا من عملية تحديد المعلمات${\displaystyle {\mathcal {F}}}$و${\displaystyle {\mathcal {G}}}$الذي - التي$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{F}[X|\theta ]&=\int _{F}xf(x|\theta )dx=\theta \\\operatorname {E} _{G}[\theta ]&=\int _{G}\theta g(\theta )d\theta =\mu \end{aligned}}}$$وبالتالي فإن متوسط ​​التوزيع المركب${\displaystyle \operatorname {E} _{H}[X]=\mu }$وفقًا للتعبير عن لحظته الأولى أعلاه.

تباين${\displaystyle H}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \operatorname {E} _{H}[X^{2}]-(\operatorname {E} _{H}[X])^{2}}$، و$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{H}[X^{2}]=\int _{F}x^{2}h(x)dx&=\int _{F}x^{2}\int _{G}f(x|\theta )g(\theta )d\theta dx\\&=\int _{G}g(\theta )\int _{F}x^{2}f(x|\theta )dx\ d\theta \\&=\int _{G}g(\theta )(\tau ^{2}+\theta ^{2})d\theta \\&=\tau ^{2}\int _{G}g(\theta )d\theta +\int _{G}g(\theta )\theta ^{2}d\theta \\&=\tau ^{2}+(\sigma ^{2}+\mu ^{2}),\end{aligned}}}$$بالنظر إلى حقيقة أن${\displaystyle \int _{F}x^{2}f(x\mid \theta )dx=\operatorname {E} _{F}[X^{2}\mid \theta ]=\operatorname {Var} _{F}(X\mid \theta )+(\operatorname {E} _{F}[X\mid \theta ])^{2}}$و${\displaystyle \int _{G}\theta ^{2}g(\theta )d\theta =\operatorname {E} _{G}[\theta ^{2}]=\operatorname {Var} _{G}(\theta )+(\operatorname {E} _{G}[\theta ])^{2}}$وأخيراً نحصل على$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} _{H}(X)&=\operatorname {E} _{H}[X^{2}]-(\operatorname {E} _{H}[X])^{2}\\&=\tau ^{2}+\sigma ^{2}\end{aligned}}}$$

تنتج توزيعات إحصائيات الاختبار الشائعة كتوزيعات مركبة في ظل فرضية الصفر الخاصة بها، على سبيل المثال في اختبار t للطالب (حيث تكون إحصائية الاختبار هي نسبة متغير عشوائي طبيعي ومتغير عشوائي مربع كاي ) ، أو في اختبار F (حيث تكون إحصائية الاختبار هي نسبة متغيرين عشوائيين مربع كاي ).

تُعدّ التوزيعات المركبة مفيدةً لنمذجة النتائج التي تُظهر تشتتًا زائدًا ، أي تباينًا أكبر مما هو متوقع في نموذج مُحدد. على سبيل المثال، تُنمذج بيانات العد عادةً باستخدام توزيع بواسون ، الذي يساوي تباينه متوسطه. يمكن تعميم هذا التوزيع بالسماح بالتباين في مُعامل معدله ، وذلك من خلال توزيع جاما ، مما ينتج عنه توزيع ثنائي الحد السالب الهامشي . يُشبه هذا التوزيع توزيع بواسون في شكله، ولكنه يسمح بتباينات أكبر. وبالمثل، يمكن تعميم التوزيع الثنائي للسماح بتباين إضافي من خلال دمجه مع توزيع بيتا لمُعامل احتمالية النجاح، مما ينتج عنه توزيع بيتا-ثنائي الحد .

إلى جانب التوزيعات الهامشية الشائعة التي يمكن اعتبارها حالات خاصة من التوزيعات المركبة، في الاستدلال البايزي ، تنشأ التوزيعات المركبة عندما يُمثل F ، وفقًا للرموز المذكورة أعلاه، توزيع المشاهدات المستقبلية، بينما يُمثل G التوزيع الاحتمالي اللاحق لمعلمات F ، بالنظر إلى المعلومات الواردة في مجموعة من البيانات المرصودة. وهذا يُعطي توزيعًا تنبؤيًا لاحقًا . وبالمثل، بالنسبة للتوزيع التنبؤي المسبق ، يُمثل F توزيع نقطة بيانات جديدة، بينما يُمثل G التوزيع المسبق للمعلمات.

يمكن اعتبار عملية التفاف التوزيعات الاحتمالية (لاستنتاج التوزيع الاحتمالي لمجاميع المتغيرات العشوائية) حالة خاصة من التراكم؛ حيث ينتج توزيع المجموع بشكل أساسي من اعتبار أحد حدود المجموع كمعامل موقع عشوائي للحدود الأخرى. ^{[ 1 ]}