توزيع ذو ذيل سميك

يقال إن توزيع المتغير العشوائي X ذي دالة التوزيع F له ذيل ثقيل (يمين) إذا كانت دالة توليد العزوم لـ X ، M _X ( t )، لا نهائية لجميع t  >  0. ^{[ 3 ]}

هذا يعني

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)=\infty \quad {\mbox{لكل }}t>0.}$^{[ 4 ]}

وهذا مكتوب أيضًا بدلالة دالة توزيع الذيل

${\displaystyle {\overline {F}}(x)\equiv \Pr[X>x]\,}$

مثل

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{tx}{\overline {F}}(x)=\infty \quad {\mbox{for all }}t>0.\,}$

يقال إن توزيع المتغير العشوائي X ذي دالة التوزيع F له ذيل طويل إلى اليمين ^{[ 1 ]} إذا كان لكل t  >  0،

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\Pr[X>x+t\mid X>x]=1,\,}$

أو ما يعادل ذلك

${\displaystyle {\overline {F}}(x+t)\sim {\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .\,}$

وهذا له تفسير بديهي لكمية موزعة ذات ذيل طويل يميني، وهو أنه إذا تجاوزت الكمية ذات الذيل الطويل مستوى عالياً معيناً، فإن احتمال تجاوزها لأي مستوى أعلى آخر يقترب من 1.

جميع التوزيعات ذات الذيل الطويل هي توزيعات ذات ذيل سميك، ولكن العكس غير صحيح، ومن الممكن إنشاء توزيعات ذات ذيل سميك ليست ذات ذيل طويل.

يصف هذا القسم مفهوم التوزيع شبه الأسي في سياق التوزيعات ذات الذيول السميكة. ويوجد تعريف معاكس تقريباً للتوزيعات شبه الأسية في سياق التوزيعات شبه الغاوسية ذات الذيول الخفيفة .

يُعرَّف التوزيع شبه الأسي بدلالة التفافات التوزيعات الاحتمالية . بالنسبة لمتغيرين عشوائيين مستقلين ومتطابقين في التوزيع.${\displaystyle X_{1},X_{2}}$مع دالة توزيع مشتركة${\displaystyle F}$، التفاف${\displaystyle F}$مع نفسه، مكتوب${\displaystyle F^{*2}}$ويُطلق عليها اسم مربع الالتفاف، ويتم تعريفها باستخدام تكامل ليبيغ-ستيلتيس من خلال:

${\displaystyle \Pr[X_{1}+X_{2}\leq x]=F^{*2}(x)=\int _{0}^{x}F(xy)\,dF(y),}$

والالتفاف ذو n طية${\displaystyle F^{*n}}$يتم تعريفها استقرائياً بالقاعدة التالية:

${\displaystyle F^{*n}(x)=\int _{0}^{x}F(xy)\,dF^{*n-1}(y).}$

دالة توزيع الذيل${\displaystyle {\overline {F}}}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$.

توزيع${\displaystyle F}$يكون شبه أسي على نصف الخط الموجب ^{[ 1 ] [ 5 ] [ 2 ]} إذا

${\displaystyle {\overline {F^{*2}}}(x)\sim 2{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$

وهذا يعني ^{[ 6 ]} أنه بالنسبة لأي${\displaystyle n\geq 1}$،

${\displaystyle {\overline {F^{*n}}}(x)\sim n{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$

التفسير الاحتمالي ^{[ 6 ]} لهذا هو أنه بالنسبة لمجموع${\displaystyle n}$متغيرات عشوائية مستقلة${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$مع التوزيع المشترك${\displaystyle F}$،

${\displaystyle \Pr[X_{1}+\cdots +X_{n}>x]\sim \Pr[\max(X_{1},\ldots ,X_{n})>x]\quad {\text{as }}x\to \infty .}$

يُعرف هذا غالبًا باسم مبدأ القفزة الكبيرة الواحدة ^{[ 7 ]} أو مبدأ الكارثة. ^{[ 8 ]}

توزيع${\displaystyle F}$يكون التوزيع شبه أسي على كامل خط الأعداد الحقيقية إذا كان التوزيع ${\displaystyle FI([0,\infty ))}$^{[ 9 ]} هنا​${\displaystyle I([0,\infty ))}$هي دالة المؤشر لنصف الخط الموجب. أو بدلاً من ذلك، متغير عشوائي${\displaystyle X}$تكون الدالة المدعومة على خط الأعداد الحقيقية شبه أسية إذا وفقط إذا${\displaystyle X^{+}=\max(0,X)}$هو شبه أسي.

جميع التوزيعات شبه الأسية ذات ذيول طويلة، ولكن يمكن إنشاء أمثلة على التوزيعات ذات الذيول الطويلة التي ليست شبه أسية.

مع${\displaystyle (X_{n},n\geq 1)}$سلسلة عشوائية مستقلة ولها نفس دالة الكثافة${\displaystyle F\in D(H(\xi ))}$، مجال الجذب الأقصى ^{[ 14 ]} لكثافة القيمة القصوى المعممة${\displaystyle H}$، أين${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$. لو${\displaystyle \lim _{n\to \infty }k(n)=\infty }$و ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {k(n)}{n}}=0}$، ثم تقدير مؤشر ذيل بيكاندز هو ^{[ 6 ] [ 14 ]}

${\displaystyle \xi _{(k(n),n)}^{\text{Pickands}}={\frac {1}{\ln 2}}\ln \left({\frac {X_{(n-k(n)+1,n)}-X_{(n-2k(n)+1,n)}}{X_{(n-2k(n)+1,n)}-X_{(n-4k(n)+1,n)}}}\right),}$

أين${\displaystyle X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldots ,X_{n}\right)}$يتقارب هذا المُقدِّر احتماليًا إلى${\displaystyle \xi }$.

يترك${\displaystyle (X_{t},t\geq 1)}$لتكن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ذات دالة التوزيع${\displaystyle F\in D(H(\xi ))}$، أقصى مجال جذب لتوزيع القيمة القصوى المعمم${\displaystyle H}$، أين${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$مسار العينة هو${\displaystyle {X_{t}:1\leq t\leq n}}$أين${\displaystyle n}$حجم العينة. إذا ${\displaystyle \{k(n)\}}$هي متتالية ترتيب وسيطة، أي${\displaystyle k(n)\in \{1,\ldots ,n-1\},}$،${\displaystyle k(n)\to \infty }$و ${\displaystyle k(n)/n\to 0}$، ثم يكون مقدر مؤشر ذيل هيل هو ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \xi _{(k(n),n)}^{\text{Hill}}=\left({\frac {1}{k(n)}}\sum _{i=n-k(n)+1}^{n}\ln(X_{(i,n)})-\ln(X_{(n-k(n)+1,n)})\right)^{-1},}$

أين${\displaystyle X_{(i,n)}}$هو${\displaystyle i}$إحصائية الترتيب رقم -th لـ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$يتقارب هذا المُقدِّر احتماليًا إلى${\displaystyle \xi }$ويكون طبيعيًا تقاربيًا بشرط${\displaystyle k(n)\to \infty }$يُقيَّد بناءً على خاصية التباين المنتظم من الرتبة العليا ^{[ 16 ]} . ^{[ 17 ]} يمتد الاتساق والتقارب الطبيعي إلى فئة كبيرة من المتتابعات التابعة وغير المتجانسة، ^{[ 18 ] [ 19 ]} بغض النظر عما إذا${\displaystyle X_{t}}$تُلاحظ هذه البيانات، أو تُحسب كباقي أو بيانات مُفلترة من فئة واسعة من النماذج والمُقدِّرات، بما في ذلك النماذج غير المُحددة بشكل صحيح والنماذج ذات الأخطاء المُترابطة. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} تجدر الإشارة إلى أن مُقدِّرَي مؤشر الذيل لكل من بيكاند وهيل يستخدمان عادةً لوغاريتم إحصاءات الترتيب. ^{[ 23 ]}

تم تقديم مقدر النسبة (مقدر RE) لمؤشر الذيل بواسطة غولدي وسميث. ^{[ 24 ]} يتم بناؤه بشكل مشابه لمقدر هيل ولكنه يستخدم "معامل ضبط" غير عشوائي.

يمكن الاطلاع على مقارنة بين مقدرات نوع هيل ومقدرات نوع RE في نوفاك. ^{[ 13 ]}

• مؤرشف بتاريخ 25-11-2020 في Wayback Machine ، أداة C لتقدير مؤشر الذيل الثقيل. ^{[ 25 ]}