توزيع غاوسي q

يحتوي التوزيع الغاوسي القياسي q على دالة كثافة الاحتمال ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f(x)={{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}(-\beta x^{2})}$

أين

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]_{+}^{1 \over 1-q}}$

هو الدالة الأسية q وعامل التطبيع${\displaystyle C_{q}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q){\sqrt {1-q}}\Gamma \left({3-q \over 2(1-q)}\right)}}{\text{ for }}-\infty <q<1}$

${\displaystyle C_{q}={\sqrt {\pi }}{\text{ لـ }}q=1\,}$

${\displaystyle C_{q}={{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {{\sqrt {q-1}}\Gamma \left({1 \over q-1}\right)}}{\text{ for }}1<q<3.}$

لاحظ ذلك بالنسبة لـ${\displaystyle q<1}$التوزيع الغاوسي q هو دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي محدود .

ل${\displaystyle 1<q<3}$دالة الكثافة التراكمية هي ^{[ 5 ]}

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {q-1}}\,\Gamma \left({1 \over q-1}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)}},}$

أين${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$هي الدالة فوق الهندسية . بما أن الدالة فوق الهندسية معرفة لـ | z | < 1 ولكن x غير محدود، يمكن استخدام تحويل بفاف .

ل${\displaystyle q<1}$، $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {1-q}}\,\Gamma \left({5-3q \over 2(1-q)}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({2-q \over 1-q}\right)}}&-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}<x<{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\1&x>{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}.\end{cases}}}$$

على الرغم من إمكانية تبرير ذلك بصيغة بديلة مثيرة للاهتمام للإنتروبيا، إلا أنه إحصائيًا عبارة عن إعادة تمثيل مُقاسة لتوزيع t للطالب الذي قدمه دبليو. جوسيت عام 1908 لوصف إحصاءات العينات الصغيرة. في عرض جوسيت الأصلي، كان مُعامل درجات الحرية ν مُقيدًا ليكون عددًا صحيحًا موجبًا مرتبطًا بحجم العينة، ولكن من السهل ملاحظة أن دالة كثافة جوسيت صالحة لجميع القيم الحقيقية لـ ν . ^{[ 6 ]} تُدخل إعادة التمثيل المُقاسة المُعاملين البديلين q و β المرتبطين بـ ν .

بافتراض توزيع t للطالب بدرجات حرية ν ، فإن التوزيع الغاوسي q المكافئ له له

${\displaystyle q={\frac {\nu +3}{\nu +1}}{\text{ مع }}\beta ={\frac {1}{3-q}}}$

مع العكس

${\displaystyle \nu ={\frac {3-q}{q-1}},{\text{ but only if }}\beta ={\frac {1}{3-q}}.}$

حينما${\displaystyle \beta \neq {1 \over {3-q}}}$، الدالة هي ببساطة نسخة مُقاسة من توزيع t للطالب .

يُقال أحيانًا إن هذا التوزيع هو تعميم لتوزيع Student's t ليشمل درجات الحرية السالبة أو غير الصحيحة. مع ذلك، فإن نظرية توزيع Student's t قابلة للتطبيق بسهولة على جميع درجات الحرية الحقيقية، حيث يصبح نطاق التوزيع مضغوطًا بدلًا من أن يكون غير محدود في حالة ν < 0.

كما هو الحال مع العديد من التوزيعات المتمركزة حول الصفر، يمكن بسهولة توسيع التوزيع الغاوسي q ليشمل معلمة الموقع μ . وتصبح الكثافة حينها مُعرَّفة بـ

${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).}$

لقد ثبت أن توزيع الزخم للذرات الباردة في الشبكات البصرية المبددة هو توزيع غاوسي من النوع q . ^{[ 9 ]}

يُمكن أيضًا الحصول على توزيع q-غاوسي كدالة كثافة احتمالية تقاربية لموضع الحركة أحادية البعد لكتلة تخضع لقوتين: قوة حتمية من النوع${\textstyle F_{1}(x)=-2x/(1-x^{2})}$(تحديد بئر جهد لانهائي) وقوة ضوضاء بيضاء عشوائية${\textstyle F_{2}(t)={\sqrt {2(1-q)}}\xi (t)}$، أين${\displaystyle \xi (t)}$هو ضوضاء بيضاء . لاحظ أنه في تقريب الكتلة الصغيرة/المخمدة بشدة، يفشل التقارب المذكور أعلاه لـ${\displaystyle q<0}$كما تبين مؤخراً. ^{[ 10 ]}

تم تفسير توزيعات العوائد المالية في بورصة نيويورك وناسداك وغيرها على أنها توزيعات غاوسية من النوع q . ^{[ 11 ] [ 12 ]}