التوزيع الأسي q

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 11 صور
الموسوعة الحرة

يُعدّ التوزيع الأسي q توزيعًا احتماليًا ينشأ عن تعظيم إنتروبيا تساليس في ظل قيود مناسبة، بما في ذلك تقييد المجال ليكون موجبًا. وهو مثال على توزيع تساليس . يُعتبر التوزيع الأسي q تعميمًا للتوزيع الأسي ، تمامًا كما تُعدّ إنتروبيا تساليس تعميمًا لإنتروبيا بولتزمان-جيبس أو إنتروبيا شانون القياسية . [ 1 ] يُستعاد التوزيع الأسي على النحو التالي:q→1.{\displaystyle q\rightarrow 1.}

اقترحها في الأصل الإحصائيان جورج بوكس ​​وديفيد كوكس عام 1964، [ 2 ] وتُعرف باسم تحويل بوكس-كوكس العكسي لـq=1-λ،{\displaystyle q=1-\lambda ,}حالة خاصة من تحويل القوة في الإحصاء.

توصيف

دالة كثافة الاحتمال

يتميز التوزيع الأسي q بدالة كثافة الاحتمال

(2-q)λهـq(-λx){\displaystyle (2-q)\lambda e_{q}(-\lambda x)}

أين

هـq(x)=[1+(1-q)x]1/(1-q){\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]^{1/(1-q)}}

تكون الدالة الأسية q إذا كانت q ≠ 1. عندما تكون q = 1 ، فإن e q (x) هي ببساطة exp( x ).

الاشتقاق

في إجراء مماثل لكيفية اشتقاق التوزيع الأسي (باستخدام إنتروبيا بولتزمان-جيبس القياسية أو إنتروبيا شانون وتقييد مجال المتغير ليكون موجبًا)، يمكن اشتقاق التوزيع الأسي q من تعظيم إنتروبيا تساليس الخاضعة للقيود المناسبة.

العلاقة بالتوزيعات الأخرى

يُعد التوزيع الأسي q حالة خاصة من توزيع باريتو المعمم حيث

μ=0،ξ=q-12-q،σ=1λ(2-q).{\displaystyle \mu =0,\quad \xi ={\frac {q-1}{2-q}},\quad \sigma ={\frac {1}{\lambda (2-q)}}.}

يُعد التوزيع الأسي q تعميمًا لتوزيع لوماكس (باريتو من النوع الثاني)، حيث يُوسّع هذا التوزيع ليشمل حالات الدعم المحدود. معاملات لوماكس هي:

α=2-qq-1،λلoمأx=1λ(q-1).{\displaystyle \alpha ={\frac {2-q}{q-1}},\quad \lambda _{\mathrm {Lomax} }={\frac {1}{\lambda (q-1)}}.}

بما أن توزيع لوماكس هو نسخة مُزاحة من توزيع باريتو ، فإن التوزيع الأسي q هو تعميم مُعاد تحديد معالمه ومُزاح لتوزيع باريتو. عندما يكون q > 1 ، يكون التوزيع الأسي q مُكافئًا لتوزيع باريتو المُزاح بحيث يبدأ نطاقه من الصفر. تحديدًا، إذا

X∼q-هـxص⁡(q،λ) و Y∼[باريتو⁡(xم=1λ(q-1)،α=2-qq-1)-xم]،{\displaystyle X\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda ){\text{ and }}Y\sim \left[\operatorname {Pareto} \left(x_{m}={\frac {1}{\lambda (q-1)}},\alpha ={\frac {2-q}{q-1}}\right)-x_{m}\right],}

ثمX∼Y.{\displaystyle X\sim Y.}

توليد الانحرافات العشوائية

يمكن سحب الانحرافات العشوائية باستخدام أخذ العينات بالتحويل العكسي . بافتراض وجود متغير U موزع توزيعًا منتظمًا على الفترة (0،1)، فإن

X=-q′lnq′⁡(يو)λ∼q-هـxص⁡(q،λ){\displaystyle X={\frac {-q'\ln _{q'}(U)}{\lambda }}\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda )}

أينlnq′{\displaystyle \ln _{q'}}هو اللوغاريتم q وq′=12-q.{\displaystyle q'={\frac {1}{2-q}}.}

التطبيقات

باعتبارها تحويلاً قوى ، فهي تقنية شائعة في الإحصاء لتثبيت التباين، مما يجعل البيانات أقرب إلى التوزيع الطبيعي، ويُحسّن من صحة مقاييس الارتباط مثل معامل ارتباط بيرسون بين المتغيرات. وقد وُجد أنها نموذج دقيق لتأخيرات القطارات. [ 3 ] كما تُستخدم في الفيزياء الذرية والبصريات الكمية، على سبيل المثال في عمليات تكوين المكثفات الجزيئية عبر الانتقال من خلال رنين فيشباخ. [ 4 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ تساليس، سي. الإنتروبيا غير الجمعية والميكانيكا الإحصائية غير الشاملة - نظرة عامة بعد 20 عامًا. المجلة البرازيلية للفيزياء 2009، 39، 337-356
  2. ↑ بوكس، جورج إي بي ؛ كوكس، دي آر (1964). "تحليل التحويلات". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 26 (2): 211-252 . doi : 10.1111/j.2517-6161.1964.tb00553.x . JSTOR 2984418. MR 0192611 .  
  3. ↑ كيث بريغز وكريستيان بيك (2007). "نمذجة تأخيرات القطارات باستخدام الدوال الأسية q ". فيزيكا أ . 378 (2): 498-504 . arXiv : physics/0611097 . Bibcode : 2007PhyA..378..498B . doi : 10.1016/j.physa.2006.11.084 . S2CID 107475 . 
  4. ↑ سي. صن؛ إن. إيه. سينيتسين (2016). "امتداد لانداو-زينر لنموذج تافيس-كامينغز: بنية الحل". مجلة الفيزياء أ . 94 (3) 033808. arXiv : 1606.08430 . Bibcode : 2016PhRvA..94c3808S . doi : 10.1103/PhysRevA.94.033808 . S2CID 119317114 . 

للمزيد من القراءة