توزيع لوماكس

دالة كثافة الاحتمال (pdf) لتوزيع لوماكس معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha }{\lambda }}\left(1+{\frac {x}{\lambda }}\right)^{-(\alpha +1)},\qquad x\geq 0,}$

مع معلمة الشكل${\displaystyle \alpha >0}$ومعامل المقياس${\displaystyle \lambda >0}$يمكن إعادة صياغة الكثافة بطريقة تُظهر بوضوح أكبر العلاقة بتوزيع باريتو من النوع الأول . أي:

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha \lambda ^{\alpha }}{(x+\lambda )^{\alpha +1}}}.}$

ال${\displaystyle \nu }$اللحظة غير المركزية${\displaystyle E\left[X^{\nu }\right]}$لا يوجد معامل الشكل إلا إذا${\displaystyle \alpha }$يتجاوز بشكل صارم${\displaystyle \nu }$عندما تكون للحظة قيمة

${\displaystyle E\left(X^{\nu }\right)={\frac {\lambda ^{\nu }\Gamma (\alpha -\nu )\Gamma (1+\nu )}{\Gamma (\alpha )}}.}$

توزيع لوماكس هو توزيع باريتو من النوع الأول مُزاح بحيث يبدأ نطاقه من الصفر. تحديداً:

${\displaystyle {\text{إذا كان }}Y\sim \operatorname {Pareto} (x_{m}=\lambda ,\alpha ),{\text{ فإن }}Y-x_{m}\sim \operatorname {Lomax} (\alpha ,\lambda ).}$

توزيع لوماكس هو توزيع باريتو من النوع الثاني مع x _m  = λ و μ = 0: ^{[ 6 ]}   

${\displaystyle {\text{إذا كان }}X\sim \operatorname {Lomax} (\alpha ,\lambda ){\text{ فإن }}X\sim {\text{P(II)}}\left(x_{m}=\lambda ,\alpha ,\mu =0\right).}$

يُعد توزيع لوماكس حالة خاصة من توزيع باريتو المعمم . تحديداً:

${\displaystyle \mu =0,~\xi ={1 \over \alpha },~\sigma ={\lambda \over \alpha }.}$

يُعد توزيع لوماكس ذو معامل المقياس λ = 1 حالة خاصة من توزيع بيتا برايم . إذا كان X يتبع توزيع لوماكس، فإن${\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}$.

يتميز توزيع لوماكس بمعامل شكل α = 1 ومعامل مقياس λ = 1 بكثافة${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}$وهو نفس توزيع F (2,2) . هذا هو توزيع نسبة متغيرين عشوائيين مستقلين ومتطابقين في التوزيع، لهما توزيع أسي .

يُعد توزيع لوماكس حالة خاصة من التوزيع الأسي q . ويُوسّع التوزيع الأسي q نطاق هذا التوزيع ليشمل فترة محدودة. وتُعطى معاملات لوماكس كما يلي:

${\displaystyle \alpha ={{2-q} \over {q-1}},~\lambda ={1 \over \lambda _{q}(q-1)}.}$

يتبع لوغاريتم متغير موزع وفقًا لتوزيع Lomax (الشكل = 1.0، المقياس = λ ) توزيعًا لوجستيًا مع موقع log( λ ) ومقياس  1.0.

ينشأ توزيع لوماكس كمزيج من التوزيعات الأسية ، حيث يكون توزيع المزج للمعدل توزيع غاما . إذا كان λ  | k , θ ~ غاما (الشكل = k ، المقياس = θ ) و X | λ ~ أسي (المعدل = λ )، فإن التوزيع الهامشي لـ X | k , θ هو لوماكس (الشكل = k ، المقياس = 1/ θ ). وبما أنه يمكن إعادة تمثيل معلمة المعدل كمعلمة مقياس ، فإن توزيع لوماكس يشكل مزيجًا من التوزيعات الأسية (مع اتباع معلمة المقياس الأسية لتوزيع غاما معكوس ).     

يترك${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (1)}$و${\displaystyle Y\sim \operatorname {Gamma} (\alpha ,1)}$، ثم${\displaystyle X/Y\sim \operatorname {Lomax} (\alpha ,1).}$^{[ 4 ]}