التوزيع الأسي الفائق

في نظرية الاحتمالات ، يُعد التوزيع الأسي الفائق توزيعًا احتماليًا مستمرًا ، وتُعطى دالة كثافة احتماله للمتغير العشوائي X بالصيغة التالية:

${\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{Y_{i}}(x)\;p_{i},}$

حيث يمثل كل _Yᵢ متغيرًا عشوائيًا يتبع التوزيع الأسي بمعدل λᵢ، و pᵢ هو احتمال أن يأخذ X شكل التوزيع الأسي بمعدل λᵢ. [ 1 _] يُسمى هذا التوزيع بالتوزيع الأسي الفائق _لأن ^{معامل تباينه أكبر} من معامل تباين التوزيع الأسي، الذي يساوي 1، ومن معامل تباين التوزيع _الأسي الناقص ، الذي يقل معامل تباينه عن 1. في حين أن التوزيع الأسي هو النظير المستمر للتوزيع الهندسي ، فإن التوزيع الأسي الفائق لا يُشابه التوزيع الهندسي الفائق . يُعد التوزيع الأسي الفائق مثالًا على كثافة الخليط .

يمكن رؤية مثال على متغير عشوائي فائق الأسي في سياق الاتصالات الهاتفية ، حيث إذا كان لدى شخص ما مودم وهاتف، فيمكن نمذجة استخدام خط الهاتف الخاص به على أنه توزيع فائق الأسي حيث يوجد احتمال p للتحدث على الهاتف بمعدل λ ₁ واحتمال q لاستخدام اتصال الإنترنت الخاص به بمعدل λ ₂ . 

بما أن القيمة المتوقعة لمجموع ما هي مجموع القيم المتوقعة، فإن القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي ذي توزيع أسي فائق يمكن التعبير عنها كما يلي:

${\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}}$

و

${\displaystyle E\!\left[X^{2}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i},}$

ومنها يمكننا استنتاج التباين: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=E\!\left[X^{2}\right]-E\!\left[X\right]^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i}-\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}=\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}\left({\frac {1}{\lambda _{i}}}-{\frac {1}{\lambda (j)^2.}$

يتجاوز الانحراف المعياري المتوسط ​​بشكل عام (باستثناء الحالة المنحرفة التي تكون فيها جميع قيم λ متساوية)، لذا فإن معامل التباين أكبر من  1.

دالة توليد العزوم معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle E\!\left[e^{tx}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}p_{i}.}$

يمكن تقريب توزيع احتمالي معين ، بما في ذلك التوزيع ذو الذيل السميك ، بواسطة توزيع أسي فائق عن طريق التوفيق بشكل متكرر مع مقاييس زمنية مختلفة باستخدام طريقة بروني . ^{[ 3 ]}

• توزيع نوع الطور
• توزيع هايبر-إرلانج
• توزيع لوماكس (مزيج مستمر من الدوال الأسية)