التوزيع الأسي الناقص

في نظرية الاحتمالات، يُعدّ التوزيع شبه الأسي، أو توزيع إيرلانغ المعمم، توزيعًا متصلًا ، وقد استُخدم في نفس المجالات التي استُخدم فيها توزيع إيرلانغ، مثل نظرية الطوابير ، وهندسة حركة البيانات ، وبشكل أعم في العمليات العشوائية . يُطلق عليه اسم التوزيع شبه الأسي لأن معامل تباينه أقل من واحد، مقارنةً بالتوزيع الأسي الفائق الذي يكون معامل تباينه أكبر من واحد، والتوزيع الأسي الذي يكون معامل تباينه واحدًا.

توزيع إيرلانج هو سلسلة من k توزيعات أسية جميعها بمعدل${\displaystyle \lambda }$التوزيع شبه الأسي هو سلسلة من k توزيعات أسية، لكل منها معدلها الخاص .${\displaystyle \lambda _{i}}$، معدل${\displaystyle i^{th}}$التوزيع الأسي. إذا كان لدينا k متغيرات عشوائية أسية موزعة بشكل مستقل${\displaystyle X_{i}}$ثم المتغير العشوائي،

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}X_{i}}$

يتبع التوزيع شبه الأسي. ويمتلك التوزيع شبه الأسي معامل تباين أدنى قدره${\displaystyle 1/k}$.

حيث يحتوي التوزيع على معلَمين (${\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}$) الأشكال الصريحة لدوال الاحتمال والإحصاءات المرتبطة بها هي: ^{[ 3 ]}

CDF:${\displaystyle F(x)=1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}e^{-\lambda _{1}x}-{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}e^{-\lambda _{2}x}}$

ملف PDF:${\displaystyle f(x)={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}(e^{-x\lambda _{2}}-e^{-x\lambda _{1}})}$

يقصد:${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}}$

التباين:${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}$

معامل التباين:${\displaystyle {\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}$

معامل التباين يكون دائماً أقل من 1.

بالنظر إلى متوسط ​​العينة (${\displaystyle {\bar {x}}}$) ومعامل التباين للعينة (${\displaystyle c}$), المعلمات${\displaystyle \lambda _{1}}$و${\displaystyle \lambda _{2}}$يمكن تقديرها على النحو التالي:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1+{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1-{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}}$

يمكن اشتقاق هذه التقديرات من طرق العزوم عن طريق تحديد${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}={\bar {x}}}$و${\displaystyle {\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}=c}$.

المعلمات الناتجة${\displaystyle \lambda _{1}}$و${\displaystyle \lambda _{2}}$تكون القيم حقيقية إذا${\displaystyle c^{2}\in [0.5,1]}$.

متغير عشوائي${\displaystyle X\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$لها دالة توزيع تراكمي معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle F(x)=1-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }{\boldsymbol {1}}}$

ودالة الكثافة ،

${\displaystyle f(x)=-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }\Theta {\boldsymbol {1}}\;,}$

أين${\displaystyle {\boldsymbol {1}}}$هو متجه عمودي من الواحدات بحجم k و${\displaystyle e^{A}}$هي الدالة الأسية للمصفوفة A. عندما${\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{j}}$للجميع${\displaystyle i\neq j}$يمكن كتابة دالة الكثافة على النحو التالي :

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}\left(\prod _{j=1,j\neq i}^{k}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{k}\ell _{i}(0)\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}}$

أين${\displaystyle \ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)}$هي كثيرات حدود أساس لاغرانج المرتبطة بالنقاط${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$.

للتوزيع تحويل لابلاس التالي:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(x)\}=-{\boldsymbol {\alpha }}(sI-\Theta )^{-1}\Theta {\boldsymbol {1}}}$

والتي يمكن استخدامها للعثور على اللحظات،

${\displaystyle E[X^{n}]=(-1)^{n}n!{\boldsymbol {\alpha }}\Theta ^{-n}{\boldsymbol {1}}\;.}$

في الحالة العامة حيث يوجد${\displaystyle a}$مجاميع متميزة من التوزيعات الأسية ذات المعدلات${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{a}}$وعدد الحدود في كل مجموع يساوي${\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{a}}$على التوالي. دالة التوزيع التراكمي لـ${\displaystyle t\geq 0}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle F(t)=1-\left(\prod _{j=1}^{a}\lambda _{j}^{r_{j}}\right)\sum _{k=1}^{a}\sum _{l=1}^{r_{k}}{\frac {\Psi _{k,l}(-\lambda _{k})t^{r_{k}-l}\exp(-\lambda _{k}t)}{(r_{k}-l)!(l-1)!}},}$

مع

${\displaystyle \Psi _{k,l}(x)=-{\frac {\partial ^{l-1}}{\partial x^{l-1}}}\left(\prod _{j=0,j\neq k}^{a}\left(\lambda _{j}+x\right)^{-r_{j}}\right).}$

مع الاتفاقية الإضافية${\displaystyle \lambda _{0}=0,r_{0}=1}$[ ^{4 ]​}

وقد استُخدم هذا التوزيع في علم الوراثة السكانية، ^{[ 5 ]} وعلم الأحياء الخلوي، ^{[ 6 ] [ 7 ]} ونظرية الطوابير. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• توزيع نوع الطور
• توزيع كوكسيان

• MF Neuts . (1981) حلول المصفوفة الهندسية في النماذج العشوائية: نهج خوارزمي، الفصل 2: ​​توزيعات الاحتمالات من النوع الطوري؛ منشورات دوفر.
• جي. لاتوش، في. راماسوامي. (1999) مقدمة في أساليب التحليل المصفوفي في النمذجة العشوائية، الطبعة الأولى. الفصل 2: ​​توزيعات PH؛ ASA SIAM،
• كولم أ. أوكينيدي (1999). توزيع من نوع الطور: مشاكل مفتوحة وبعض الخصائص ، الاتصالات في الإحصاء - النماذج العشوائية، 15(4)، 731-757 .
• ل. ليميس وج. ماكويستون (2008). علاقات التوزيع أحادية المتغير ، الإحصائي الأمريكي، 62(1)، 45-53.
• س. روس. (2007) مقدمة في نماذج الاحتمالات، الطبعة التاسعة، نيويورك: أكاديميك برس