توزيع إرلانج

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 49 صور
الموسوعة الحرة

توزيع إيرلانغ هو عائلة من التوزيعات الاحتمالية المستمرة ذات معلَمين، ولها نطاقx∈[0،∞){\displaystyle x\in [0,\infty )}المعلمتان هما:

  • عدد صحيح موجبك،{\displaystyle k,}"الشكل"، و
  • عدد حقيقي موجبλ،{\displaystyle \lambda ,}"المعدل". "المقياس".β،{\displaystyle \beta ,}يُستخدم أحيانًا مقلوب المعدل بدلاً من ذلك.

توزيع إيرلانغ هو توزيع مجموعك{\displaystyle k}متغيرات أسية مستقلة ذات متوسط1/λ{\displaystyle 1/\lambda }كلٌّ منها. وبصورة مكافئة، هو توزيع الوقت حتى وقوع الحدث رقم k في عملية بواسون بمعدلλ{\displaystyle \lambda }تُعدّ توزيعات إيرلانج وبواسون متكاملة، فبينما يحسب توزيع بواسون الأحداث التي تقع في فترة زمنية محددة، يحسب توزيع إيرلانج الفترة الزمنية اللازمة لوقوع عدد محدد من الأحداث.ك=1{\displaystyle k=1}يتبسط التوزيع إلى التوزيع الأسي . يُعد توزيع إيرلانغ حالة خاصة من توزيع غاما حيث يتم تقسيم شكل التوزيع إلى أجزاء منفصلة.

طُوِّر توزيع إيرلانغ بواسطة أ. ك. إيرلانغ لدراسة عدد المكالمات الهاتفية التي قد تُجرى في وقت واحد إلى مشغلي محطات التحويل. وقد توسع نطاق هذا العمل في هندسة حركة الاتصالات الهاتفية ليشمل دراسة أوقات الانتظار في أنظمة الطوابير بشكل عام. كما يُستخدم هذا التوزيع في مجال العمليات العشوائية .

توصيف

دالة كثافة الاحتمال

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع إيرلانغ هي

و(x;ك،λ)=λكxك-1هـ-λx(ك-1)!ل x،λ≥0،{\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0,}

يُطلق على المعامل k اسم معامل الشكل، والمعاملλ{\displaystyle \lambda }يُطلق عليه اسم مُعامل المعدل.

تستخدم طريقة بديلة، ولكنها مكافئة، لتحديد المعلمات معلمة المقياسβ{\displaystyle \beta }، وهو مقلوب معامل المعدل (أي،β=1/λ{\displaystyle \beta =1/\lambda }):

و(x;ك،β)=xك-1هـ-xββك(ك-1)!ل x،β≥0.{\displaystyle f(x;k,\beta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\beta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{for }}x,\beta \geq 0.}

عندما يكون معامل المقياسβ{\displaystyle \beta }عندما يساوي 2، يتبسط التوزيع إلى توزيع كاي تربيع بدرجات حرية 2k . وبالتالي ، يمكن اعتباره توزيع كاي تربيع معمّم للأعداد الزوجية من درجات الحرية.

دالة التوزيع التراكمي (CDF)

دالة التوزيع التراكمي لتوزيع إيرلانغ هي

F(x;ك،λ)=P(ك،λx)=γ(ك،λx)Γ(ك)=γ(ك،λx)(ك-1)!،{\displaystyle F(x;k,\lambda )=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},}

أينγ{\displaystyle \gamma }هي دالة غاما غير المكتملة الدنيا وP{\displaystyle P}هي دالة غاما المنتظمة الدنيا . ويمكن التعبير عن دالة التوزيع التراكمي أيضًا على النحو التالي:

F(x;ك،λ)=1-∑ن=0ك-11ن!هـ-λx(λx)ن.{\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.}

إرلانغ -ك

توزيع إيرلانغ- ك (حيث ك عدد صحيح موجب)هـك(λ){\displaystyle E_{k}(\lambda )}يُعرَّف هذا التوزيع بتحديد قيمة k في دالة كثافة الاحتمال لتوزيع إيرلانغ. [ 1 ] على سبيل المثال، توزيع إيرلانغ-2 هوهـ2(λ)=λ2xهـ-λxل x،λ≥0{\displaystyle E_{2}(\lambda )={\lambda ^{2}x}e^{-\lambda x}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0}وهو نفس الشيءو(x;2،λ){\displaystyle f(x;2,\lambda )}.

متوسط

يُعرف توسع تقاربي لوسيط توزيع إيرلانغ، [ 2 ] حيث يمكن حساب المعاملات ومعرفة الحدود. [ 3 ] [ 4 ] والتقريب هوكλ(1-13ك+0.2)،{\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),}أي أقل من المتوسطكλ.{\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}.}[ 5 ]

توليد متغيرات عشوائية موزعة وفقًا لتوزيع إيرلانغ

يمكن توليد متغيرات عشوائية موزعة وفقًا لتوزيع إيرلانج من أرقام عشوائية موزعة بشكل منتظم (يو∈[0،1]{\displaystyle U\in [0,1]}) باستخدام الصيغة التالية: [ 6 ]

هـ(ك،λ)=-1λln⁡∏أنا=1كيوأنا=-1λ∑أنا=1كln⁡يوأنا{\displaystyle E(k,\lambda )=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln U_{i}}

التطبيقات

أوقات الانتظار

تُنمذج الأحداث التي تحدث بشكل مستقل بمعدل متوسط ​​باستخدام عملية بواسون . أما فترات الانتظار بين k من مرات حدوث الحدث فتُنمذج وفقًا لتوزيع إيرلانج. (ويُوصَف السؤال المتعلق بعدد الأحداث في فترة زمنية محددة بتوزيع بواسون ).

يمكن استخدام توزيع إيرلانج، الذي يقيس الفاصل الزمني بين المكالمات الواردة، بالتزامن مع المدة المتوقعة للمكالمات الواردة، لإنتاج معلومات حول حجم حركة البيانات المقاسة بوحدة إيرلانج. ويمكن استخدام هذه المعلومات لتحديد احتمالية فقدان الحزم أو تأخيرها، وفقًا لافتراضات مختلفة حول ما إذا كانت المكالمات المحظورة تُلغى (صيغة إيرلانج B) أو تُوضع في قائمة الانتظار حتى يتم الرد عليها (صيغة إيرلانج C). ولا تزال صيغتا إيرلانج B و C مستخدمتين بشكل يومي في نمذجة حركة البيانات لتطبيقات مثل تصميم مراكز الاتصال .

تطبيقات أخرى

غالبًا ما يتبع التوزيع العمري لحالات الإصابة بالسرطان توزيع إيرلانغ، بينما تتنبأ معلمات الشكل والمقياس، على التوالي، بعدد الأحداث المحفزة والفاصل الزمني بينها. [ 7 ] [ 8 ] وبشكل عام، يُقترح توزيع إيرلانغ كتقريب جيد لتوزيع زمن دورة الخلية، كنتيجة لنماذج متعددة المراحل. [ 9 ] [ 10 ]

الكينيسين عبارة عن آلة جزيئية ذات "قدمين" تتحرك على طول خيط. يتوزع زمن الانتظار بين كل خطوة توزيعًا أُسّيًا. عندما يرتبط البروتين الفلوري الأخضر بإحدى قدمي الكينيسين، تتحرك النقطة الخضراء بشكل مرئي وفقًا لتوزيع إيرلانغ بقيمة k = 2. [ 11 ]

كما تم استخدامه في التسويق لوصف الفترات الزمنية بين عمليات الشراء. [ 12 ]

ملكيات

  • لوX∼إرلانج⁡(ك،λ){\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}ثمأ⋅X∼إرلانج⁡(ك،λأ){\displaystyle a\cdot X\sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)}معأ∈R{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
  • لوX∼إرلانج⁡(ك1،λ){\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )}وY∼إرلانج⁡(ك2،λ){\displaystyle Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )}ثمX+Y∼إرلانج⁡(ك1+ك2،λ){\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )}لوX،Y{\displaystyle X,Y}مستقلون
  • توزيع إيرلانغ هو توزيع مجموع k من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ، ولكل منها توزيع أسي . معدل حدوث الأحداث على المدى الطويل هو مقلوب القيمة المتوقعة لـX،{\displaystyle X,}إنه،λ/ك.{\displaystyle \lambda /k.}معدل (الحدث الخاص بالعمر) لتوزيع إيرلانغ هو، بالنسبة لـك>1،{\displaystyle k>1,}رتيب فيx،{\displaystyle x,}يزداد من 0 عندx=0،{\displaystyle x=0,}لλ{\displaystyle \lambda }مثلx{\displaystyle x}يميل إلى اللانهاية. [ 13 ]
    • أي: إذاXأنا∼النمو الأسي⁡(λ)،{\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}ثم∑أنا=1كXأنا∼إرلانج⁡(ك،λ){\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}
  • بسبب وجود دالة المضروب في مقام دالتي كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي ، فإن توزيع إيرلانج لا يُعرَّف إلا عندما يكون المعامل k عددًا صحيحًا موجبًا. في الواقع، يُطلق على هذا التوزيع أحيانًا اسم توزيع إيرلانج- k (على سبيل المثال، توزيع إيرلانج-2 هو توزيع إيرلانج معك=2{\displaystyle k=2}). يقوم توزيع جاما بتعميم توزيع إيرلانج من خلال السماح لـ k بأن يكون أي عدد حقيقي موجب، باستخدام دالة جاما بدلاً من دالة المضروب.
    • أي: إذا كان k عددًا صحيحًا وX∼جاما⁡(ك،λ)،{\displaystyle X\sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),}ثمX∼إرلانج⁡(ك،λ){\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}
  • لويو∼النمو الأسي⁡(λ){\displaystyle U\sim \operatorname {Exponential} (\lambda )}وV∼إرلانج⁡(ن،λ){\displaystyle V\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}ثميوV+1∼باريتو⁡(1،ن){\displaystyle {\frac {U}{V}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)}
  • يُعد توزيع إيرلانغ حالة خاصة من توزيع بيرسون من النوع الثالث
  • يرتبط توزيع إيرلانغ بتوزيع كاي تربيع . إذاX∼إرلانج⁡(ك،λ)،{\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda ),}ثم2λX∼χ2ك2.{\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}.}
  • يرتبط توزيع إيرلانغ بتوزيع بواسون من خلال عملية بواسون : إذاSن=∑أنا=1نXأنا{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}بحيثXأنا∼النمو الأسي⁡(λ)،{\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}ثمSن∼إرلانج⁡(ن،λ){\displaystyle S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}وبرو⁡(شمال(x)≤ن-1)=برو⁡(Sن>x)=1-FX(x;ن،λ)=∑ك=0ن-11ك!هـ-λx(λx)ك.{\displaystyle \operatorname {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{X}(x;n,\lambda )=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.}تجاوز الاختلافاتن{\displaystyle n}يعطي توزيع بواسون.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ "h1.pdf" (PDF) .
  2. ↑ تشوي، ك.ب. (1994). "حول وسائط توزيعات غاما ومعادلة رامانوجان". وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 121 (1): 245-251 . doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1195477-8 . JSTOR 2160389 . 
  3. ↑ أديل، جيه إيه؛ جودرا، بي. (2010). "حول معادلة رامانوجان المرتبطة بمتوسط ​​توزيع جاما" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 360 (7): 3631. doi : 10.1090/S0002-9947-07-04411-X .
  4. ↑ جودرا، ب. (2012). "حساب التوسع التقاربي لوسيط توزيع إيرلانغ" . النمذجة والتحليل الرياضي . 17 (2): 281-292 . doi : 10.3846/13926292.2012.664571 .
  5. ^ بانيهيكا، BMSG؛ إيكاناياكي، GEMUPD (2009). “مقدر نقطة جديد لمتوسط ​​توزيع جاما”. فيودايا جيه ساينس . 14 : 95 - 103.
  6. ↑ ريسا. "التوزيعات الإحصائية - توزيع إيرلانج - مولد الأرقام العشوائية" . www.xycoon.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 أبريل 2018 .
  7. ↑ بيليكوف، أليكسي ف. (22 سبتمبر 2017). "يمكن التنبؤ بعدد الأحداث المسرطنة الرئيسية من خلال معدل الإصابة بالسرطان" . التقارير العلمية . 7 (1): 12170. Bibcode : 2017NatSR...712170B . doi : 10.1038/s41598-017-12448-7 . PMC 5610194. PMID 28939880 .  
  8. ↑ بيليكوف، أليكسي ف.؛ فياتكين، أليكسي؛ ليونوف، سيرجي ف. (2021-08-06). "توزيع إيرلانغ يُقارب التوزيع العمري لحالات الإصابة بسرطانات الطفولة والشباب" . PeerJ . 9 e11976. doi : 10.7717/peerj.11976 . ISSN 2167-8359 . PMC 8351573. PMID 34434669 .   
  9. ↑ ييتس، كريستيان أ. (21 أبريل 2017). "تمثيل متعدد المراحل لتكاثر الخلايا كعملية ماركوف" . نشرة البيولوجيا الرياضية . 79 (1): 2905-2928 . doi : 10.1007/s11538-017-0356-4 . PMC 5709504. PMID 29030804 .  
  10. ↑ غافانين، إنريكو (21 نوفمبر 2019). "سرعة غزو نماذج هجرة الخلايا مع توزيعات زمنية واقعية لدورة الخلية". مجلة البيولوجيا النظرية . 481 : 91-99 . arXiv : 1806.03140 . Bibcode : 2019JThBi.481...91G . doi : 10.1016/j.jtbi.2018.09.010 . PMID 30219568 . 
  11. ↑ يلدز، أحمد ؛ فوركي، جوزيف ن.؛ ماكيني، شون أ.؛ ها، تايكجيب ؛ غولدمان، ييل إي.؛ سيلفين، بول ر. (27-06-2003). "الميوسين الخامس يسير يدًا بيد: تصوير فلوري أحادي مع تحديد موقع بدقة 1.5 نانومتر" . مجلة ساينس . 300 (5628): 2061-2065 . رمز Bibcode : 2003Sci...300.2061Y . doi : 10.1126/science.1084398 . ISSN 0036-8075 . PMID 12791999 .  
  12. ↑ تشاتفيلد، سي.؛ جودهاردت، جي جي (ديسمبر 1973). "نموذج شراء المستهلك مع فترات إرلانج بين عمليات الشراء". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 68 (344): 828-835 . doi : 10.1080/01621459.1973.10481432 .
  13. ↑ كوكس، د. ر. (1967) نظرية التجديد ، ص20، ميثوين.

مراجع