التوزيع الهندسي الفائق

تتميز التوزيعات الهندسية الفائقة بالشروط التالية:

• يمكن تصنيف نتيجة كل سحب (عناصر السكان التي يتم أخذ عينات منها) إلى واحدة من فئتين حصريتين متبادلتين (مثل النجاح / الرسوب أو موظف / عاطل عن العمل).
• يتغير احتمال النجاح في كل سحب، حيث أن كل سحب يقلل من عدد السكان ( أخذ العينات بدون إرجاع من مجموعة سكانية محدودة).

متغير عشوائي${\displaystyle X}$يتبع التوزيع الهندسي الفائق إذا كانت دالة الكتلة الاحتمالية (pmf) الخاصة به معطاة بواسطة ^{[ 2 ]}

${\displaystyle p_{X}(k)=\Pr(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {NK}{nk}}}{\binom {N}{n}}},}$

أين

• ${\displaystyle N}$حجم السكان،
• ${\displaystyle K}$يمثل عدد حالات النجاح في المجتمع،
• ${\displaystyle n}$هو عدد السحوبات (أي الكمية المسحوبة في كل تجربة)،
• ${\displaystyle k}$هو عدد حالات النجاح الملحوظة،
• ${\textstyle \textstyle {أ \اختر ب}}$هو معامل ذو حدين .

تكون دالة القوة الدافعة موجبة عندما${\displaystyle \max(0,n+KN)\leq k\leq \min(K,n)}$.

متغير عشوائي موزع توزيعًا هندسيًا فائقًا بمعاملات${\displaystyle N}$،${\displaystyle K}$و${\displaystyle n}$مكتوب${\textstyle X\sim \operatorname {القياس الهندسي الفائق} (N,K,n)}$ولها دالة كتلة احتمالية${\textstyle p_{X}(k)}$فوق.

كما هو مطلوب، لدينا

$${\displaystyle \sum _{0\leq k\leq {\textrm {min}}(n,K)}{{K \choose k}{NK \choose nk} \over {N \choose n}}=1,}$$

والذي يتبع بشكل أساسي من متطابقة فاندرموند من علم التوافيق .

لاحظ أيضًا أن

${\displaystyle {{K \choose k}{NK \choose nk} \over {N \choose n}}={{{n \choose k}{{Nn} \choose {Kk}}} \over {N \choose K}};}$

يمكن إثبات هذه المتطابقة بالتعبير عن معاملات ذات الحدين بدلالة المضروب وإعادة ترتيبها. إضافةً إلى ذلك، فهي ناتجة عن تناظر المسألة، الموصوفة بطريقتين مختلفتين لكنهما قابلتان للتبادل.

على سبيل المثال، لنفترض إجراء جولتين من السحب بدون إرجاع. في الجولة الأولى،${\displaystyle K}$من خارج${\displaystyle N}$تُسحب كرات زجاجية محايدة من وعاء دون إرجاعها وتُلوّن باللون الأخضر. ثم تُعاد الكرات الملونة إلى الوعاء. في الجولة الثانية،${\displaystyle n}$تُسحب الكرات الزجاجية دون إرجاع وتُلوّن باللون الأحمر. بعد ذلك، يكون عدد الكرات التي تحمل كلا اللونين (أي عدد الكرات التي سُحبت مرتين) مُوزّعًا وفقًا للتوزيع الهندسي الفائق. التناظر في${\displaystyle K}$و${\displaystyle n}$ينبع ذلك من حقيقة أن الجولتين مستقلتان، وكان من الممكن أن يبدأ المرء بالسحب.${\displaystyle n}$قم بتلوين الكرات باللون الأحمر أولاً.

لاحظ أننا مهتمون باحتمالية${\displaystyle k}$النجاحات في${\displaystyle n}$تُجرى عمليات السحب بدون إرجاع ، لأن احتمال النجاح في كل محاولة ليس متساوياً، إذ يتغير حجم المجموعة المتبقية مع إزالة كل كرة. يُرجى الانتباه إلى عدم الخلط بين هذا التوزيع والتوزيع ذي الحدين ، الذي يصف احتمالية${\displaystyle k}$النجاحات في${\displaystyle n}$التعادل مع الإعادة.

يُعدّ أخذ العينات بدون إرجاع أحد التطبيقات الكلاسيكية للتوزيع الهندسي الفائق . تخيّل وعاءً يحتوي على نوعين من الكرات الزجاجية : الأحمر والأخضر. يُعتبر سحب كرة زجاجية خضراء نجاحًا، وسحب كرة زجاجية حمراء فشلًا. لنفترض أن N يُمثّل عدد الكرات الزجاجية في الوعاء (انظر جدول التوافق أدناه)، و K يُمثّل عدد الكرات الزجاجية الخضراء ، وبالتالي فإن N  - K يُمثّل عدد الكرات الزجاجية الحمراء . الآن، وأنت تقف بجانب الوعاء، تُغمض عينيك وتسحب n كرة زجاجية بدون إرجاع. لنُعرّف X كمتغير عشوائي نتيجته k ، وهو عدد الكرات الزجاجية الخضراء المسحوبة في التجربة. يوضح جدول التوافق التالي هذه الحالة : 

في الواقع، يهمنا حساب احتمال سحب k كرة خضراء من أصل n سحبة، علمًا بأن هناك K كرة خضراء من إجمالي N كرة. في هذا المثال، لنفترض أن هناك 5 كرات خضراء و 45 كرة حمراء في الإناء. تقف بجانب الإناء، وتغمض عينيك، ثم تسحب 10 كرات دون إرجاع. ما احتمال أن تكون 4 كرات من أصل 10 خضراء؟

يمكن تلخيص هذه المشكلة في جدول الطوارئ التالي:

لإيجاد احتمال سحب k كرة خضراء في n سحبة بالضبط من أصل N سحبة إجمالية ، نحدد X كمتغير عشوائي فوق هندسي لاستخدام الصيغة

${\displaystyle P(X=k)=f(k;N,K,n)={{{K \choose k}{{NK} \choose {nk}}} \over {N \choose n}}.}$

لشرح الصيغة المعطاة بشكل بديهي، ضع في اعتبارك المسألتين المتناظرتين الممثلتين بالهوية.

${\displaystyle {{K \choose k}{NK \choose nk} \over {N \choose n}}={{{n \choose k}{{Nn} \choose {Kk}}} \over {N \choose K}}}$

1. الجانب الأيسر - سحب n كرة زجاجية فقط من الجرة. نريد إيجاد احتمال سحب k كرة زجاجية خضراء من إجمالي K كرة زجاجية خضراء، وسحب nk كرة زجاجية حمراء من إجمالي NK كرة زجاجية حمراء، في هذه الجولات n.
2. الجانب الأيمن - بدلاً من ذلك، سحب جميع الكرات الزجاجية N من الجرة. نريد إيجاد احتمال سحب k كرة زجاجية خضراء في n سحبة من إجمالي N سحبة، و Kk كرة زجاجية خضراء في السحبات المتبقية Nn.

بالعودة إلى الحسابات، نستخدم الصيغة أعلاه لحساب احتمال سحب k كرة زجاجية خضراء بالضبط

${\displaystyle P(X=4)=f(4;50,5,10)={{{5 \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}}={5\cdot 8145060 \over 10272278170}=0.003964583\dots .}$

بشكل بديهي، نتوقع أن يكون من غير المرجح أن تكون جميع الكرات الخضراء الخمس من بين الكرات العشر المسحوبة.

${\displaystyle P(X=5)=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}}={1\cdot 1221759 \over 10272278170}=0.0001189375\dots ,}$

وكما هو متوقع، فإن احتمال سحب 5 كرات خضراء أقل بنحو 35 مرة من احتمال سحب 4 كرات.

تبديل أدوار الكرات الخضراء والحمراء:

${\displaystyle f(k;N,K,n)=f(nk;N,NK,n)}$

تبديل أدوار الكرات المرسومة وغير المرسومة:

${\displaystyle f(k;N,K,n)=f(Kk;N,K,Nn)}$

تبديل أدوار الكرات الخضراء والملونة:

${\displaystyle f(k;N,K,n)=f(k;N,n,K)}$

تُولد هذه التناظرات المجموعة ثنائية السطوح${\displaystyle D_{4}}$.

إن احتمال سحب أي مجموعة من الكرات الخضراء والحمراء (التوزيع الهندسي الفائق) يعتمد فقط على عدد الكرات الخضراء والحمراء، وليس على ترتيب ظهورها؛ أي أنه توزيع قابل للتبادل . ونتيجة لذلك، فإن احتمال سحب كرة خضراء في${\displaystyle i^{\text{th}}}$التعادل هو ^{[ 3 ]}

${\displaystyle P(G_{i})={\frac {K}{N}}.}$

هذا احتمال مسبق - أي أنه يعتمد على عدم معرفة نتائج السحوبات السابقة.

يترك${\displaystyle X\sim \operatorname {Hypergeometric} (N,K,n)}$و${\displaystyle p=K/N}$ثم لـ${\displaystyle 0<t<K/N}$يمكننا استنتاج الحدود التالية: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq (p-t)n]&\leq e^{-n{\text{D}}(p-t\parallel p)}\leq e^{-2t^{2}n}\\\Pr[X\geq (p+t)n]&\leq e^{-n{\text{D}}(p+t\parallel p)}\leq e^{-2t^{2}n}\\\end{aligned}}\!}$

أين

${\displaystyle D(a\parallel b)=a\log {\frac {a}{b}}+(1-a)\log {\frac {1-a}{1-b}}}$

هو تباعد كولباك-لايبير ، ويُستخدم لـ${\displaystyle D(a\parallel b)\geq 2(a-b)^{2}}$[ ^{5 ]​}

ملاحظة : لاستنتاج الحدود السابقة، يجب البدء بملاحظة أن${\displaystyle X={\frac {\sum _{i=1}^{n}Y_{i}}{n}}}$أين${\displaystyle Y_{i}}$هي متغيرات عشوائية تابعة ذات توزيع محدد${\displaystyle D}$بما أن معظم النظريات المتعلقة بحدود مجموع المتغيرات العشوائية تتعلق بتسلسلات مستقلة منها، فإنه يتعين أولاً إنشاء تسلسل.${\displaystyle Z_{i}}$من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوزيع نفسه${\displaystyle D}$وتطبيق النظريات على${\displaystyle X'={\frac {\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}{n}}}$ثم، يُثبت من هوفدينغ ^{[ 4 ]} أن النتائج والحدود التي تم الحصول عليها من خلال هذه العملية تنطبق على${\displaystyle X}$أيضًا.

إذا كانت قيمة n أكبر من N /2، فقد يكون من المفيد تطبيق التناظر "لعكس" الحدود، مما يعطيك ما يلي: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq (p-t)n]&\leq e^{-(N-n){\text{D}}(p+{\tfrac {tn}{N-n}}||p)}\leq e^{-2t^{2}n{\tfrac {n}{N-n}}}\\\\\Pr[X\geq (p+t)n]&\leq e^{-(N-n){\text{D}}(p-{\tfrac {tn}{N-n}}||p)}\leq e^{-2t^{2}n{\tfrac {n}{N-n}}}\\\end{aligned}}\!}$

يستخدم اختبار التوزيع الهندسي الفائق التوزيع الهندسي الفائق لقياس الدلالة الإحصائية لسحب عينة تتكون من عدد محدد من${\displaystyle k}$النجاحات (من أصل${\displaystyle n}$إجمالي عدد السحوبات) من مجتمع بحجم${\displaystyle N}$يحتوي على${\displaystyle K}$النجاحات. في اختبار التمثيل الزائد للنجاحات في العينة، يتم حساب قيمة p الهندسية الفائقة كاحتمالية السحب العشوائي${\displaystyle k}$أو المزيد من النجاحات من السكان في${\displaystyle n}$إجمالي عمليات السحب. في اختبار نقص التمثيل، تمثل قيمة p احتمال السحب العشوائي${\displaystyle k}$أو نجاحات أقل.

الاختبار القائم على التوزيع الهندسي الفائق (الاختبار الهندسي الفائق) مطابق للنسخة أحادية الطرف المقابلة من اختبار فيشر الدقيق . ^{[ 7 ]} وبالمقابل، يمكن حساب قيمة الاحتمال لاختبار فيشر الدقيق ثنائي الجانب كمجموع اختبارين هندسيين فائقين مناسبين (لمزيد من المعلومات، انظر ^{[ 8 ]} ).

يُستخدم هذا الاختبار غالبًا لتحديد الفئات السكانية الفرعية التي تُمثَّل تمثيلًا زائدًا أو ناقصًا في العينة. وله تطبيقات واسعة النطاق. فعلى سبيل المثال، يمكن لمجموعة تسويقية استخدام هذا الاختبار لفهم قاعدة عملائها من خلال اختبار مجموعة من العملاء المعروفين للتحقق من وجود تمثيل زائد لفئات ديموغرافية فرعية مختلفة (مثل النساء، والأشخاص الذين تقل أعمارهم عن 30 عامًا).

يمكن توسيع نموذج الجرة التي تحتوي على كرات زجاجية خضراء وحمراء ليشمل حالة وجود أكثر من لونين من الكرات الزجاجية. إذا كان هناك K_{_i} كرة زجاجية من اللون i في الجرة، وقمت بسحب n كرة زجاجية عشوائيًا دون إرجاع، فإن عدد الكرات الزجاجية من كل لون في العينة ( k _₁ , k _₂ , ..., k_{_c} ) يتبع التوزيع الهندسي الفائق متعدد المتغيرات.

${\displaystyle \Pr(X_{1}=k_{1},\ldots ,X_{c}=k_{c})={\frac {\prod \limits _{i=1}^{c}{\binom {K_{i}}{k_{i}}}}{\binom {N}{n}}}}$

وهذا له نفس العلاقة بالتوزيع متعدد الحدود التي تربط التوزيع الهندسي الفائق بالتوزيع ذي الحدين - فالتوزيع متعدد الحدود هو توزيع "مع الإحلال" والتوزيع الهندسي الفائق متعدد المتغيرات هو توزيع "بدون إحلال".

تُعطى خصائص هذا التوزيع في الجدول المجاور، ^{[ 9 ]} حيث c هو عدد الألوان المختلفة و${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{c}K_{i}}$يمثل العدد الإجمالي للكرات الزجاجية في الجرة.

تختبر عمليات تدقيق الانتخابات عادةً عينة من مراكز الاقتراع التي تم فرزها آليًا للتأكد من تطابق نتائج إعادة الفرز، سواءً يدويًا أو آليًا، مع النتائج الأصلية. ويؤدي عدم التطابق إما إلى إصدار تقرير أو إعادة فرز أوسع نطاقًا. تُحدد معدلات أخذ العينات عادةً بموجب القانون، وليس وفقًا للتصميم الإحصائي، لذا، بالنسبة لحجم عينة محدد قانونًا n ، ما هو احتمال عدم اكتشاف مشكلة موجودة في K مركز اقتراع، مثل اختراق أو خلل برمجي؟ هذا هو احتمال أن يكون k = 0. غالبًا ما تكون الأخطاء البرمجية خفية، ويمكن للمخترق تقليل احتمالية اكتشافها من خلال التأثير على عدد قليل من مراكز الاقتراع فقط، مما سيؤثر مع ذلك على الانتخابات المتقاربة، لذا فإن السيناريو المحتمل هو أن يكون K في حدود 5% من N. تغطي عمليات التدقيق عادةً من 1% إلى 10% من مراكز الاقتراع (غالبًا 3%)، ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} لذا فإن احتمال عدم اكتشاف مشكلة ما واردٌ جدًا. على سبيل المثال، إذا كانت المشكلة موجودة في 5 من أصل 100 دائرة انتخابية، فإن عينة بنسبة 3% لديها احتمال بنسبة 86% أن تكون قيمة k = 0، وبالتالي لن يتم ملاحظة المشكلة، واحتمال بنسبة 14% فقط لظهور المشكلة في العينة (قيمة k موجبة ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\boldsymbol {\mathcal {P}}} \{\ X=0\ \}&={\frac {\ \left[\ {\binom {\text{Hack}}{0}}{\binom {N\ -\ {\text{Hack}}}{n\ -\ 0}}\ \right]\ }{\left[\ {\binom {N}{n}}\ \right]}}={\frac {\ \left[\ {\binom {N\ -\ {\text{Hack}}}{n}}\ \right]}{\ \left[\ {\binom {N}{n}}\ \right]\ }}={\frac {\ \left[\ {\frac {\ (N\ -\ {\text{Hack}})!\ }{n!(N\ -\ {\text{Hack}}-n)!}}\ \right]\ }{\left[\ {\frac {N!}{n!(N\ -\ n)!}}\ \right]}}={\frac {\ \left[\ {\frac {(N-{\text{Hack}})!}{(N\ -\ {\text{Hack}}\ -\ n)!}}\ \right]\ }{\left[\ {\frac {N!}{(N\ -\ n)!}}\ \right]}}\\[8pt]&={\frac {\ \left[\ {\binom {100-5}{3}}\ \right]\ }{\ \left[\ {\binom {100}{3}}\ \right]\ }}={\frac {\ \left[\ {\frac {(100-5)!}{(100-5-3)!}}\ \right]\ }{\left[\ {\frac {100!}{(100-3)!}}\ \right]}}={\frac {\ \left[\ {\frac {95!}{92!}}\ \right]\ }{\ \left[\ {\frac {100!}{97!}}\ \right]\ }}={\frac {\ 95\times 94\times 93\ }{100\times 99\times 98}}=86\%\end{aligned}}}$

ستحتاج العينة إلى 45 دائرة انتخابية لكي يكون احتمال أن تكون قيمة k  =  0 في العينة أقل من 5%، وبالتالي يكون احتمال العثور على المشكلة أكثر من 95%:

${\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {P}}} \{\ X=0\ \}={\frac {\ \left[\ {\binom {100-5}{45}}\ \right]\ }{\left[\ {\binom {100}{45}}\ \right]}}={\frac {\ \left[\ {\frac {95!}{50!}}\ \right]\ }{\left[\ {\frac {100!}{55!}}\ \right]}}={\frac {\ 95\times 94\times \cdots \times 51\ }{\ 100\times 99\times \cdots \times 56\ }}={\frac {\ 55\times 54\times 53\times 52\times 51\ }{\ 100\times 99\times 98\times 97\times 96\ }}=4.6\%~.}$

في لعبة البوكر تكساس هولدم، يسعى اللاعبون إلى تكوين أفضل يد ممكنة من خلال دمج ورقتيهم مع الأوراق الخمس المشتركة التي ستظهر على الطاولة. تحتوي مجموعة أوراق اللعب على 52 ورقة، منها 13 ورقة من كل نوع. لنفترض في هذا المثال أن أحد اللاعبين لديه ورقتان من فئة النادي، وأن هناك 3 أوراق ظاهرة على الطاولة، اثنتان منها من فئة النادي أيضًا. يريد اللاعب معرفة احتمالية أن تكون إحدى الورقتين التاليتين من فئة النادي لإكمال الفلاش . ( لاحظ أن الاحتمالية المحسوبة في هذا المثال تفترض عدم معرفة أي معلومات عن أوراق اللاعبين الآخرين؛ ومع ذلك، قد يأخذ لاعبو البوكر المحترفون في الاعتبار كيفية وضع اللاعبين الآخرين لرهاناتهم (التمرير، أو الموازنة، أو الرفع، أو الانسحاب) عند حساب الاحتمالية في كل حالة. من الناحية الدقيقة، فإن طريقة حساب احتمالات النجاح الموضحة هنا دقيقة في حالة وجود لاعب واحد فقط على الطاولة؛ أما في لعبة متعددة اللاعبين، فقد يتم تعديل هذه الاحتمالية بناءً على رهانات الخصوم).

هناك 4 أوراق من فئة النادي ظاهرة، لذا لا يزال هناك 9 أوراق من فئة النادي غير ظاهرة. هناك 5 أوراق ظاهرة (2 في اليد و3 على الطاولة)، لذا هناك${\displaystyle 52-5=47}$لم يُرَ بعد.

يمكن حساب احتمال أن تكون إحدى البطاقتين التاليتين من فئة النادي باستخدام التوزيع الهندسي الفائق.${\displaystyle k=1,n=2,K=9}$و${\displaystyle N=47}$(حوالي 31.64%)

يمكن حساب احتمال أن تكون كلتا البطاقتين التاليتين المكشوفتين من فئة النادي باستخدام التوزيع الهندسي الفائق مع${\displaystyle k=2,n=2,K=9}$و${\displaystyle N=47}$(حوالي 3.33%)

يمكن حساب احتمالية عدم كون أي من البطاقتين التاليتين من فئة النادي باستخدام التوزيع الهندسي الفائق مع${\displaystyle k=0,n=2,K=9}$و${\displaystyle N=47}$(حوالي 65.03%)

يُعدّ التوزيع الهندسي الفائق أساسيًا لحساب احتمالات لعبة الكينو . في الكينو، تُسحب 20 كرة عشوائيًا من بين 80 كرة مرقمة في وعاء، على غرار لعبة البنغو الأمريكية . قبل كل سحب، يختار اللاعب عددًا معينًا من الخانات بتحديدها على استمارة ورقية مُخصصة لهذا الغرض. على سبيل المثال، قد يختار اللاعب ستة أرقام، كل منها من 1 إلى 80. بعد ذلك (بعد أن يأخذ جميع اللاعبين استماراتهم إلى أمين الصندوق ويحصلوا على نسخة منها، ويدفعوا رهانهم)، تُسحب 20 كرة. قد تتطابق بعض الكرات المسحوبة مع بعض أو كل الكرات التي اختارها اللاعب. عمومًا، كلما زاد عدد الكرات المطابقة (الكرات المسحوبة التي تتطابق مع أرقام اللاعب المختارة)، زادت قيمة الجائزة.

على سبيل المثال، إذا راهن أحد الزبائن بدولار واحد على ستة أرقام (وهو مثال شائع) وحصل على أربعة منها، فسيدفع له الكازينو أربعة دولارات. تختلف قيمة العوائد من كازينو لآخر، لكن أربعة دولارات قيمة نموذجية هنا. احتمالية حدوث ذلك هي:

${\displaystyle P(X=4)=f(4;80,6,20)={{{6 \choose 4}{{80-6} \choose {20-4}}} \over {80 \choose 20}}\approx 0.02853791}$

وبالمثل، فإن فرصة إصابة 5 مواقع من أصل 6 مواقع مختارة هي ${\displaystyle {{{6 \choose 5}{{74} \choose {15}}} \over {80 \choose 20}}\approx 0.003095639}$ بينما قد يكون العائد النموذجي 88 دولارًا. أما العائد عند مطابقة جميع الأرقام الستة فيبلغ حوالي 1500 دولار (باحتمالية تقارب 0.000128985 أو 7752 إلى 1). والعائد الوحيد الآخر غير الصفري قد يكون دولارًا واحدًا عند مطابقة ثلاثة أرقام (أي استرداد قيمة الرهان)، باحتمالية تقارب 0.129819548.

بجمع حاصل ضرب العوائد في الاحتمالات المقابلة، نحصل على عائد متوقع قدره 0.70986492 أو ما يقارب 71% للعبة ذات الستة نقاط، مع ميزة لصالح الكازينو تبلغ 29%. وتُحقق أنواع أخرى من الألعاب عائدًا متوقعًا مماثلًا. ويُعزى هذا العائد المنخفض جدًا (للاعب) عادةً إلى التكاليف التشغيلية الكبيرة (مساحة الصالة، والمعدات، والموظفين) اللازمة للعبة.