توزيع بيتا-ذو الحدين

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعدّ توزيع بيتا-ذو الحدين عائلة من التوزيعات الاحتمالية المنفصلة على نطاق محدود من الأعداد الصحيحة غير السالبة، وينشأ عندما يكون احتمال النجاح في كل تجربة من عدد ثابت أو معلوم من تجارب برنولي إما مجهولًا أو عشوائيًا. توزيع بيتا-ذو الحدين هو توزيع ذو الحدين الذي لا يكون فيه احتمال النجاح في كل تجربة من التجارب n ثابتًا، بل يُسحب عشوائيًا من توزيع بيتا . ويُستخدم هذا التوزيع بكثرة في الإحصاء البايزي ، وطرق بايز التجريبية ، والإحصاء الكلاسيكي ، لرصد التشتت الزائد في البيانات الموزعة من نوع ذي الحدين .

يُعدّ التوزيع بيتا-ذو الحدين نسخة أحادية البُعد من التوزيع ديريشلي-متعدد الحدود، كما أن التوزيعين ذي الحدين وبيتا هما نسختان أحاديتان من التوزيعين متعدد الحدود وديريشلي على التوالي. وتُعرف الحالة الخاصة التي يكون فيها α و β عددين صحيحين بالتوزيع الهندسي الفائق السالب .

اللحظات الثلاث الأولى الخام هي

$\begin{aligned}\mu_{1}=\frac{n\alpha}{\alpha +\beta}\\\mu_{2}=\frac{n\alpha[n(1+\alpha)+\beta]}{(\alpha +\beta)(1+\alpha +\beta)}\\\mu_{3}=\frac{n\alpha[n^2(1+\alpha)(2+\alpha)+3n(1+\alpha)\beta +\beta(\beta -\alpha)]}{(\alpha +\beta)(1+\alpha +\beta)(2+\alpha +\beta)}}\end{aligned}}}$

والتفرطح هو​

$\beta_2 = \frac{(\alpha +\beta)^2(1+\alpha +\beta)}{n\alpha\beta(\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +n)} \left[(\alpha +\beta)(\alpha +\beta -1+6n)+3\alpha\beta(n-2)+6n^2 - \frac{3\alpha\betan(6-n)}{\alpha +\beta}} - \frac{18\alpha\betan^2}{(\alpha +\beta)^2} \right].$

تأجير${\displaystyle p={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$نلاحظ، على سبيل الإيحاء، أن المتوسط ​​الحسابي يمكن كتابته على النحو التالي

${\displaystyle \mu ={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}=np\!}$

والتباين كـ

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}=np(1-p){\frac {\alpha +\beta +n}{\alpha +\beta +1}}=np(1-p)[1+(n-1)\rho ]\!}$

أين${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\alpha +\beta +1}}\!}$المعلمة${\displaystyle \rho \;\!}$ يُعرف هذا بالارتباط "داخل الفئة" أو "داخل المجموعة". هذا الارتباط الإيجابي هو الذي يُؤدي إلى التشتت الزائد. لاحظ أنه عندما${\displaystyle n=1}$، لا تتوفر معلومات للتمييز بين التباين بيتا والتباين ذي الحدين، والنموذجان لهما تباينات متساوية.

يلعب توزيع بيتا-ذو الحدين دورًا بارزًا في التقدير البايزي لاحتمالية نجاح برنولي${\displaystyle p}$والتي نرغب في تقديرها بناءً على البيانات. لنفترض${\displaystyle \mathbf {X} =\{X_{1},X_{2},\cdots X_{n_{1}}\}}$لتكن عينة من متغيرات برنولي العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع${\displaystyle X_{i}\sim {\text{Bernoulli}}(p)}$لنفترض أن معرفتنا بـ${\displaystyle p}$- على الطريقة البايزية - غير مؤكد ويتم نمذجته بواسطة التوزيع المسبق${\displaystyle p\sim {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$. لو${\displaystyle Y_{1}=\sum _{i=1}^{n_{1}}X_{i}}$ثم من خلال التراكم ، التوزيع التنبؤي المسبق لـ

${\displaystyle Y_{1}\sim {\text{BetaBin}}(n_{1},\alpha ,\beta )}$.

بعد الملاحظة${\displaystyle Y_{1}}$نلاحظ أن التوزيع الاحتمالي اللاحق لـ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(p|\mathbf {X} ,\alpha ,\beta )&\propto \left(\prod _{i=1}^{n_{1}}p^{x_{i}}(1-p)^{1-x_{i}}\right)p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}\\&=Cp^{\sum x_{i}+\alpha -1}(1-p)^{n_{1}-\sum x_{i}+\beta -1}\\&=Cp^{y_{1}+\alpha -1}(1-p)^{n_{1}-y_{1}+\beta -1}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle C}$هو ثابت تطبيع . ندرك التوزيع الاحتمالي اللاحق لـ${\displaystyle p}$كـ${\displaystyle \mathrm {Beta} (y_{1}+\alpha ,n_{1}-y_{1}+\beta )}$.

وهكذا، من خلال التراكم مرة أخرى، نجد أن التوزيع التنبؤي اللاحق للمجموع${\displaystyle Y_{2}}$من عينة مستقبلية بحجم${\displaystyle n_{2}}$ل${\displaystyle \mathrm {Bernoulli} (p)}$المتغيرات العشوائية هي

${\displaystyle Y_{2}\sim \mathrm {BetaBin} (n_{2},y_{1}+\alpha ,n_{1}-y_{1}+\beta )}$.

لرسم متغير عشوائي بيتا-ذو الحدين${\displaystyle X\sim \mathrm {BetaBin} (n,\alpha ,\beta )}$ارسم ببساطة${\displaystyle p\sim \mathrm {Beta} (\alpha ,\beta )}$ثم ارسم${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (n,p)}$.

• ${\displaystyle \mathrm {BetaBin} (1,\alpha ,\beta )\sim \mathrm {Bernoulli} (p)\,}$أين${\displaystyle p={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,}$.
• ${\displaystyle \mathrm {BetaBin} (n,1,1)\sim U(0,n)\,}$أين${\displaystyle U(a,b)\,}$هو التوزيع المنتظم المنفصل .
• لو${\displaystyle X\sim \mathrm {BetaBin} (n,\alpha ,\beta )\,}$ثم${\displaystyle (n-X)\sim \mathrm {BetaBin} (n,\beta ,\alpha )\,}$
• ${\displaystyle \lim _{s\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,ps,(1-p)s)\sim \mathrm {B} (n,p)\,}$أين${\displaystyle p={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,}$و${\displaystyle s=\alpha +\beta \,}$و${\displaystyle \mathrm {B} (n,p)\,}$هو التوزيع ذو الحدين .
• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,n\lambda ,n^{2})\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$أين${\displaystyle \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$هو توزيع بواسون .
• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,1,{\frac {np}{(1-p)}})\sim \mathrm {Geom} (p)\,}$أين${\displaystyle \mathrm {Geom} (p)\,}$هو التوزيع الهندسي .
• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,r,{\frac {np}{(1-p)}})\sim \mathrm {NB} (r,p)\,}$أين${\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)\,}$هو التوزيع ذو الحدين السالب .

• توزيع ديريشليه متعدد الحدود

• مينكا، توماس ب. (2003). تقدير توزيع ديريشليه . تقرير فني من مايكروسوفت.

• استخدام توزيع بيتا ذي الحدين لتقييم أداء جهاز تحديد الهوية البيومترية
• يحتوي Fastfit على كود Matlab لتركيب توزيعات بيتا ذات الحدين (في شكل توزيعات بوليا ثنائية الأبعاد) على البيانات.
• رسم بياني تفاعلي: علاقات التوزيع أحادية المتغير
• دوال بيتا ذات الحدين في حزمة VGAM R
• توزيع بيتا-ذو الحدين في مكتبة جافا الخاصة بـ Cognitive Foundry التابعة لمختبرات سانديا الوطنية. مؤرشف بتاريخ 21 مارس 2021 على موقع Wayback Machine.