دالة فرط هندسية معممة

تعتبر الهوية الأساسية التالية مفيدة للغاية لأنها تربط الدوال الهندسية الفائقة ذات الرتبة الأعلى من حيث التكاملات على الدوال ذات الرتبة الأدنى ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

تحقق الدالة الهندسية الفائقة المعممة ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\end{aligned}}}$

و

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]{\text{ for }}b_{k}\neq 1\end{aligned}}}$

بالإضافة إلى ذلك،

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}$

بدمج هذه المعادلات نحصل على معادلة تفاضلية تحققها المعادلة w = _p F _q :

${\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}$.

نظرية سالشوتز ^{[ 6 ]} ( سالشوتز 1890 ) هي

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$

للاطلاع على توسيع هذه النظرية، انظر ورقة بحثية من تأليف راخا وراثي. ووفقًا لـ ( أندروز، أسكي وروي 1999 ، ص 69) ، فقد اكتشفها بفاف لأول مرة في عام 1797. ^{[ 7 ]} 

متطابقة ديكسون ، ^{[ 8 ]} التي أثبتها ديكسون (1902) لأول مرة ، تعطي مجموع ₃ F ₂ متوازن جيدًا عند 1:

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}$

للاطلاع على تعميم هوية ديكسون، انظر ورقة بحثية من تأليف لافوا وآخرون.

تعطي صيغة دوغال ( دوغال 1907 ) مجموع سلسلة متوازنة بشكل جيد للغاية تنتهي وتتوازن من الدرجة 2. 

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}.\end{aligned}}}$

يعني مصطلح "منتهي" أن m عدد صحيح غير سالب، ويعني مصطلح "متوازن من الدرجة 2" أن

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}$

يمكن اشتقاق العديد من الصيغ الأخرى للقيم الخاصة للدوال فوق الهندسية من هذه الصيغة كحالات خاصة أو حدية. وتُعرف أيضًا باسم متطابقة دوغال-رامانوجان. وهي حالة خاصة من متطابقة جاكسون، وتُعطي متطابقة ديكسون ونظرية سالشوتز كحالات خاصة. ^{[ 9 ]}

الهوية 1.

${\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}$

أين

${\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}}$؛

الهوية 2.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),}$

والتي تربط دوال بيسل بـ ₂ F ₂ ؛ وهذا يختزل إلى صيغة كومر الثانية لـ b = 2 a :

الهوية 3.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}$.

الهوية 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}}$

وهو مجموع محدود إذا كان bd عددًا صحيحًا غير سالب.

علاقة كومر هي

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

صيغة كلاوسن

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}$

استخدمها دي برانجيس لإثبات حدسية بيبرباخ .

كما ذكرنا سابقاً،${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}$المعادلة التفاضلية لهذه الدالة هي${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=w}$والتي لديها حلول${\displaystyle w=ke^{z}}$حيث k ثابت.

وظائف الشكل${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$تُسمى هذه الدوال بالدوال الحدية الهندسية الفائقة المتقاربة، وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بدوال بيسل .

العلاقة هي:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

المعادلة التفاضلية لهذه الدالة هي

${\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}$

أو

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}$

عندما لا يكون a عددًا صحيحًا موجبًا، فإن الاستبدال

${\displaystyle w=z^{1-a}u,}$

يعطي حلاً مستقلاً خطياً

${\displaystyle z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),}$

إذن الحل العام هو

${\displaystyle k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)}$

حيث k و l ثابتان. (إذا كان a عددًا صحيحًا موجبًا، فإن الحل المستقل يُعطى بواسطة دالة بيسل المناسبة من النوع الثاني.)

وهناك حالة خاصة هي:

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

ومن الحالات المهمة ما يلي:

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}$

المعادلة التفاضلية لهذه الدالة هي

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}$

أو

${\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,}$

والتي لها حلول

${\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}$

حيث k ثابت.

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(1;;z)=\sum _{n\geqslant 0}z^{n}=(1-z)^{-1}}$هي متسلسلة هندسية بنسبة z ومعامل 1.

${\displaystyle z~{}_{1}F_{0}(2;;z)=\sum _{n\geqslant 0}nz^{n}=z(1-z)^{-2}}$وهو مفيد أيضاً.

وظائف الشكل${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$تُسمى هذه الدوال بالدوال الهندسية الفائقة المتقاربة من النوع الأول ، وتُكتب أيضًا${\displaystyle M(a;b;z)}$دالة غاما غير الكاملة${\displaystyle \gamma (a,z)}$إنها حالة خاصة.

المعادلة التفاضلية لهذه الدالة هي

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}}$

أو

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}$

عندما لا يكون b عددًا صحيحًا موجبًا، فإن الاستبدال

${\displaystyle w=z^{1-b}u,}$

يعطي حلاً مستقلاً خطياً

${\displaystyle z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),}$

إذن الحل العام هو

${\displaystyle k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

حيث k و l ثابتان.

عندما يكون a عددًا صحيحًا غير موجب، − n ،${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$هي متعددة حدود. حتى عوامل ثابتة، تُعرف هذه بمتعددات حدود لاغير . وهذا يعني أنه يمكن التعبير عن متعددات حدود هيرميت بدلالة ₁ F ₁ أيضًا.

لا تُعرف العلاقات مع الدوال الأخرى إلا بالنسبة لبعض تركيبات المعلمات.

الوظيفة${\displaystyle x\;{}_{1}F_{2}\left({\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{4}}\right)}$هي الدالة الأصلية للجيب الأصلي . بقيم معدلة لـ${\displaystyle a_{1}}$و${\displaystyle b_{1}}$، ومن ثمّ نحصل على المشتقة الأصلية لـ${\displaystyle \sin(x^{\beta })/x^{\alpha }}$[ ^{10 ]​}

دالة لوميل هي${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{}_{1}F_{2}\left(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)}$[ ^{11 ]​}

يمكن كتابة الدالة الهندسية الفائقة المتقاربة من النوع الثاني على النحو التالي: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\;{}_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;;-{\frac {1}{z}}\right).}$

تاريخياً، كانت وظائف الشكل هي الأهم${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$تُعرف هذه الدوال أحيانًا بدوال غاوس فوق الهندسية ، أو الدوال فوق الهندسية الكلاسيكية، أو ببساطة الدوال فوق الهندسية. ويُستخدم مصطلح "الدالة فوق الهندسية المعممة" للدوال _p F _q تحسبًا لأي لبس. وقد درس كارل فريدريش غاوس هذه الدالة بالتفصيل لأول مرة ، حيث بحث في شروط تقاربها.

المعادلة التفاضلية لهذه الدالة هي

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}}$

أو

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

تُعرف هذه المعادلة باسم المعادلة التفاضلية فوق الهندسية . عندما لا يكون c عددًا صحيحًا موجبًا، فإن التعويض

${\displaystyle w=z^{1-c}u}$

يعطي حلاً مستقلاً خطياً

${\displaystyle z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),}$

إذن، الحل العام لـ | z | < 1 هو

${\displaystyle k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

حيث k و l ثابتان. يمكن اشتقاق حلول مختلفة لقيم أخرى لـ z . في الواقع، هناك 24 حلاً، تُعرف بحلول كومر ، يمكن اشتقاقها باستخدام متطابقات مختلفة، صالحة في مناطق مختلفة من المستوى المركب.

عندما يكون a عددًا صحيحًا غير موجب، − n ،

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

هي متعددة حدود. حتى عوامل ثابتة ومعامل قياس، تُعرف هذه بمتعددات حدود جاكوبي . تُعدّ فئات أخرى من متعددات الحدود المتعامدة، حتى عوامل ثابتة، حالات خاصة من متعددات حدود جاكوبي، لذا يمكن التعبير عنها باستخدام _2F1 أيضًا. يشمل ذلك متعددات حدود ليجندر ومتعددات _حدود تشيبيشيف .

يمكن التعبير عن مجموعة واسعة من تكاملات الدوال الأولية باستخدام الدالة فوق الهندسية، على سبيل المثال:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.}$

المتسلسلة الهندسية الفائقة${\displaystyle {}_{2}F_{2}}$يرتبط التكامل الأسي عمومًا بتكاملات حاصل ضرب الدوال الأسية والدالة الأسية. وبناءً على ذلك، يمكن كتابة التكامل الأسي على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=x{}_{2}F_{2}(1,1;2,2;x)+\ln x+\gamma .}$

يمكن كتابة كثيرات حدود موت على النحو التالي : ^{[ 13 ]}

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}}).}$

الوظيفة

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$

هو اللوغاريتم الثنائي ^{[ 14 ]}

بالإضافة إلى،

${\displaystyle _{3}F_{2}(1,1,1+n;2,2;x)={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}{\frac {\operatorname {Li} _{2-k}(x)}{x}}}$،

أين${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}}$هو عدد ستيرلينغ غير الموقّع من النوع الأول . ^{[ 15 ]}

الوظيفة

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)}$

هي متعددة حدود هان .

الوظيفة

${\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left(-n,a+b+c+d+n-1,a-t,a+t;a+b,a+c,a+d;1\right)}$

هي متعددة حدود ويلسون .

يمكن التعبير عن جميع جذور المعادلة من الدرجة الخامسة بدلالة الجذور الحرة وجذر برينغ ، وهو الحل الحقيقي للمعادلة.${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$يمكن كتابة جذر برينغ على النحو التالي: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\;{}_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-{\frac {3125a^{4}}{256}}\right).}$

دالة التقسيم${\displaystyle Z(K)}$تم اكتشاف نموذج إيزينغ ثنائي الأبعاد متساوي الخواص بدون مجال مغناطيسي خارجي بواسطة أونساغر في الأربعينيات ويمكن التعبير عنه على النحو التالي ^{[ 17 ].}

${\displaystyle \ln Z(K)=\ln(2\cosh 2K)-k^{2}{}_{4}F_{3}\left(1,1,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};2,2,2;16k^{2}\right),}$

مع${\displaystyle K={\frac {J}{k_{\mathrm {B} }T}}}$و${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\tanh 2K\,\operatorname {sech} 2K}$.

الوظائف

${\displaystyle \operatorname {Li} _{q}(z)=z\;{}_{q+1}F_{q}\left(1,1,\ldots ,1;2,2,\ldots ,2;z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-p}(z)=z\;{}_{p}F_{p-1}\left(2,2,\ldots ,2;1,1,\ldots ,1;z\right)}$

ل${\displaystyle q\in \mathbb {N} _{0}}$و${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$هي الدوال متعددة اللوغاريتمات .

لكل عدد صحيح n ≥ 2، يمكن التعبير عن جذور متعددة الحدود x ⁿ − x + t كمجموع لعدد لا يتجاوز N − 1 من الدوال فوق الهندسية من النوع _{n + 1} F _n ، والتي يمكن دائمًا اختزالها عن طريق حذف زوج واحد على الأقل من المعاملات a و b . ^{[ 16 ]}