اللوغاريتم المتعدد

في الرياضيات ، تُعرف دالة اللوغاريتم المتعدد (أو دالة جونكيير ، نسبةً إلى ألفريد جونكيير) بأنها دالة خاصة Li _s ( z ) من الرتبة s والمتغير z . ولا تتحول دالة اللوغاريتم المتعدد إلى دالة أولية ، مثل اللوغاريتم الطبيعي أو دالة كسرية ، إلا عند قيم محددة لـ s . وفي الإحصاء الكمي ، تظهر دالة اللوغاريتم المتعدد كصيغة مغلقة لتكاملات توزيع فيرمي -ديراك وتوزيع بوز-أينشتاين ، وتُعرف أيضًا بتكامل فيرمي-ديراك أو تكامل بوز-أينشتاين . وفي الديناميكا الكهربائية الكمية ، تظهر دوال اللوغاريتم المتعدد ذات الرتب الصحيحة الموجبة في حساب العمليات المُمثلة بمخططات فاينمان ذات الرتب العليا .

دالة اللوغاريتم المتعدد مكافئة لدالة زيتا لهرويتز - إذ يمكن التعبير عن أيٍّ من الدالتين بدلالة الأخرى - وكلتاهما حالتان خاصتان من دالة ليرش المتسامية . يجب عدم الخلط بين اللوغاريتمات المتعددة والدوال اللوغاريتمية المتعددة ، ولا مع التكامل اللوغاريتمي المُزاح Li( z ) ، الذي له نفس الترميز بدون الرمز السفلي.

• دوال متعددة اللوغاريتمات المختلفة في المستوى المركب
• 
  Li _–3 ( z )
• 
  Li _–2 ( z )
• 
  Li _–1 ( z )
• 
  Li ₀ ( z )
• 
  Li ₁ ( z )
• 
  Li ₂ ( z )
• 
  Li ₃ ( z )

تُعرَّف دالة اللوغاريتم المتعدد بواسطة متسلسلة قوى في z تعمم متسلسلة ميركاتور ، وهي أيضًا متسلسلة ديريشليه في s : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2} \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots }$$

هذا التعريف صالح لأي رتبة عقدية s ولجميع الوسائط العقدية z حيث | z | < 1 ؛ ويمكن تعميمه ليشمل | z | ≥ 1 باستخدام عملية الاستمرار التحليلي . ( يُفهم المقام k ^s هنا على أنه exp( s ln k ) ). الحالة الخاصة s = 1 تتضمن اللوغاريتم الطبيعي العادي ، Li ₁ ( z ) = −ln(1− z ) ، بينما تُسمى الحالتان الخاصتان s = 2 و s = 3 باللوغاريتم الثنائي (المعروف أيضًا بدالة سبنس) واللوغاريتم الثلاثي على التوالي. اسم الدالة مشتق من حقيقة أنه يمكن تعريفها أيضًا على أنها التكامل المتكرر لنفسها. $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}dt}$$ وبالتالي، فإن اللوغاريتم الثنائي هو تكامل لدالة تتضمن اللوغاريتم، وهكذا. بالنسبة للرتب الصحيحة غير الموجبة s ، فإن اللوغاريتم المتعدد هو دالة كسرية .

في حالة الأمر${\displaystyle s}$إذا كان عددًا صحيحًا، فسيتم تمثيله بواسطة${\displaystyle s=n}$(أو${\displaystyle s=-n}$(عندما تكون سالبة). من الملائم غالبًا تعريف${\displaystyle \mu =\ln(z)}$أين${\displaystyle \ln(z)}$هو الفرع الرئيسي للوغاريتم المركب${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$لهذا السبب.${\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} (\mu )\leq \pi .}$كذلك، سيتم افتراض أن جميع عمليات الأسس ذات قيمة واحدة:${\displaystyle z^{s}=\exp(s\ln(z)).}$

حسب الطلب${\displaystyle s}$قد يكون متعدد اللوغاريتمات متعدد القيم. الفرع الرئيسي لـ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$يُعتبر مُعطى لـ${\displaystyle |z|<1}$بحسب تعريف المتسلسلة أعلاه، وبافتراض أنها متصلة باستثناء المحور الحقيقي الموجب، حيث يتم إجراء قطع من${\displaystyle z=1}$ل${\displaystyle \infty }$بحيث يتم وضع المحور على النصف السفلي من المستوى${\displaystyle z}$. من ناحية${\displaystyle \mu }$وهذا يعادل${\displaystyle -\pi <\arg(-\mu )\leq \pi }$عدم استمرارية اللوغاريتم المتعدد تبعًا لـ${\displaystyle \mu }$قد يكون الأمر مربكاً في بعض الأحيان.

من أجل نقاش حقيقي${\displaystyle z}$، اللوغاريتم المتعدد من الرتبة الحقيقية${\displaystyle s}$حقيقي إذا${\displaystyle z<1}$وجزئها الخيالي لـ${\displaystyle z\geq 1}$( وود 1992 ، §3) :

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z)\right)=-{{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

بالانتقال عبر القطع، إذا كان ε عددًا حقيقيًا موجبًا صغيرًا للغاية ، فإن:

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z+i\epsilon )\right)={{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

يمكن استنتاج كليهما من توسيع السلسلة ( انظر أدناه ) لـ Li _s ( e ^μ ) حول μ = 0.

تُشتق مشتقات متعدد اللوغاريتمات من متسلسلة القوى المحددة:

$${\displaystyle z{\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(z)}{\partial z}}=\operatorname {Li} _{s-1}(z)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })}{\partial \mu }}=\operatorname {Li} _{s-1}(e^{\mu }).}$$

تتضح العلاقة التربيعية من تعريف المتسلسلة، وهي مرتبطة بصيغة التكرار (انظر أيضًا كلوني (1954) ، شرودنغر (1952) ):

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-z)+\operatorname {Li} _{s}(z)=2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2}).}$$

تخضع دالة كومر لصيغة مضاعفة مشابهة جدًا. هذه حالة خاصة من صيغة الضرب ، لأي عدد صحيح موجب p :

$${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}\operatorname {Li} _{s}(ze^{2\pi im/p})=p^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{p}),}$$

والذي يمكن إثباته باستخدام تعريف السلسلة للوغاريتم المتعدد وتعامد الحدود الأسية (انظر على سبيل المثال تحويل فورييه المنفصل ).

خاصية أخرى مهمة، وهي صيغة الانعكاس، تتضمن دالة زيتا لهرويتز أو كثيرات حدود برنولي ، ويتم إيجادها في علاقتها بالوظائف الأخرى أدناه.

في حالات معينة، يمكن التعبير عن متعدد اللوغاريتمات بدلالة دوال أخرى ( انظر أدناه ). وبالتالي، يمكن إيجاد قيم محددة لمتعدد اللوغاريتمات كقيم محددة لهذه الدوال الأخرى.

1. بالنسبة للقيم الصحيحة من رتبة اللوغاريتم المتعدد، يتم الحصول على التعبيرات الصريحة التالية من خلال التطبيق المتكرر لـ z ·∂/∂ z على Li ₁ ( z ): $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z(1+z) \over (1-z)^{3}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}.}$$ وبناءً على ذلك، فإنّ اللوغاريتم المتعدد يختزل إلى نسبة كثيرات حدود في z ، وبالتالي فهو دالة كسرية لـ z ، لجميع الرتب الصحيحة غير الموجبة. ويمكن التعبير عن الحالة العامة كمجموع منتهٍ. $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z{\partial \over \partial z}\right)^{n}{z \over {1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({z \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots ),}$$ حيث S ( n , k ) هي أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني . الصيغ المكافئة المطبقة على رتب الأعداد الصحيحة السالبة هي ( وود 1992 ، § 6) : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({{-1} \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$ و: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \over (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n \atop k}\right\rangle z^{n-k}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$ أين${\displaystyle \scriptstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$هي أعداد أويلر . جميع جذور Li _{− n} ( z ) حقيقية ومختلفة؛ وتشمل z = 0، بينما الباقي سالب ويتمركز حول z = −1 على المقياس اللوغاريتمي. مع ازدياد قيمة n ، يتأثر التقييم العددي لهذه التعبيرات الكسرية بشكل متزايد بالاختزال ( وود 1992 ، § 6) ؛ ومع ذلك، يمكن الحصول على دقة كاملة بحساب Li _{− n} ( z ) عبر العلاقة العامة مع دالة زيتا لهورويتز ( انظر أدناه ).
2. بعض التعبيرات الخاصة بقيم نصف العدد الصحيح للوسيط z هي: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln 2)^{2}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\zeta (3),}$$ حيث ζ هي دالة زيتا لريمان . لا توجد صيغ معروفة من هذا النوع للرتب الصحيحة الأعلى ( ليوين 1991 ، ص 2) ، ولكن يوجد على سبيل المثال ( بورفين، بورفين وجيرجنسون 1995 ) :  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{4}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{360}}\pi ^{4}-{\tfrac {1}{24}}(\ln 2)^{4}+{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}(\ln 2)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}}),}$$ والذي يتضمن المجموع المزدوج المتناوب $${\displaystyle \zeta ({\bar {3}},{\bar {1}})=\sum _{m>n>0}(-1)^{m+n}m^{-3}n^{-1}.}$$ بشكل عام، يكون لدينا بالنسبة للأعداد الصحيحة n ≥ 2 ( برودهيرست 1996 ، ص 9) :  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},\left\{1\right\}^{n-2}),}$$ حيث ζ ( s ₁ , …, s _k ) هي دالة زيتا المتعددة ؛ على سبيل المثال: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{5}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},1,1,1).}$$
3. وكنتيجة مباشرة لتعريف المتسلسلة، فإن قيم متعدد اللوغاريتمات عند الجذور المركبة للوحدة من الرتبة p تُعطى بواسطة مجموع فورييه : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi im/p})=p^{-s}\sum _{k=1}^{p}e^{2\pi imk/p}\zeta (s,{\tfrac {k}{p}})\qquad (m=1,2,\dots ,p-1),}$$ حيث ζ هي دالة زيتا لهورويتز . بالنسبة لـ Re( s ) > 1، حيث Lis ₍ 1) قيمة محدودة، فإن العلاقة صحيحة أيضًا مع m = 0 أو m = p . على الرغم من أن هذه الصيغة ليست بالبساطة التي تشير إليها العلاقة الأكثر عمومية مع دالة زيتا لهورويتز المذكورة في قسم العلاقة مع الدوال الأخرى أدناه، إلا أنها تتميز بإمكانية تطبيقها على قيم s الصحيحة غير السالبة أيضًا. وكما هو معتاد، يمكن عكس العلاقة للتعبير عن ζ( s , ^m / _p ) لأي m = 1, …, p كمجموع فورييه لـ Lis ₍ exp(2πik / ^p ₎ ) على k = 1, …, p .

• عندما تكون قيمة z تساوي 1 ، فإن دالة اللوغاريتم المتعدد تختزل إلى دالة زيتا لريمان$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$
• يرتبط اللوغاريتم المتعدد بدالة إيتا ديريشليه ودالة بيتا ديريشليه :$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s),}$$حيث η ( s ) هي دالة إيتا ديريشليه. بالنسبة للوسائط التخيلية البحتة، لدينا:$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm i)=-2^{-s}\eta (s)\pm i\beta (s),}$$حيث β ( s ) هي دالة بيتا ديريشليه.
• ترتبط دالة اللوغاريتم المتعدد بتكامل فيرمي-ديراك الكامل على النحو التالي:$${\displaystyle F_{s}(\mu )=-\operatorname {Li} _{s+1}(-e^{\mu }).}$$
• ترتبط الدالة متعددة اللوغاريتمات بتكامل بوز-أينشتاين الكامل على النحو التالي:$${\displaystyle G_{s}(\mu )=\operatorname {Li} _{s+1}(e^{\mu }).}$$
• اللوغاريتم المتعدد هو حالة خاصة من دالة اللوغاريتم المتعدد غير الكاملة$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\operatorname {Li} _{s}(0,z).}$$
• متعدد اللوغاريتم هو حالة خاصة من Lerch transcendent ( Erdélyi et al. 1981 ، § 1.11-14)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}$$
• ترتبط دالة اللوغاريتم المتعدد بدالة زيتا لهورويتز بالعلاقة التالية:$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}-{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\right],}$$إلا أن هذه العلاقة تُصبح غير صالحة عند قيمة s الصحيحة الموجبة بسبب أقطاب دالة غاما Γ (1 − s ) ، وعند s = 0 بسبب قطب من كلتا دالتي زيتا؛ ويرد اشتقاق هذه الصيغة في قسم تمثيلات المتسلسلات أدناه. وبمساعدة بسيطة من معادلة دالية لدالة زيتا لهورويتز، ترتبط دالة اللوغاريتم المتعدد بالتالي بتلك الدالة أيضًا عبر ( جونكيير 1889 ) .$${\displaystyle i^{-s}\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi ix})+i^{s}\operatorname {Li} _{s}(e^{-2\pi ix})={\frac {(2\pi )^{s}}{\Gamma (s)}}\zeta (1-s,x),}$$تتحقق هذه العلاقة عندما يكون 0 ≤ Re( x ) < 1 إذا كان Im( x ) ≥ 0 ، وعندما يكون 0 < Re( x ) ≤ 1 إذا كان Im( x ) < 0. وبصورة مكافئة، بالنسبة لجميع الأعداد المركبة s، وبالنسبة للأعداد المركبة z ∉ (0, 1 ] ، تكون صيغة الانعكاس كما يلي:$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={\frac {(2\pi i)^{s}}{\Gamma (s)}}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right),}$$ولجميع الأعداد المركبة s وللأعداد المركبة z ∉ (1, ∞)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right).}$$عندما يكون z ∉ (0, ∞) ، يكون لدينا ln(− z ) = −ln(− ¹ ⁄ _z ) ، ويتطابق التعبيران. توفر هذه العلاقات الاستمرار التحليلي للوغاريتم المتعدد خارج دائرة التقارب | z | = 1 لمتسلسلة القوى المحددة. (المعادلة المقابلة لجونكيير (1889 ، المعادلة 5) وإرديلي وآخرون (1981 ، § 1.11-16) غير صحيحة إذا افترضنا استخدام الفروع الرئيسية للوغاريتم المتعدد واللوغاريتم في آن واحد). انظر البند التالي للحصول على صيغة مبسطة عندما يكون s عددًا صحيحًا.
• بالنسبة لرتب اللوغاريتمات المتعددة الصحيحة الموجبة s ، فإن دالة زيتا هورويتز ζ(1− s , x ) تختزل إلى كثيرات حدود برنولي ، ζ(1− n , x ) = −B _n ( x ) / n ، وتصبح صيغة جونكيير العكسية لـ n = 1, 2, 3, … كما يلي:$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{2\pi ix})+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(e^{-2\pi ix})=-{(2\pi i)^{n} \over n!}B_{n}(x),}$$حيث 0 ≤ Re( x ) < 1 إذا كان Im( x ) ≥ 0، و 0 < Re( x ) ≤ 1 إذا كان Im( x ) < 0. عند تقييد وسيط اللوغاريتم المتعدد على دائرة الوحدة ، Im( x ) = 0، يتبسط الطرف الأيسر من هذه الصيغة إلى 2 Re(Li _n ( e ^{2 πix} )) إذا كان n زوجيًا، وإلى 2 i Im(Li _n ( e ^{2 πix} )) إذا كان n فرديًا. من ناحية أخرى، بالنسبة لرتب الأعداد الصحيحة السالبة، فإن تباعد Γ( s ) يعني لجميع قيم z ما يلي ( Erdélyi et al. 1981 ، § 1.11-17) :$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{-n}(1/z)=0\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$وبشكل أعم، يكون لدينا بالنسبة لـ n = 0، ±1، ±2، ±3، … :$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ]0;1]),\\\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ~]1;\infty [),\end{aligned}}}$$حيث يتفق كلا التعبيرين عندما يكون z ∉ (0, ∞) . (المعادلة المقابلة لجونكيير (1889 ، المعادلة 1) وإرديلي وآخرون (1981 ، § 1.11-18) غير صحيحة أيضًا).
• يمكن التعبير عن متعدد اللوغاريتمات ذي الجزء التخيلي البحت μ بدلالة دوال كلاوسن Ci _s (θ) و Si _s (θ)، والعكس صحيح ( Lewin 1958 ، الفصل السابع § 1.4 ؛ Abramowitz & Stegun 1972 ، § 27.8 ):$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\pm i\theta })=Ci_{s}(\theta )\pm iSi_{s}(\theta ).}$$
• يمكن التعبير عن التكامل الظلي العكسي Ti _s ( z ) ( Lewin 1958 ، الفصل السابع § 1.2) بدلالة اللوغاريتمات المتعددة:$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{s}(z)={1 \over 2i}\left[\operatorname {Li} _{s}(iz)-\operatorname {Li} _{s}(-iz)\right].}$$وتعني هذه العلاقة على وجه الخصوص ما يلي:$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{0}(z)={z \over 1+z^{2}},\quad \operatorname {Ti} _{1}(z)=\arctan z,\quad \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\arctan t \over t}dt,\quad \ldots ~\quad \operatorname {Ti} _{n+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Ti} _{n}(t)}{t}}dt,}$$وهذا يفسر اسم الوظيفة.
• يمكن التعبير عن وظيفة Legendre chi χ _s ( z ) ( Lewin 1958 , Ch. VII § 1.1 ; Boersma & Dempsey 1992 ) باعتبارها الجزء الغريب من متعددات اللوغاريتمات:$${\displaystyle \chi _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{s}(z)-\operatorname {Li} _{s}(-z)\right].}$$
• يمكن التعبير عن اللوغاريتم المتعدد ذي الرتبة الصحيحة كدالة فوق هندسية معممة :$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)&=z\,\;_{n+1\!}F_{n}(1,1,\dots ,1;2,2,\dots ,2;z)&(n=0,1,2,\ldots ),\\\operatorname {Li} _{-n}(z)&=z\,\;_{n}F_{n-1}(2,2,\dots ,2;1,1,\dots ,1;z)&(n=1,2,3,\ldots )~.\end{aligned}}}$$
• فيما يتعلق بدوال زيتا غير المكتملة أو " دوال ديباي " ( أبراموفيتز وستيجون 1972 ، § 27.1) :$${\displaystyle Z_{n}(z)={1 \over (n-1)!}\int _{z}^{\infty }{t^{n-1} \over e^{t}-1}dt\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$يمكن التعبير عن متعدد اللوغاريتمات Li _n ( z ) للأعداد الصحيحة الموجبة n على أنه المجموع المحدود ( وود 1992 ، §16) :$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })=\sum _{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu ){\mu ^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$هناك تعبير مشابه بشكل ملحوظ يربط "دوال ديباي" Z _n ( z ) باللوغاريتم المتعدد:$${\displaystyle Z_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(e^{-z}){z^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$
• باستخدام متسلسلة لامبرت ، إذا${\displaystyle J_{s}(n)}$إذا كانت دالة جوردان هي دالة الوتر ،$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}J_{-s}(n)}{1-z^{n}}}=\operatorname {Li} _{s}(z).}$$

أي من التمثيلات التكاملية التالية يوفر الاستمرار التحليلي للوغاريتم المتعدد خارج دائرة التقارب | z | = 1 لسلسلة القوى المحددة.

1. يمكن التعبير عن متعدد اللوغاريتمات بدلالة تكامل توزيع بوز-أينشتاين : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}dt.}$$ يتقارب هذا عندما يكون Re( s ) >  0 ولجميع قيم z باستثناء z الحقيقية و ≥  1. يُشار إلى متعدد اللوغاريتمات في هذا السياق أحيانًا باسم تكامل بوز، ولكن يُشار إليه بشكل أكثر شيوعًا باسم تكامل بوز-أينشتاين ( دينجل 1957أ ، دينجل، أرندت وروي 1957 ). ^{[ ملاحظة 1 ]} وبالمثل، يمكن التعبير عن متعدد اللوغاريتمات بدلالة تكامل توزيع فيرمي-ديراك . $${\displaystyle -\operatorname {Li} _{s}(-z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}dt.}$$ يتقارب هذا التكامل عندما يكون Re( s ) > 0 ولجميع قيم z باستثناء z الحقيقية و ≤  −1. يُشار إلى متعدد اللوغاريتمات في هذا السياق أحيانًا باسم تكامل فيرمي أو تكامل فيرمي-ديراك ( GSL 2010 ، دينجل 1957ب ). يمكن التحقق من هذه التمثيلات بسهولة عن طريق توسيع تايلور للدالة المراد تكاملها بالنسبة إلى z والتكامل حدًا حدًا. تتضمن أوراق دينجل دراسات تفصيلية لكلا نوعي التكامل. يرتبط متعدد اللوغاريتمات أيضًا بتكامل توزيع ماكسويل-بولتزمان . $${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{z}}={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1}e^{-t}}dt=1.}$$ وهذا يعطي أيضًا السلوك التقاربي للوغاريتم المتعدد في جوار نقطة الأصل.
2. ينطبق التمثيل التكاملي التكميلي على Re( s ) <  0 وعلى جميع قيم z باستثناء z الحقيقية و ≥  0: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\int _{0}^{\infty }{t^{-s}\sin[s\pi /2-t\ln(-z)] \over \sinh(\pi t)}dt.}$$ وينتج هذا التكامل من العلاقة العامة بين اللوغاريتم المتعدد ودالة زيتا هورويتز ( انظر أعلاه ) والتمثيل التكاملي المألوف للأخيرة.
3. يمكن تمثيل متعدد اللوغاريتمات بشكل عام بتكامل هانكل الكفافي ( Whittaker & Watson 1927 ، § 12.22، § 13.13) ، والذي يوسع تمثيل بوز-أينشتاين إلى الرتب السالبة s . طالما أن قطب التكامل t = μ لا يقع على المحور الحقيقي غير السالب، و s ≠ 1، 2، 3، ...، فإننا نحصل على: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }-1}}dt}$$ حيث يمثل H منحنى هانكل. للدالة التكاملية قطع على طول المحور الحقيقي من الصفر إلى اللانهاية، وينتمي هذا المحور إلى النصف السفلي من المستوى المركب لـ t . يبدأ التكامل من +∞ في النصف العلوي من المستوى المركب (Im( t ) >  0)، ويدور حول نقطة الأصل دون أن يحيط بأي من القطبين t = μ + 2kπi ، وينتهي عند +∞ في النصف السفلي من المستوى المركب (Im( t ) <  0). في حالة كون μ عددًا حقيقيًا وغير سالب، يمكننا ببساطة طرح مساهمة القطب t = μ المحاط به . $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }}-1}dt-2\pi iR}$$ حيث R هي بقايا القطب: $${\displaystyle R={i \over 2\pi }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}.}$$
4. عند تطبيق صيغة أبيل-بلانا على السلسلة المحددة للوغاريتم المتعدد، ينتج تمثيل تكاملي من نوع هيرميت يكون صالحًا لجميع قيم z المركبة ولجميع قيم s المركبة : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{\Gamma (1-s,-\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}}+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi t}-1)}}dt}$$ حيث Γ هي دالة غاما غير الكاملة العليا . يمكن استبدال كل (وليس جزءًا) ln( z ) في هذا التعبير بـ −ln( ¹ / _z ). وهناك تمثيل مشابه ينطبق أيضًا على جميع الأعداد المركبة s . $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan t-t\ln(-z)]}{(1+t^{2})^{s/2}\sinh(\pi t)}}dt,}$$ يتجنب هذا استخدام دالة غاما غير الكاملة، لكن هذا التكامل يفشل بالنسبة لـ z على المحور الحقيقي الموجب إذا كان Re( s ) ≤  0. يتم إيجاد هذا التعبير بكتابة 2s ^Li s ₍ −z ) / (−z ) = Φ( ^z² , s , 1/2 ⁾ ₋ z Φ ( ^z² , s , 1)، حيث Φ هي دالة ^ليرش المتسامية ، وتطبيق صيغة أبيل-بلانا على سلسلة Φ الأولى وصيغة مكملة تتضمن 1/( ^e²πt + 1 ⁾ بدلاً من 1/( ^e²πt − 1) على سلسلة Φ الثانية.
5. يمكننا التعبير عن التكامل للدالة متعددة اللوغاريتمات عن طريق تكامل المتسلسلة الهندسية العادية حدًا حدًا لـ${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$مثل ( Borwein, Borwein & Girgensohn 1995 , §2, eqn. 4)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)={\frac {z\cdot (-1)^{s}}{s!}}\int _{0}^{1}{\frac {\log ^{s}(t)}{1-tz}}dt.}$$

1. كما هو مذكور في قسم التمثيلات التكاملية أعلاه، يمكن توسيع التمثيل التكاملي لبوز-أينشتاين للوغاريتم المتعدد إلى الرتب السالبة s عن طريق تكامل هانكل الكفافي :$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{\Gamma (1-s) \over 2\pi i}\oint _{H}{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu }-1}dt,}$$ حيث H هو منحنى هانكل، و s ≠ 1، 2، 3، ...، ولا يقع قطب التكامل عند t = μ على المحور الحقيقي غير السالب. يمكن تعديل المنحنى بحيث يحيط بأقطاب التكامل عند t − μ = 2 kπi ، ويمكن حساب التكامل كمجموع البواقي ( وود 1992 ، § 12، 13 ؛ غرادشتين وريزيك 2015 ). $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }(2k\pi i-\mu )^{s-1}.}$$ ينطبق هذا على Re( s ) < 0 وجميع قيم μ باستثناء الحالة التي يكون فيها ^eμ = 1. بالنسبة لـ 0 < Im( μ ) ≤ 2π ، يمكن تقسيم المجموع على النحو التالي: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}+(2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+1-{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}\right],}$$ حيث يمكن الآن تحديد السلسلتين باستخدام دالة زيتا لهورويتز : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}~\zeta \left(1-s,~{\mu \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,~1-{\mu \over {2\pi i}}\right)\right]\qquad (0<\operatorname {Im} (\mu )\leq 2\pi ).}$$ هذه العلاقة، التي تم تقديمها بالفعل في سياق علاقتها بالوظائف الأخرى أعلاه، تنطبق على جميع الأعداد المركبة s ≠ 0، 1، 2، 3، ... وتم اشتقاقها لأول مرة في ( جونكيير 1889 ، المعادلة 6) .
2. لتمثيل متعدد اللوغاريتمات كمتسلسلة قوى حول μ = 0، نكتب المتسلسلة المشتقة من تكامل هانكل الكفافي على النحو التالي: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\Gamma (1-s)\sum _{h=1}^{\infty }\left[(-2h\pi i-\mu )^{s-1}+(2h\pi i-\mu )^{s-1}\right].}$$ عندما يتم توسيع قوى ذات الحدين في المجموع حول μ = 0 ويتم عكس ترتيب الجمع، يمكن التعبير عن المجموع على h بصيغة مغلقة: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}.}$$ تتحقق هذه النتيجة عندما يكون | μ | < 2π ، وبفضل الاستمرار التحليلي الذي توفره دوال زيتا ، تتحقق أيضًا لجميع قيم s ≠ 1، 2، 3، ... . إذا كان الترتيب عددًا صحيحًا موجبًا، s = n ، فإن كلًا من الحد الذي k = n − 1 ودالة غاما يصبحان لانهائيين، على الرغم من أن مجموعهما لا يصبح كذلك. ويمكن الحصول على ( وود 1992 ، § 9 ؛ غرادشتين وريزيك 2015 ): $${\displaystyle \lim _{s\to k+1}\left[{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}+\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\right]={\mu ^{k} \over k!}\left[\sum _{h=1}^{k}{1 \over h}-\ln(-\mu )\right],}$$حيث يتلاشى المجموع على h إذا كان k = 0. لذا، بالنسبة للرتب الصحيحة الموجبة و | μ | < 2π ، لدينا المتسلسلة التالية: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })={\mu ^{n-1} \over (n-1)!}\left[H_{n-1}-\ln(-\mu )\right]+\sum _{k=0,k\neq n-1}^{\infty }{\zeta (n-k) \over k!}\mu ^{k},}$$ حيث يرمز H _n إلى العدد التوافقي رقم n : $${\displaystyle H_{n}=\sum _{h=1}^{n}{1 \over h},\qquad H_{0}=0.}$$ تحتوي حدود المسألة الآن على −ln(− μ ) والتي، عند ضربها في μ ^{n −1} ، ستؤول إلى الصفر عندما μ → 0، باستثناء n = 1. وهذا يعكس حقيقة أن Li _s ( z ) تُظهر تفردًا لوغاريتميًا حقيقيًا عند s = 1 و z = 1 نظرًا لما يلي: $${\displaystyle \lim _{\mu \to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}=0\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$ بالنسبة لقيم s القريبة من عدد صحيح موجب، ولكن غير المتساوية معه، يُتوقع أن تُسبب الحدود المتباعدة في مفكوك الدالة حول μ = 0 صعوبات حسابية ( وود، 1992 ، § 9) . إن مفكوك إرديلي المقابل ( إرديلي وآخرون، 1981 ، § 1.11-15) بدلالة قوى ln( z ) غير صحيح إذا افترضنا استخدام الفروع الرئيسية للوغاريتم المتعدد واللوغاريتم في آنٍ واحد، لأن ln( ¹ / _z ) لا يساوي −ln( z ) بشكل منتظم. أما بالنسبة لقيم s غير الموجبة ، فإن دالة زيتا ζ( s − k ) في مفكوك الدالة حول μ = 0 تُختزل إلى أعداد برنولي : ζ(−n − k ) = −B _{(1 + n + k)} / (1 + n + k ). إن التقييم العددي لـ Li _{− n} ( z ) بواسطة هذه السلسلة لا يعاني من تأثيرات الإلغاء التي تظهرها التعبيرات النسبية المحدودة المعطاة تحت قيم معينة أعلاه لـ n كبيرة .
3. باستخدام الهوية $${\displaystyle 1={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0),}$$ يمكن صياغة التمثيل التكاملي لبوز-أينشتاين للوغاريتم المتعدد ( انظر أعلاه ) بالشكل التالي: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{z \over 2\Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\coth {t-\ln z \over 2}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0).}$$ باستبدال دالة الظل الزائدي بمتسلسلة ثنائية، $${\displaystyle \coth {t-\ln z \over 2}=2\sum _{k=-\infty }^{\infty }{1 \over 2k\pi i+t-\ln z},}$$ ثم بعكس ترتيب التكامل والمجموع، وأخيراً بتحديد الحدود المجمعة بتمثيل تكاملي لدالة غاما غير الكاملة العليا ، نحصل على: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\Gamma (1-s,2k\pi i-\ln z) \over (2k\pi i-\ln z)^{1-s}}.}$$ بالنسبة لكل من المتسلسلة الثنائية لهذه النتيجة وتلك الخاصة بدالة الظل الزائدي، فإن المجاميع الجزئية المتناظرة من − k _max إلى k _max تتقارب بلا شروط عندما k _max → ∞. وبشرط أن يتم الجمع بشكل متناظر، فإن هذه المتسلسلة لـ Li _s ( z ) تنطبق بالتالي على جميع قيم s المركبة وكذلك جميع قيم z المركبة .
4. بإدخال تعبير صريح لأعداد ستيرلينغ من النوع الثاني في المجموع المحدود للوغاريتم المتعدد ذي الرتبة الصحيحة غير الموجبة ( انظر أعلاه )، يمكن كتابة ما يلي: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\sum _{k=0}^{n}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{n}\qquad (n=0,1,2,\ldots ).}$$ السلسلة اللانهائية التي تم الحصول عليها ببساطة عن طريق تمديد المجموع الخارجي إلى ∞ ( Guillera & Sondow 2008 ، النظرية 2.1) : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}~\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{-s},}$$ اتضح أنها تتقارب إلى اللوغاريتم المتعدد لجميع الأعداد المركبة s وللأعداد المركبة z مع Re(z) < 1/2 ، كما يمكن التحقق _من ذلك لـ ^| _−z / ( ^{1 −} _z )| < 1/2 _{عن طريق} عكس ^ترتيب الجمع واستخدام: $${\displaystyle \sum _{k=j}^{\infty }{k \choose j}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}=\left[\left({-z \over 1-z}\right)^{-1}-1\right]^{-j-1}=(-z)^{j+1}.}$$ يمكن التعبير عن المعاملات الداخلية لهذه المتسلسلات بصيغ مرتبطة بأعداد ستيرلينغ تتضمن الأعداد التوافقية المعممة . على سبيل المثال، انظر تحويلات الدوال المولدة للعثور على براهين (مراجع للبراهين) للمتطابقات التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\operatorname {Li} _{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}.\end{aligned}}}$$ بالنسبة للحجج الأخرى التي يكون فيها Re( z ) < ^1/2 ، _فإن النتيجة تتبع بالاستمرار التحليلي . هذه العملية مكافئة لتطبيق تحويل أويلر على المتسلسلة في z التي تُعرّف متعدد اللوغاريتمات.

بالنسبة لـ | z | ≫ 1، يمكن توسيع متعدد اللوغاريتمات إلى سلسلة تقاربية بدلالة ln(− z ):

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\pm i\pi \over \Gamma (s)}[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-1}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(1-2^{1-2k})(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$

حيث B _{2 k} هي أعداد برنولي . كلا الصيغتين صحيحتان لجميع قيم s ولأي قيمة لـ arg( z ). وكما هو معتاد، يجب إنهاء عملية الجمع عندما تبدأ الحدود في التزايد. بالنسبة للأعداد الصحيحة السالبة s ، تتلاشى المتسلسلات تمامًا؛ أما بالنسبة للأعداد الصحيحة غير السالبة s ، فإنها تتوقف بعد عدد محدود من الحدود. يصف وود (1992 ، § 11) طريقة للحصول على هذه المتسلسلات من تمثيل بوز-أينشتاين التكاملي (معادلته 11.2 لـ Li _s ( e ^μ ) تتطلب −2 π < Im( μ ) ≤ 0).

تنتج الحدود التالية من التمثيلات المختلفة للوغاريتم المتعدد ( وود 1992 ، § 22) :

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)\sim _{|z|\to 0}z}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })\sim _{|\mu |\to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (\operatorname {Re} (s)<1)}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }-{\mu ^{s} \over \Gamma (s+1)}\qquad (s\neq -1,-2,-3,\ldots )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }-(-1)^{n}e^{-\mu }\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)\sim _{\operatorname {Re} (s)\to \infty }z}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (-\pi <\operatorname {Im} (\mu )<\pi )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\Gamma (1-s)\left[(-\mu -i\pi )^{s-1}+(-\mu +i\pi )^{s-1}\right]\qquad (\operatorname {Im} (\mu )=0)}$$

تم تصحيح الحد الأول لـ Re( μ ) → ∞ وفقًا لمعادلته 11.3. ويتبع الحد لـ Re( s ) → −∞ من العلاقة العامة بين اللوغاريتم المتعدد ودالة زيتا هورويتز ( انظر أعلاه ).

اللوغاريتم الثنائي هو اللوغاريتم المتعدد من الرتبة s = 2. وهناك تعبير تكاملي بديل للوغاريتم الثنائي لأي وسيط مركب z وهو ( أبراموفيتز وستيجون 1972 ، § 27.7) : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-t) \over t}dt=-\int _{0}^{1}{\ln(1-zt) \over t}dt.}$$

أحد مصادر الارتباك هو أن بعض أنظمة الجبر الحاسوبي تعرف اللوغاريتم الثنائي على أنه dilog( z ) = Li ₂ (1− z ).

في حالة العدد الحقيقي z ≥ 1، يمكن كتابة التعبير التكاملي الأول للوغاريتم الثنائي على النحو التالي: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\int _{1}^{z}{\ln(t-1) \over t}dt-i\pi \ln z}$$

ومن ثم بتوسيع ln( t −1) وتكامل كل حد على حدة نحصل على

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}-\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k^{2}z^{k}}-i\pi \ln z\qquad (z\geq 1).}$$

تُعطى متطابقة أبيل للوغاريتم الثنائي بواسطة ( أبيل 1881 )

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x}{1-y}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y}{1-x}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {xy}{(1-x)(1-y)}}\right)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)+\ln(1-x)\ln(1-y)}$$

$${\displaystyle (\operatorname {Re} (x)\leq {\tfrac {1}{2}}\wedge \operatorname {Re} (y)\leq {\tfrac {1}{2}}\vee \operatorname {Im} (x)>0\wedge \operatorname {Im} (y)>0\vee \operatorname {Im} (x)<0\wedge \operatorname {Im} (y)<0\vee \ldots ).}$$

يتضح هذا مباشرةً عند x = 0 أو y = 0، ويمكن التحقق منه بسهولة في الحالات العامة عن طريق التفاضل ∂/∂x ∂ / ∂y . أما عند y = 1− x، فتُختزل المتطابقة إلى صيغة انعكاس أويلر .$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(x\right)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-x\right)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}-\ln(x)\ln(1-x),}$$ حيث تم استخدام Li ₂ (1) = ζ(2) = ¹ ⁄ ₆ π ^{2 ويمكن أن تأخذ} x أي قيمة مركبة.

بالنسبة للمتغيرات الجديدة u = x /(1− y )، v = y /(1− x )، تصبح متطابقة أبيل كما يلي: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(u)+\operatorname {Li} _{2}(v)-\operatorname {Li} _{2}(uv)=\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {u-uv}{1-uv}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {v-uv}{1-uv}}\right)+\ln \left({\frac {1-u}{1-uv}}\right)\ln \left({\frac {1-v}{1-uv}}\right),}$$ والذي يتوافق مع هوية الخماسي الواردة في ( روغرز 1907 ) .

من متطابقة أبيل لـ x = y = 1− z وعلاقة التربيع، نحصل على متطابقة لاندن$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}\qquad (z\not \in ~]-\infty ;0]),}$$ وبتطبيق صيغة الانعكاس على كل لوغاريتم مزدوج، نجد صيغة الانعكاس. $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}[\ln(-z)]^{2}\qquad (z\not \in [0;1[),}$$

وكذلك بالنسبة لقيم z الحقيقية ≥ 1 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln z)^{2}-i\pi \ln z.}$$

تُجمع في الجدول أدناه القيم المعروفة للصيغة المغلقة للوغاريتم الثنائي عند قيم محددة. ترتبط القيم في العمود الأول بالانعكاس x ↔ 1− x أو بالانعكاس x ↔ ¹ ⁄ _x إما بـ x = 0 أو x = −1؛ أما القيم في العمود الثالث فترتبط جميعها بهذه العمليات.

يناقش ماكسيمون (2003) المراجع التي تعود إلى القرنين السابع عشر والتاسع عشر. نُشرت صيغة الانعكاس بالفعل بواسطة لاندن عام 1760، قبل ظهورها في كتاب أويلر عام 1768 ( ماكسيمون 2003 ، § 10) ؛ ونُشرت صيغة مكافئة لهوية أبيل بواسطة سبنس عام 1809، قبل أن يكتب أبيل مخطوطته عام 1826 ( زاغير 1989 ، § 2) . وقدّم كارل يوهان هيل (أستاذ في لوند، السويد) مصطلح " الدالة الثنائية اللوغاريتمية" عام 1828 ( ماكسيمون 2003 ، § 10) . وقد لاحظ دون زاغير ( 1989 ) أن الدالة الثنائية اللوغاريتمية هي الدالة الرياضية الوحيدة التي تتمتع بروح الدعابة. 

القيم الخاصة للوغاريتم المزدوج

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)}$
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle -\phi }$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1/\phi }$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{15}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}2}$	${\displaystyle 1/\phi ^{2}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle 1/\phi }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi }$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}-\pi i\ln 2}$	${\displaystyle \phi }$	${\displaystyle {\tfrac {11}{15}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}(-1/\phi )}$
		${\displaystyle \phi ^{2}}$	${\displaystyle -{\tfrac {11}{15}}\pi ^{2}-\ln ^{2}(-\phi )}$

هنا${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$يشير إلى النسبة الذهبية .

اكتشف ليونارد ليفين تعميمًا رائعًا وواسعًا لعدد من العلاقات الكلاسيكية المتعلقة باللوغاريتمات المتعددة لقيم محددة. تُعرف هذه العلاقات الآن باسم سلالم اللوغاريتمات المتعددة .${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}$باعتبارها مقلوب النسبة الذهبية . ومن الأمثلة البسيطة على سلالم اللوغاريتم الثنائي ما يلي:

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho ^{6})=4\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{3})+3\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{2})-6\operatorname {Li} _{2}(\rho )+{\tfrac {7}{30}}\pi ^{2}}$$

كما ورد في كتاب كوكسيتر ( 1935 ) و 

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho )={\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\rho }$$

مقدمة من لاندن . تظهر سلالم اللوغاريتمات المتعددة بشكل طبيعي وعميق في نظرية K والهندسة الجبرية . توفر سلالم اللوغاريتمات المتعددة الأساس للحسابات السريعة للثوابت الرياضية المختلفة باستخدام خوارزمية BBP ( بيلي، بورواين وبلوف 1997 ) .

للدالة متعددة اللوغاريتمات نقطتا تفرع ؛ إحداهما عند z = 1 والأخرى عند z = 0. نقطة التفرع الثانية، عند z = 0، غير مرئية على الورقة الرئيسية للدالة؛ ولا تظهر إلا عند تمديد الدالة تحليليًا إلى أوراقها الأخرى. تتكون زمرة المونودرومي للدالة متعددة اللوغاريتمات من فئات التماثل الحلقي التي تلتف حول نقطتي التفرع. وبرمز هاتين النقطتين بـ m₀ و m₁ ، _فإن زمرة المونودرومي لها التمثيل التالي _:

$${\displaystyle \langle m_{0},m_{1}\vert w=m_{0}m_{1}m_{0}^{-1}m_{1}^{-1},wm_{1}=m_{1}w\rangle .}$$

بالنسبة للحالة الخاصة للدالوغاريتم، يكون لدينا أيضًا wm ₀ = m ₀ w ، وتصبح مجموعة المونودرومي هي مجموعة هايزنبرغ (تحديد m ₀ و m ₁ و w مع x و y و z ) ( Vepstas 2008 ) .