تحويل دالة التوليد

متسلسلة القوى لمقلوب دالة مولدة،${\displaystyle F(z)}$، يتم توسيعه بواسطة

${\displaystyle {\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}}}z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}z^{3}+\cdots .}$

إذا سمحنا${\displaystyle b_{n}:=[z^{n}]1/F(z)}$إذا رمزنا للمعاملات في مفكوك الدالة المولدة المقلوبة، فسنحصل على علاقة التكرار التالية:

${\displaystyle b_{n}=-{\frac {1}{f_{0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.}$

يترك${\displaystyle m\in \mathbb {C} }$لنفترض أن يكون ثابتًا،${\displaystyle f_{0}=1}$، وتشير إلى${\displaystyle b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}}$ثم لدينا توسيع متسلسلة لـ${\displaystyle F(z)^{m}}$مقدم من

${\displaystyle F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{1}^{2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m(m-1)f_{1}f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,}$

والمعاملات${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$تحقق علاقة تكرارية من الشكل

${\displaystyle n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.}$

صيغة أخرى للمعاملات،${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$، ويتم توسيعها بواسطة كثيرات حدود بيل كما

${\displaystyle F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(m)_{k}f_{0}^{m-k}B_{n,k}{\big (}f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots ,f_{n-k+1}\cdot (n-k+1)!{\big )}\right){\frac {z^{n}}{n!}},}$

أين${\displaystyle (r)_{n}}$يرمز إلى رمز بوخامر .

إذا سمحنا${\displaystyle f_{0}=1}$وحدد${\displaystyle q_{n}:=[z^{n}]\log F(z)}$ثم لدينا متسلسلة قوى لدالة التوليد المركبة معطاة بـ

${\displaystyle \log F(z)=f_{1}z+{\frac {2f_{2}-f_{1}^{2}}{2}}z^{2}+{\frac {3f_{3}-3f_{1}f_{2}+f_{1}^{3}}{3}}z^{3}+\dots }$

حيث المعاملات،${\displaystyle q_{n}}$تحقق القيم في التوسع السابق علاقة التكرار المعطاة بواسطة

${\displaystyle n\cdot q_{n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_{1},}$

وصيغة مقابلة موسعة بواسطة كثيرات حدود بيل في شكل معاملات متسلسلة القوى للدالة المولدة التالية:

${\displaystyle \log F(z)=\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.}$

يترك${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$يشير إلى عامل نمو البشرة (EGF) للتسلسل،${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$ولنفترض أن${\displaystyle {\widehat {G}}(z)}$هو عامل نمو البشرة (EGF) للتسلسل،${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\geq 0}}$. صيغة Faà di Bruno تشير إلى أن التسلسل،${\displaystyle \{h_{n}\}_{n\geq 0}}$، الناتج عن التركيب${\displaystyle {\widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))}$ويمكن التعبير عنها بدلالة كثيرات حدود بيل الأسية على النحو التالي:

${\displaystyle h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n}f_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{n-k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.}$

لدينا الصيغ التكاملية التالية لـ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$والتي يمكن تطبيقها على أساس كل فصل دراسي فيما يتعلق بـ${\displaystyle z}$متى${\displaystyle z}$يُعتبر أي متغير من سلسلة القوى الرسمية: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[{\widehat {F}}](z^{-1})}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Gamma (an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}e^{-t}F(t^{a}z)dt.}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .}$

لاحظ أن الصيغة التكاملية الأولى والأخيرة من هذه الصيغ تُستخدم للتحويل بين دالة النمو التجريبية (EGF) ودالة النمو العادية (OGF) للمتتالية، ومن دالة النمو العادية (OGF) إلى دالة النمو التجريبية (EGF) للمتتالية كلما كانت هذه التكاملات متقاربة.

الصيغة التكاملية الأولى تُقابل تحويل لابلاس (أو أحيانًا تحويل لابلاس-بوريل الرسمي ) للدوال المولدة، ويرمز لها بـ${\displaystyle {\mathcal {L}}[F](z)}$، كما هو مُعرَّف في ^{[ 7 ]} . يمكن بالطبع استخدام تمثيلات تكاملية أخرى لدالة غاما في الصيغة الثانية من الصيغ السابقة لإنشاء تحويلات تكاملية مماثلة. تُنتج إحدى الصيغ تحديدًا في حالة مثال دالة المضروب المزدوج المذكور أدناه مباشرةً في هذا القسم. تتم مقارنة الصيغة التكاملية الأخيرة بتكامل هانكل الحلقي لدالة غاما المقلوبة المطبقة حدًا حدًا على متسلسلة القوى لـ${\displaystyle F(z)}$.

تشكل التكاملات الكسرية والمشتقات الكسرية (انظر المقال الرئيسي ) فئة معممة أخرى من عمليات التكامل والتفاضل التي يمكن تطبيقها على دالة توليد العزوم (OGF) لمتتالية ما لتكوين دالة توليد العزوم المقابلة لمتتالية محولة.${\displaystyle \Re (\alpha )>0}$نُعرّف عامل التكامل الكسري (من الرتبة${\displaystyle \alpha }$) عن طريق التحويل التكاملي ^{[ 9 ]}

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(z-t)^{\alpha -1}F(t)dt,}$

وهو ما يتوافق مع متسلسلة القوى (الرسمية) المعطاة بواسطة

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}{\Gamma (n+\alpha +1)}}f_{n}z^{n+\alpha }.}$

للثابت${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$تم تعريفها بحيث${\displaystyle \Re (\alpha ),\Re (\beta )>0}$لدينا أن المشغلين${\displaystyle I^{\alpha }I^{\beta }=I^{\alpha +\beta }}$علاوة على ذلك، بالنسبة للثوابت${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$والأعداد الصحيحة${\displaystyle n}$مُرضٍ${\displaystyle 0<\Re (\alpha )<n}$يمكننا تعريف مفهوم المشتقة الكسرية بحيث يحقق الخصائص التالية:

${\displaystyle D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)}}{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),}$

و

${\displaystyle D^{k}I^{\alpha }=D^{n}I^{\alpha +n-k}}$ل${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n,}$

حيث لدينا خاصية شبه المجموعة التي${\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }}$فقط عندما لا يكون أي من${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta }$هي قيمة عددية صحيحة.

للثابت${\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}$، لدينا ذلك (قارن بالحالة الخاصة للصيغة التكاملية لدالة نيلسن متعددة اللوغاريتمات المعممة المحددة في ^{[ 10 ]} ) ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{(n+1)^{s}}}z^{n}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.}$

لاحظ أنه إذا قمنا بتعيين${\displaystyle g_{n}\equiv f_{n+1}}$التكامل بالنسبة للدالة المولدة،${\displaystyle G(z)}$، في المعادلة الأخيرة عندما${\displaystyle z\equiv 1}$يتوافق مع دالة توليد ديريشليه ، أو DGF،${\displaystyle {\widetilde {F}}(s)}$، من تسلسل${\displaystyle \{f_{n}\}}$بشرط أن يكون التكامل متقارباً. ترتبط هذه الفئة من التحويلات التكاملية المتعلقة باللوغاريتمات المتعددة بتحويلات متسلسلة زيتا القائمة على المشتقات والمحددة في الأقسام التالية.

لقيم ثابتة غير صفرية${\displaystyle q,c,z\in \mathbb {C} }$بحيث${\displaystyle |q|<1}$و${\displaystyle |cz|<1}$لدينا التمثيلات التكاملية التالية لما يسمى بالدالة المولدة للمتسلسلة المربعة المرتبطة بالمتتالية${\displaystyle \{f_{n}\}}$والتي يمكن دمجها على أساس كل مصطلح على حدة فيما يتعلق بـ${\displaystyle z}$[ ^{12 ]​}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.}$

هذه النتيجة، التي تم إثباتها في المرجع، تنبع من صيغة مختلفة لتكامل تحويل دالة المضروب المزدوج لأعداد ستيرلينغ من النوع الثاني، كما ورد في المثال أعلاه. على وجه الخصوص، بما أن

${\displaystyle q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q))=1+n^{2}\log(q)+n^{4}{\frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

يمكننا استخدام صيغة مختلفة من تحويلات OGF القائمة على المشتقات ذات الرتبة الموجبة والمحددة في الأقسام التالية والتي تتضمن أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني للحصول على صيغة تكاملية للدالة المولدة للمتتالية.${\displaystyle \left\{S(2n,j)/n!\right\}}$ثم قم بإجراء عملية جمع على${\displaystyle j^{th}}$مشتقات من OGF الرسمي،${\displaystyle F(z)}$للحصول على النتيجة في المعادلة السابقة حيث يُرمز إلى دالة توليد المتتابعة الحسابية قيد الدراسة بـ

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j}+(e^{-z}-1)^{j}\right),}$

لكل ثابت${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$.

بشكل عام، يكون حاصل ضرب هادامارد لدالتين مولدتين كسريتين عددًا كسريًا بحد ذاته. ^{[ 14 ]} ويتضح ذلك من خلال ملاحظة أن معاملات الدالة المولدة الكسرية تُشكل حدودًا شبه متعددة الحدود على الصورة

${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}$

حيث الجذور المتبادلة،${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$، هي كميات قياسية ثابتة وحيث${\displaystyle p_{i}(n)}$هي متعددة الحدود في${\displaystyle n}$للجميع${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$على سبيل المثال، حاصل ضرب هادامارد للدالتين المولدتين

${\displaystyle F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2}}}}$

و

${\displaystyle G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}}}}$

يتم إعطاؤها بواسطة صيغة الدالة المولدة النسبية ^{[ 15 ]}

${\displaystyle (F\odot G)(z)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}{1-a_{1}b_{1}z+\left(a_{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.}$

الدوال المولدة العادية لدوال المضروب المعممة، والتي تُشكل كحالات خاصة من دوال حاصل الضرب المضروب التصاعدي المعممة ، أو رمز بوخامر k ، المعرف بواسطة

${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n},}$

أين${\displaystyle R}$ثابت،${\displaystyle \alpha \neq 0}$، و${\displaystyle (x)_{n}}$تشير إلى رمز بوخامر، الذي يتم توليده (على الأقل شكليًا) بواسطة كسور جاكوبي من النوع J (أو أشكال خاصة من الكسور المستمرة ) الموضحة في المرجع ^{[ 16 ]} . إذا افترضنا${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z):=\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)}$يشير إلى${\displaystyle h^{\text{th}}}$تتقارب هذه الدوال إلى كسور مستمرة لانهائية حيث تُعرَّف الدوال المتقاربة المكونة لها لجميع الأعداد الصحيحة.${\displaystyle h\geq 2}$بواسطة

${\displaystyle \operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha }}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n-k}\right](\alpha z)^{n},}$

و

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\\&=\sum _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle L_{n}^{(\beta )}(x)}$إذا كان يشير إلى متعددة حدود لاغير المرتبطة ، فإننا نحصل على أن${\displaystyle h^{th}}$دالة متقاربة،${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)}$، يسرد بدقة تسلسلات المنتج،${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R)}$للجميع${\displaystyle 0\leq n<2h}$لكل${\displaystyle h\geq 2}$، ال${\displaystyle h^{th}}$يتم توسيع الدالة المتقاربة كمجموع محدود يتضمن فقط مقلوبات مزدوجة لكثيرات حدود لاغير على شكل

${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alpha z)^{-1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}}$

علاوة على ذلك، بما أن دالة المضروب المفردة معطاة بكليهما${\displaystyle n!=p_{n}(1,1)}$و${\displaystyle n!=p_{n}(-1,n)}$يمكننا توليد حدود دالة المضروب المفردة باستخدام الدوال المولدة التقريبية ذات التقارب النسبي حتى الرتبة${\displaystyle 2h}$تشير هذه الملاحظة إلى نهج لتقريب تحويل لابلاس-بوريل الدقيق (الرسمي)، والذي يُعطى عادةً بدلالة التمثيل التكاملي من القسم السابق، باستخدام دالة توليد حاصل ضرب هادامارد، أو دالة توليد ذات معاملات قطرية. على وجه الخصوص، بالنظر إلى أي دالة توليد عامة (OGF).${\displaystyle G(z)}$يمكننا صياغة تحويل لابلاس التقريبي، وهو${\displaystyle 2h}$بدقة من الدرجة الأولى، باستخدام صيغة استخراج المعامل القطري المذكورة أعلاه والمُعطاة بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt.\end{aligned}}}$

تتضمن أمثلة المتتابعات التي يتم تعدادها من خلال دوال توليد المعاملات القطرية هذه، والناشئة عن مضاعف دالة مضروب المتتابعة الذي توفره الدوال النسبية المتقاربة، ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\!n&=n!\times \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n}x^{0}]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatorname {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\right)\\\operatorname {af} (n)&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k!=[z^{n}]\left({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k-3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle I_{0}(z)}$تشير إلى دالة بيسل المعدلة ،${\displaystyle !n}$يرمز إلى دالة العامل الفرعي ،${\displaystyle \operatorname {af} (n)}$يرمز إلى دالة المضروب المتناوبة ، و${\displaystyle P_{n}(x)}$هي متعددة حدود ليجندر . ومن الأمثلة الأخرى على المتتاليات التي يتم تعدادها من خلال تطبيقات دوال توليد جداء هادامارد الكسري المذكورة في المقالة دالة بارنز G ، والمجاميع التوافقية التي تتضمن دالة المضروب المزدوج ، ومجاميع متتاليات القوى، ومتتاليات ذات الحدين.

للثابت${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$، لدينا أنه إذا كان التسلسل OGF${\displaystyle F(z)}$لديه${\displaystyle j^{th}}$مشتقات جميع الطلبات المطلوبة لـ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$، أن تحويل سلسلة زيتا من الرتبة الموجبة معطى بواسطة ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{(j)}(z),}$

أين${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}}$يرمز إلى عدد ستيرلينغ من النوع الثاني . على وجه الخصوص، لدينا متطابقة الحالة الخاصة التالية عندما${\displaystyle f_{n}\equiv 1\forall n}$متى${\displaystyle \scriptstyle {\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle }}$يشير إلى مثلث الأعداد الأويلرية من الدرجة الأولى : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z)^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\rangle z^{m+1}.}$

يمكننا أيضًا توسيع تحويلات متسلسلة زيتا ذات الرتبة السالبة بإجراء مماثل للتوسيعات المذكورة أعلاه والمُعطاة بدلالة${\displaystyle j^{th}}$مشتقات من الرتبة - لبعض${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$ومجموعة لانهائية غير مثلثية من أعداد ستيرلينغ المعممة في الاتجاه المعاكس ، أو أعداد ستيرلينغ المعممة من النوع الثاني المعرفة في هذا السياق.

على وجه الخصوص، بالنسبة للأعداد الصحيحة${\displaystyle k,j\geq 0}$عرّف هذه الفئات المعممة من أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني بالصيغة التالية:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{m^{k}}}.}$

ثم لـ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$وبعضها موصوف من قبل OGF،${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$أي، بحيث يكون الترتيب الأعلى${\displaystyle j^{th}}$مشتقات${\displaystyle F(z)}$موجود للجميع${\displaystyle j\geq 0}$لدينا ذلك

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{n^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).}$

جدولٌ بمعاملات تحويل سلسلة زيتا القليلة الأولى،${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }}}$، كما هو موضح أدناه. تتطابق هذه التوسعات ذات الأرقام التوافقية الموزونة تقريبًا مع الصيغ المعروفة لأعداد ستيرلينغ من النوع الأول حتى الإشارة الرئيسية على حدود الأرقام التوافقية الموزونة في التوسعات.

ك	${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }\times (-1)^{j-1}j!}$
2	${\displaystyle 1}$
3	${\displaystyle H_{j}}$
4	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}$
5	${\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right)}$
6	${\displaystyle {\frac {1}{24}}\left(H_{j}^{4}+6H_{j}^{2}H_{j}^{(2)}+3\left(H_{j}^{(2)}\right)^{2}+8H_{j}H_{j}^{(3)}+6H_{j}^{(4)}\right)}$

يرتبط تعميم إضافي لتحويلات المتسلسلات ذات الرتبة السالبة المعرّفة أعلاه بدوال توليد تشبه دوال هورويتز زيتا ، أو دوال ليرش المتسامية . وبالتحديد، إذا عرّفنا أعداد ستيرلينغ المُعاملة الأكثر عمومية من النوع الثاني بـ

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{(\alpha m+\beta )^{k}}}}$،

للقيم غير الصفرية${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$بحيث${\displaystyle -{\frac {\beta }{\alpha }}\notin \mathbb {Z} ^{+}}$وبعضها ثابت${\displaystyle k\geq 1}$لدينا ذلك

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{(j)}(z).}$

علاوة على ذلك، لأي أعداد صحيحة${\displaystyle u,u_{0}\geq 0}$لدينا تقريبات السلسلة الجزئية للسلسلة اللانهائية الكاملة في المعادلة السابقة المعطاة بواسطة

${\displaystyle \sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u}]\left(\sum _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).}$