دالة غاما المتبادلة

في الرياضيات ، دالة غاما المقلوبة هي الدالة$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},}$$ حيث تُمثل Γ( z ) دالة غاما . ولأن دالة غاما دالة ميرومورفية وغير صفرية في كل مكان في المستوى المركب ، فإن مقلوبها دالة تامة. وبصفتها دالة تامة، فهي من الرتبة 1 (أي أن log log |1/Γ(z)| لا ينمو أسرع من log | z | ) ، ولكنها من النوع اللانهائي ( أي أن log | 1 / Γ ( z ) | ينمو أسرع من أي مضاعف لـ | z | ، لأن نموه يتناسب تقريبًا مع | z | log | z | في النصف الأيسر من المستوى المركب) .

يُستخدم المقلوب أحيانًا كنقطة بداية للحساب العددي لدالة جاما، وتوفره بعض مكتبات البرامج بشكل منفصل عن دالة جاما العادية.

أطلق كارل فايرشتراس على دالة غاما المقلوبة اسم "factorielle" واستخدمها في تطوير نظرية فايرشتراس للتحليل إلى عوامل .

انطلاقاً من تعريفات الضرب اللانهائي لدالة غاما ، التي وضعها أويلر وويرستراس على التوالي، نحصل على توسيع الضرب اللانهائي التالي لدالة غاما المقلوبة :$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}$$

حيث γ = 0.577216... هو ثابت أويلر-ماسكيروني . هذه المتسلسلات صالحة لجميع الأعداد المركبة z . 

توسيع متسلسلة تايلور حول الصفر يعطي: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{\ \Gamma (z)\ }}=z+\gamma \ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{4}+\cdots \ }$$ حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني . بالنسبة لـ n > 2 ، يمكن حساب معامل a _n للحد z ^{n بشكل تكراري كما في [ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle a_{n}={\frac {\ {a_{2}\ a_{n-1}+\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j+1}\ \zeta (j)\ a_{n-j}}\ }{n-1}}={\frac {\ \gamma \ a_{n-1}-\zeta (2)\ a_{n-2}+\zeta (3)\ a_{n-3}-\cdots \ }{n-1}}}$$ حيث ζ هي دالة زيتا لريمان . وقد وجد فيكيه أحمد (2014) مؤخرًا تمثيلًا تكامليًا لهذه المعاملات: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ \operatorname {Im} {\Bigl [}\ {\bigl (}\log(t)-i\pi {\bigr )}^{n}\ {\Bigr ]}\ \mathrm {d} t~.}$$

بالنسبة للقيم الصغيرة، تعطي هذه القيم ما يلي:

يقدم فيكيه أحمد (2014) ^{[ 3 ]} أيضًا تقريبًا لـ n _:

$${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{\ (n-1)!\ }}\ {\sqrt {{\frac {2}{\ \pi n\ }}\ }}\ \operatorname {Im} \left({\frac {\ z_{0}^{\left(1/2-n\right)}\ e^{-nz_{0}}\ }{\sqrt {1+z_{0}\ }}}\right)\ ,}$$ حيث z ₀ = −1/ n exp ( W ₋₁ (− n )) ، و W ₋₁ هو الفرع السالب الأول لدالة لامبرت W.

يكون لتوسيع تايلور حول 1 نفس المعاملات (ولكن مع إزاحة)، أي: $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1+z)}}={\frac {1}{z\Gamma (z)}}=1+\gamma \ z+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{3}+\cdots \ }$$ (مقلوب دالة باي لغوس ).

عندما تؤول القيمة | z | إلى اللانهاية عند قيمة ثابتة arg( z ) ، لدينا: $${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad {\text{for}}~\left|\arg(z)\right|<\pi }$$

التمثيل التكاملي الذي يعود إلى هيرمان هانكل هو $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$ حيث H هو مسار هانكل ، أي المسار الذي يحيط بالصفر في الاتجاه الموجب، بدءًا من الصفر وانتهاءً باللانهاية الموجبة بالنسبة للفرع المقطوع على طول المحور الحقيقي الموجب. ووفقًا لشملزر وتريفثين ^{[ 4 ]،} فإن التقييم العددي لتكامل هانكل هو أساس بعض أفضل الطرق لحساب دالة غاما.

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة n ≥ 1 ، يوجد تكامل لدالة المضروب المقلوب المعطاة بواسطة ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-nit}e^{e^{it}}\ dt.}$$

وبالمثل، بالنسبة لأي عدد حقيقي c > 0 و z ∈ C بحيث يكون Re( z ) > 0، لدينا التكامل التالي لدالة غاما المقلوبة على طول المحور الحقيقي في الشكل التالي: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+it)^{-z}e^{c+it}dt,}$$ حيث توفر الحالة الخاصة عندما z = n + 1/2 علاقة مقابلة لدالة المضروب المزدوج المقلوب ، $${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$$

يُعطي تكامل دالة غاما المقلوبة على طول المحور الحقيقي الموجب القيمة $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}$$ وهو ما يُعرف بثابت فرانسين-روبنسون . ^{[ 7 ]}

لدينا الصيغة التالية ^{[ 8 ] : الفصل 9، التمرين 100}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {a^{x}}{\Gamma (x)}}\,dx=ae^{a}+a\int _{0}^{\infty }{\dfrac {e^{-ax}}{\log ^{2}(x)+\pi ^{2}}}\,dx}$$

• دالة بيسل-كليفورد
• توزيع غاما المعكوس
• دالة Nu

• ميتي لوند، تكامل لدالة غاما المقلوبة. مؤرشف بتاريخ 31 مايو 2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• ميلتون أبراموفيتز وإيرين أ. ستيجون، دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية
• إريك دبليو. وايسشتاين ، دالة غاما ، عالم الرياضيات