اضطراب

في الرياضيات التوافقية ، يُعرف التبديل غير المنتظم بأنه تبديل لعناصر مجموعة لا يظهر فيه أي عنصر في موضعه الأصلي. بعبارة أخرى، التبديل غير المنتظم هو تبديل لا يحتوي على نقاط ثابتة .

يُعرف عدد الترتيبات غير المنتظمة لمجموعة حجمها $n باسم$ عدد الترتيبات غير المنتظمة من الرتبة $n،$ أو المضروب الفرعي لـ $n،$ أو عدد دي مونتمورت من الرتبة $n$ (نسبةً إلى بيير ريموند دي مونتمورت ). وتشمل الرموز الشائعة الاستخدام للمضروبات الفرعية $D$ $n$ ، $وd$ $$ $n$ ، و! $n$ ، أو $n$ $¡$ . ^[^a^]^[¹^]^[²^]

بالنسبة لـ $n$ $>$ $0 ،$ $فإن$ المضروب الفرعي $D$ $n$ يساوي أقرب عدد صحيح إلى $n$ $!$ $/$ $e$ $،$ حيث $n$ $!$ يرمز إلى مضروب n $و$ e $\approx 2.718281828...$ هو عدد أويلر . ^[³^]

تم تناول مشكلة حساب الاضطراب لأول مرة من قبل بيير ريموند دي مونتمورت في مقالته التحليلية حول ألعاب المخاطرة ^{[ 4 ]} في عام 1708؛ وقد حلها في عام 1713، كما فعل نيكولاس برنولي في نفس الوقت تقريبًا.

مثال

تم تسليط الضوء على التبديلات التسعة (من 24 تبديلاً).

لنفترض أن أستاذًا أعطى اختبارًا لأربعة طلاب - أ، ب، ج، د - ويريد أن يصححوا اختبارات بعضهم البعض. بكم طريقة يمكن للأستاذ أن يعيد الاختبارات للطلاب لتصحيحها، بحيث لا يستلم أي طالب اختباره الخاص؟ من بين 24 تبديلًا ممكنًا (4!) لإعادة الاختبارات،

ABCD ،	AB DC,	أ سي بي دي ،	A CDB،	A DBC,	أ د ج ب،
بكالوريوس في الآداب ، قرص مضغوط ،	BADC ،	BCA D ،	BCDA ،	BDAC ،	BD C A,
كاب دي ،	CADB ،	سي بي إيه دي ،	سي بي دي إيه،	CDAB ،	CDBA ،
DABC ،	DA C B,	دي بي إيه سي،	D BC A,	DCAB ،	DCBA .

يوجد 9 تبديلات فقط (موضحة باللون الأزرق المائل أعلاه). في كل تبديل آخر لهذه المجموعة المكونة من 4 عناصر، يحصل طالب واحد على الأقل على نتيجة اختباره (موضحة باللون الأحمر الغامق).

تظهر نسخة أخرى من المشكلة عندما نسأل عن عدد الطرق التي يمكن بها وضع n رسالة، كل منها موجهة إلى شخص مختلف، في n من المغلفات المعنونة مسبقًا بحيث لا تظهر أي رسالة في المغلف المعنون بشكل صحيح.

اضطرابات العد

$إن$ $حساب الترتيبات$ غير المنتظمة لمجموعة ما يُعادل $مسألة$ التحقق من القبعات ، حيث يتم النظر في عدد الطرق التي يمكن بها إعادة $n$ قبعة (لنسميها $h1$ إلى $hn ) إلى$ $n$ شخصًا ( $P1$ إلى $Pn)$ بحيث لا تعود أي قبعة إلى صاحبها. ^{[ 5 ]}

يحق لكل شخص الحصول على أي قبعة من القبعات $(عددها n - 1) التي ليست ملكه. لنفترض أن القبعة التي يحصل عليها الشخص P1 هي h1، ولنعتبر مالك h1$ : $إما أن$ يحصل P1 على $قبعة$ $P1$ _، h1 ، $أو$ على _قبعة أخرى . $وبناءً$ $على$ $ذلك$ $،$ تنقسم المسألة إلى حالتين محتملتين:

$يتلقى الشخص P i$ قبعةً غير $h 1.$ هذه الحالة تُعادل حلّ المسألة مع $n - 1$ شخصًا و $n - 1$ قبعة، لأنه لكل شخص من $الأشخاص n - 1$ باستثناء $P 1،$ توجد قبعة واحدة فقط من بين القبعات المتبقية $n - 1$ لا يمكنه استلامها (بالنسبة لأي شخص $P j$ باستثناء $P i$ ، فإن القبعة التي لا يمكن استلامها هي $h j$ ، بينما بالنسبة لـ $P i$ فهي $h 1$ ). ويمكن توضيح ذلك بطريقة أخرى، وهي إعادة تسمية $h 1$ إلى $h i$ ، حيث يكون الاختلاف أكثر وضوحًا: لأي $j$ من 2 إلى $n$ ، $لا يمكن لـ P j$ استلام $h j$ .
يستلم $الشخص P$ $i$ $قبعة h 1.$ في هذه الحالة ،تختزل المشكلة إلى $n - 2$ أشخاص و $n - 2$ قبعات، لأن $الشخص P 1$ استلم قبعة $h i$ واستلم الشخص $P$ $i$ قبعة $h$ $1 ، مما يؤدي فعليًا إلى استبعاد كليهما من الاعتبار.$

بالنسبة لكل قبعة من القبعات $n - 1$ التي قد يحصل عليها $P 1$ ، فإن عدد الطرق التي يمكن أن يحصل بها $P 2 ، ...، P n$ على القبعات هو مجموع عدد الحالات في الحالتين.

وهذا يُعطينا حل مسألة التحقق من القبعة: جبريًا، عدد الترتيبات غير المنتظمة لمجموعة مكونة من $n$ عنصرًا هو $D n$ $D_{n}=\left(n-1\right){\bigl (}D_{n-1}+D_{n-2}{\bigr )}\quad {\text{for}}\ n\geq 2,$ حيث $D 0 = 1$ و $D 1 = 0$ . ^{[ 6 ]}

يُبيّن الجدول أدناه عدد حالات عدم الترتيب ذات الأطوال الصغيرة.

عدد حالات عدم الترتيب لمجموعة مكونة $من n$ عنصرًا (التسلسل A000166 في OEIS ) لقيم $n الصغيرة$
$ن$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
$د ن$	1	0	1	2	9	44	265	1854	14833	133,496	1,334,961	14,684,570	176,214,841	2,290,792,932

توجد تعابير أخرى متنوعة لـ $D n$ ، مكافئة للصيغة المذكورة أعلاه. وتشمل هذه التعابير: $D_{n}=n!\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}\quad {\text{لـ}}\ n\geq 0$ و

D_{n}=\left[{\frac {n!}{e}}\right]=\left\lfloor {\frac {n!}{e}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \quad {\text{for}}\ n\geq 1,

حيث $[x]$ هي دالة أقرب ^عدد صحيح و⌊ $x⌋$ هي دالة الجزء ^الصحيح . ^{[ 3} $]$ $[$ ⁶^]

وتشمل الصيغ الأخرى ذات الصلة ^{[ 3 ]}^{[ 7 ]} $\begin{aligned}D_{n}&=\left\lfloor {\frac {n!+1}{e}}\right\rfloor \quad &{\text{لـ}}\ n&\geq 1,\\[10px]D_{n}&=\left\lfloor \left(e+e^{-1}\right)n!\right\rfloor -\lfloor en!\rfloor \quad &{\text{لـ}}\ n&\geq 2,\\[10px]D_{n}&=n!-\sum _{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}\cdot D_{ni}\quad &{\text{لـ}}\ n&\geq 1.\end{aligned}}}$

ينطبق التكرار التالي أيضًا: ^{[ 6 ]} $D_{n}={\begin{cases}1&{\text{إذا كان }}n=0,\\n\cdot D_{n-1}+(-1)^{n}&{\text{إذا كان }}n>0.\end{cases}}$

الاشتقاق بمبدأ الإدراج والاستبعاد

يمكن اشتقاق صيغة غير تكرارية لعدد التبديلات غير المرتبة لمجموعة من $n$ عنصرًا. بالنسبة لـ $1 \leq k \leq n،$ نُعرّف $S k$ على أنها مجموعة تباديل $n$ عنصرًا التي تُثبّت العنصر $k$ . أي تقاطع لمجموعة من $i$ من هذه المجموعات يُثبّت مجموعة معينة من $i$ عنصرًا، وبالتالي يحتوي على $(n - i)!$ تبديلًا. يوجد ${\textstyle {\binom {n}{i}}}$ لذا فإن مبدأ الإدراج والاستبعاد يؤدي إلى مثل هذه المجموعات. $\begin{aligned}\left|S_{1}\cup \dotsm \cup S_{n}\right|&=\sum _{i}\left|S_{i}\right|-\sum _{i<j}\left|S_{i}\cap S_{j}\right|+\sum _{i<j<k}\left|S_{i}\cap S_{j}\cap S_{k}\right|+\cdots +(-1)^{n+1}\left|S_{1}\cap \dotsm \cap S_{n}\right|\\&=\binom {n}{1}}(n-1)!-\binom {n}{2}}(n-2)!+\binom {n}{3}}(n-3)!-\cdots +(-1)^{n+1}{\binom {n}{n}}0!\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\binom {n}{i}}(ni)!\\&=n!\ \sum _{i=1}^{n}{\frac {(-1)^{i+1}}{i!}},\end{aligned}}}$ وبما أن التبديل غير المنتظم هو تبديل لا يُبقي أيًا من العناصر $n$ ثابتًا، فإن هذا يستلزم $D_{n}=n!-\left|S_{1}\cup \dotsm \cup S_{n}\right|=n!\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}.$

على الجانب الآخر، $n!=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}D_{i}$ بما أنه يمكننا اختيار $n - i$ عنصرًا لتكون في مكانها الخاص وتغيير ترتيب العناصر $i$ الأخرى بمقدار $D i$ طريقة فقط، بحسب التعريف. ^{[ 8 ]}

تزايد عدد الاضطرابات مع اقتراب $n$ $من \infty$

من $D_{n}=n!\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}$ و $e^{x}=\sum _{i=0}^{\infty }{x^{i} \over i!}$ باستبدال $x = -1$ نحصل مباشرة على أن $\lim _{n\to \infty }{\frac {D_{n}}{n!}}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=e^{-1}\approx 0.367879\ldots .$ هذا هو الحد الأقصى لاحتمالية أن يكون التبديل المُختار عشوائيًا لعدد كبير من العناصر تبديلًا غير منتظم. تتقارب الاحتمالية إلى هذا الحد بسرعة فائقة مع ازدياد قيمة $n$ ، ولهذا السبب $فإن$ $D n$ هو أقرب عدد صحيح إلى $n$ $!$ $/$ $e$ $.$ يُظهر الرسم البياني شبه اللوغاريتمي أعلاه أن الرسم البياني للتبديل غير المنتظم يتأخر عن الرسم البياني للتبديل بقيمة ثابتة تقريبًا.

يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول هذه العملية الحسابية والحد المذكور أعلاه في المقالة المتعلقة بإحصاءات التباديل العشوائية .

التوسع التقاربي بدلالة أعداد بيل

يكون التوسع التقاربي لعدد حالات عدم التماثل بدلالة أعداد بيل كما يلي: $D_{n}={\frac {n!}{e}}+\sum _{k=1}^{m}\left(-1\right)^{n+k-1}{\frac {B_{k}}{n^{k}}}+O\left({\frac {1}{n^{m+1}}}\right),$ حيث $m$ أي عدد صحيح موجب ثابت، و $Bk$ يرمز إلى $عدد$ بيل رقم $k$ . علاوة على ذلك ، فإن الثابت الذي يشير إليه الحد $O$ الكبير لا يتجاوز $Bm$ $+$ $1.$ ^[⁹^]

التعميمات

تسأل مشكلة اللقاءات عن عدد التباديل لمجموعة بحجم $n$ تحتوي بالضبط على k نقطة ثابتة.

تُعدّ الترتيبات غير المنتظمة مثالاً على المجال الأوسع للتباديل المقيدة. على سبيل المثال، تسأل مسألة "الزوجات" إذا جلس $n$ من الأزواج من الجنسين المختلفين حول طاولة (رجل-امرأة-رجل-امرأة-...)، فما عدد الطرق التي يمكن أن يجلسوا بها بحيث لا يجلس أي شخص بجوار شريكه؟

بصورة أكثر رسمية، بالنظر إلى المجموعات $A$ و $S$ ، وبعض المجموعات $U$ و $V$ من الإسقاطات $A \to S$ ، فإننا غالبًا ما نرغب في معرفة عدد أزواج الدوال $(f, g)$ بحيث تكون $f$ في $U$ و $g$ في $V$ ، ولكل $a \in A$ ، $f (a) \neq g (a)$ ؛ بعبارة أخرى، حيث لكل $f$ و $g$ ، يوجد تبديل $φ$ لـ $S$ بحيث يكون $f (a) = φ (g (a))$ .

ومن التعميمات الأخرى المشكلة التالية:

كم عدد الجناس التام التي لا تحتوي على أحرف ثابتة من كلمة معينة؟

على سبيل المثال، بالنسبة لكلمة مكونة من حرفين مختلفين فقط، ولنقل $n$ حرفًا A و $m$ حرفًا B، فإن الإجابة هي، بالطبع، 1 أو 0 وفقًا لما إذا كان $n = m$ أم لا، لأن الطريقة الوحيدة لتكوين جناس بدون أحرف ثابتة هي استبدال جميع الأحرف A بـ B، وهو أمر ممكن فقط إذا كان $n = m$ . في الحالة العامة، بالنسبة لكلمة تحتوي على $n1$ حرفًا $X1$ $،$ و $n2$ $حرفًا$ $X2$ $،$ ...، $و nr$ $حرفًا$ Xr $،$ $يتضح$ (بعد استخدام صيغة الإدراج والاستبعاد بشكل صحيح ) أن الإجابة تأخذ الشكل التالي $:$ $\int _{0}^{\infty }P_{n_{1}}(x)P_{n_{2}}(x)\cdots P_{n_{r}}(x)e^{-x}\,dx,$ بالنسبة لتسلسل معين من كثيرات الحدود $P n$ ، حيث $P n$ من الدرجة $n$ . لكن الإجابة السابقة في حالة $r = 2$ تعطي علاقة تعامد، ومن ثم فإن $P n$ هي كثيرات حدود لاغير ( حتى إشارة يسهل تحديدها). ^{[ 10 ]}

{\displaystyle \ \int _{0}^{\infty }(t-1)^{z}e^{-t}\,dt\ } — $\ \int _{0}^{\infty }(t-1)^{z}e^{-t}\,dt\$ في المستوى المركب

وبالتحديد، بالنسبة للاضطرابات الكلاسيكية، يكون لدينا ما يلي: $D_{n}={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e}}=\int _{0}^{\infty }(x-1)^{n}e^{-x}\,dx$ حيث $Γ(s, x)$ هي دالة غاما غير الكاملة العليا .

التعقيد الحسابي

يُعد تحديد ما إذا كانت مجموعة تبديلات معينة (موصوفة بمجموعة معينة من التبديلات التي تولدها) تحتوي على أي تبديلات غير منتظمة مسألةً كاملةً من نوع NP . ^[¹¹^]^[¹²^]

جدول قيم العوامل والاضطراب
$n$	التباديل، $n!$	اضطرابات، $D_{n}$	${\frac {D_{n}}{n!}}$
0	1 =1 × 10 ⁰	1 =1 × 10 ⁰	= 1
1	1 =1 × 10 ⁰	0	= 0
2	2 =2 × 10 ⁰	1 =1 × 10 ⁰	= 0.5
3	6 =6 × 10 ⁰	2 =2 × 10 ⁰	≈0.33333 33333
4	24 =2.4 × 10 ¹	9 =9 × 10 ⁰	= 0.375
5	120 =1.20 × 10 ²	44 =4.4 × 10 ¹	≈0.36666 66667
6	720 =7.20 × 10 ²	265 =2.65 × 10 ²	≈0.36805 55556
7	5040 =5.04 × 10 ³	1854 ≈ 1.85 × 10 ³	≈0.36785,71429
8	40,320 ≈ 4.03 × 10 ⁴	14833 ≈ 1.48 × 10 ⁴	≈0.36788 19444
9	362,880 ≈ 3.63 × 10 ⁵	133,496 ≈ 1.33 × 10 ⁵	≈0.36787 91887
10	3,628,800 ≈ 3.63 × 10 ⁶	1,334,961 ≈ 1.33 × 10 ⁶	≈0.36787 94643
11	39,916,800 ≈ 3.99 × 10 ⁷	14,684,570 ≈ 1.47 × 10 ⁷	≈0.36787 94392
12	479,001,600 ≈ 4.79 × 10 ⁸	176,214,841 ≈ 1.76 × 10 ⁸	≈0.36787 94413
13	6,227,020,800 ≈ 6.23 × 10 ⁹	2,290,792,932 ≈ 2.29 × 10 ⁹	≈0.36787 94412
14	87,178,291,200 ≈ 8.72 × 10 ¹⁰	32,071,101,049 ≈ 3.21 × 10 ¹⁰	≈0.36787 94412
15	1,307,674,368,000 ≈ 1.31 × 10 ¹²	481,066,515,734 ≈ 4.81 × 10 ¹¹	≈0.36787 94412
16	20,922,789,888,000 ≈ 2.09 × 10 ¹³	7,697,064,251,745 ≈ 7.70 × 10 ¹²	≈0.36787 94412
17	355,687,428,096,000 ≈ 3.56 × 10 ¹⁴	130,850,092,279,664 ≈ 1.31 × 10 ¹⁴	≈0.36787 94412
18	6,402,373,705,728,000 ≈ 6.40 × 10 ¹⁵	2,355,301,661,033,953 ≈ 2.36 × 10 ¹⁵	≈0.36787 94412
19	121,645,100,408,832,000 ≈ 1.22 × 10 ¹⁷	44,750,731,559,645,106 ≈ 4.48 × 10 ¹⁶	≈0.36787 94412
20	2,432,902,008,176,640,000 ≈ 2.43 × 10 ¹⁸	895,014,631,192,902,121 ≈ 8.95 × 10 ¹⁷	≈0.36787 94412
21	51,090,942,171,709,440,000 ≈ 5.11 × 10 ¹⁹	18,795,307,255,050,944,540 ≈ 1.88 × 10 ¹⁹	≈0.36787 94412
22	1,124,000,727,777,607,680,000 ≈ 1.12 × 10 ²¹	413,496,759,611,120,779,881 ≈ 4.13 × 10 ²⁰	≈0.36787 94412
23	25,852,016,738,884,976,640,000 ≈ 2.59 × 10 ²²	9,510,425,471,055,777,937,262 ≈ 9.51 × 10 ²¹	≈0.36787 94412
24	620,448,401,733,239,439,360,000 ≈ 6.20 × 10 ²³	228,250,211,305,338,670,494,289 ≈ 2.28 × 10 ²³	≈0.36787 94412
25	15,511,210,043,330,985,984,000,000 ≈ 1.55 × 10 ²⁵	5,706,255,282,633,466,762,357,224 ≈ 5.71 × 10 ²⁴	≈0.36787 94412
26	403,291,461,126,605,635,584,000,000 ≈ 4.03 × 10 ²⁶	148,362,637,348,470,135,821,287,825 ≈ 1.48 × 10 ²⁶	≈0.36787 94412
27	10,888,869,450,418,352,160,768,000,000 ≈ 1.09 × 10 ²⁸	4,005,791,208,408,693,667,174,771,274 ≈ 4.01 × 10 ²⁷	≈0.36787 94412
28	304,888,344,611,713,860,501,504,000,000 ≈ 3.05 × 10 ²⁹	112,162,153,835,443,422,680,893,595,673 ≈ 1.12 × 10 ²⁹	≈0.36787 94412
29	8,841,761,993,739,701,954,543,616,000,000 ≈ 8.84 × 10 ³⁰	3,252,702,461,227,859,257,745,914,274,516 ≈ 3.25 × 10 ³⁰	≈0.36787 94412
30	265,252,859,812,191,058,636,308,480,000,000 ≈ 2.65 × 10 ³²	97,581,073,836,835,777,732,377,428,235,481 ≈ 9.76 × 10 ³¹	≈0.36787 94412

الحواشي

↑ يعود أصل مصطلح "العامل الفرعي" إلى ويليام ألين ويتوورث .^{[ 1 ]}

مراجع

1 2 كاجوري، فلوريان ( 2011). تاريخ الرموز الرياضية: مجلدان في مجلد واحد . كوزيمو، إنك. ص 77. ISBN 9781616405717– عبر جوجل.
↑ غراهام، رونالد ل .؛ كنوث، دونالد إي .؛ باتاشنيك، أورين (1994). الرياضيات الملموسة . ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-55802-5.
1 2 3 حسني، مهدي (2003). "الاضطرابات وتطبيقاتها" . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 6 (1). المقالة 03.1.2. رمز Bibcode : 2003JIntS...6...12H – عبر cs.uwaterloo.ca.
^ دي مونتمورت، العلاقات العامة (1713) [1708]. Essay d'analyse sur les jeux de Risk (باللغة الفرنسية) (Revue & augmentée de plusieurs Lettres، Seconde ed.). باريس، فرنسا: جاك كويلاو (1708) / جاك كويلاو (1713).
↑ سكوفيل، ريتشارد (1966). "مسألة التحقق من القبعات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 73 (3): 262-265 . doi : 10.2307/2315337 . JSTOR 2315337 .
1 2 3 ستانلي، ريتشارد (2012). التوافقية العددية، المجلد 1 ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. مثال 2.2.1. ISBN 978-1-107-60262-5.
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "المضروب الفرعي" . عالم الرياضيات .
↑ بيزلي، إم تي إل (مايو 1967). "ملاحظة حول التبديلات". مجلة الرياضيات . 51 (376): 118-120 . doi : 10.2307/3614384 . JSTOR 3614384 .
↑ حساني، مهدي (2020). "التبديلات غير المنتظمة والمجموع المتناوب للتباديل بالتكامل" . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 23. المقالة 20.7.8.
↑ إيفن، س.؛ جيليس، ج. (1976). "الاضطرابات ومتعددات حدود لاغير" . وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 79 (1): 135-143 . Bibcode : 1976MPCPS..79..135E . doi : 10.1017/S0305004100052154 . S2CID 122311800. تاريخ الاسترجاع: 27 ديسمبر 2011 .
↑ لوبيو، آنا (1981). "بعض مسائل NP-كاملة مشابهة لتماثل الرسوم البيانية". مجلة SIAM للحوسبة . 10 (1): 11-21 . doi : 10.1137/0210002 . MR 0605600 .
↑ باباي، لازلو (1995). "مجموعات التشاكل الذاتي، التشاكل، إعادة البناء". دليل التوافقية (ملف PDF) . المجلد 1، 2. أمستردام، هولندا: إلسيفير. الفصل 27، الصفحات 1447-1540. MR 1373683 – عبر cs.uchicago.edu.

روابط خارجية

بايز، جون (2003). "دعونا نجن!" (ملف PDF) – عبر math.ucr.edu.
بوغارت، كينيث ب.؛ دويل، بيتر ج. (1985). "حل غير متحيز جنسياً لمشكلة العلاقات المتعددة" - عبر math.dartmouth.edu.
فايستين، إي دبليو "التشويش" . MathWorld / Wolfram Research – عبر mathworld.wolfram.com.

[2] يعود أصل مصطلح "العامل الفرعي" إلى ويليام ألين ويتوورث .^{[ 1 ]}

[Cajori-2011-1] 1 2 كاجوري، فلوريان ( 2011). تاريخ الرموز الرياضية: مجلدان في مجلد واحد . كوزيمو، إنك. ص 77. ISBN 9781616405717– عبر جوجل.

[3] غراهام، رونالد ل .؛ كنوث، دونالد إي .؛ باتاشنيك، أورين (1994). الرياضيات الملموسة . ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-55802-5.

[Hassani2003-4] 1 2 3 حسني، مهدي (2003). "الاضطرابات وتطبيقاتها" . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 6 (1). المقالة 03.1.2. رمز Bibcode : 2003JIntS...6...12H – عبر cs.uwaterloo.ca.

[5] دي مونتمورت، العلاقات العامة (1713) [1708]. Essay d'analyse sur les jeux de Risk (باللغة الفرنسية) (Revue & augmentée de plusieurs Lettres، Seconde ed.). باريس، فرنسا: جاك كويلاو (1708) / جاك كويلاو (1713).

[6] سكوفيل، ريتشارد (1966). "مسألة التحقق من القبعات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 73 (3): 262-265 . doi : 10.2307/2315337 . JSTOR 2315337 .

[EC1-7] 1 2 3 ستانلي، ريتشارد (2012). التوافقية العددية، المجلد 1 ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. مثال 2.2.1. ISBN 978-1-107-60262-5.

[Mathworld-Subfactorial-8] وايسشتاين، إريك دبليو. "المضروب الفرعي" . عالم الرياضيات .

[9] بيزلي، إم تي إل (مايو 1967). "ملاحظة حول التبديلات". مجلة الرياضيات . 51 (376): 118-120 . doi : 10.2307/3614384 . JSTOR 3614384 .

[10] حساني، مهدي (2020). "التبديلات غير المنتظمة والمجموع المتناوب للتباديل بالتكامل" . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 23. المقالة 20.7.8.

[11] إيفن، س.؛ جيليس، ج. (1976). "الاضطرابات ومتعددات حدود لاغير" . وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 79 (1): 135-143 . Bibcode : 1976MPCPS..79..135E . doi : 10.1017/S0305004100052154 . S2CID 122311800. تاريخ الاسترجاع: 27 ديسمبر 2011 .

[12] لوبيو، آنا (1981). "بعض مسائل NP-كاملة مشابهة لتماثل الرسوم البيانية". مجلة SIAM للحوسبة . 10 (1): 11-21 . doi : 10.1137/0210002 . MR 0605600 .

[13] باباي، لازلو (1995). "مجموعات التشاكل الذاتي، التشاكل، إعادة البناء". دليل التوافقية (ملف PDF) . المجلد 1، 2. أمستردام، هولندا: إلسيفير. الفصل 27، الصفحات 1447-1540. MR 1373683 – عبر cs.uchicago.edu.

[

[

[

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[

[ 10 ]

[

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗