نقطة تفرع

في مجال التحليل المركب ، تُعرف نقطة التفرع لدالة متعددة القيم بأنها نقطة بحيث إذا كانت الدالة${\displaystyle n}$-valued (has${\displaystyle n}$(القيم) عند تلك النقطة، تحتوي جميع أحيائها على نقطة ذات قيمة أكبر من${\displaystyle n}$القيم. ^{[ 1 ]} يتم دراسة الدوال متعددة القيم بدقة باستخدام أسطح ريمان ، ويستخدم التعريف الرسمي لنقاط التفرع هذا المفهوم.

تنقسم نقاط التفرع إلى ثلاث فئات رئيسية: نقاط التفرع الجبرية، ونقاط التفرع المتسامية، ونقاط التفرع اللوغاريتمية. تنشأ نقاط التفرع الجبرية في أغلب الأحيان من الدوال التي يوجد فيها غموض في استخراج الجذر، مثل حل المعادلة${\displaystyle w^{2}=z}$ل${\displaystyle w}$كدالة لـ${\displaystyle z}$هنا، نقطة التفرع هي نقطة الأصل، لأن الاستمرار التحليلي لأي حل حول حلقة مغلقة تحتوي على نقطة الأصل سيؤدي إلى دالة مختلفة: هناك أحادية غير تافهة . على الرغم من نقطة التفرع الجبرية، فإن الدالة${\displaystyle w}$تُعرَّف الدالة تعريفًا دقيقًا بأنها دالة متعددة القيم، وهي متصلة عند نقطة الأصل بالمعنى المناسب. وهذا يختلف عن نقاط التفرع المتسامية واللوغاريتمية، أي النقاط التي تمتلك عندها الدالة متعددة القيم أحادية غير تافهة وتفردًا جوهريًا . في نظرية الدوال الهندسية ، يشير استخدام مصطلح " نقطة التفرع" دون تحديد عادةً إلى النوع الأكثر تقييدًا: نقاط التفرع الجبرية. ^{[ 2 ]} في مجالات أخرى من التحليل العقدي، قد يشير المصطلح أيضًا إلى نقاط التفرع الأكثر عمومية من النوع المتسامي.

يترك$أوميغا$لتكن مجموعة مفتوحة متصلة في المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} }$و${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$دالة تحليلية . إذا${\displaystyle f}$إذا لم تكن ثابتة، فإن مجموعة النقاط الحرجة لـ${\displaystyle f}$أي أصفار المشتقة${\displaystyle f'(z)}$، ليس لها نقطة حد في$أوميغا$لذا فإن كل نقطة حرجة${\displaystyle z_{0}}$ل${\displaystyle f}$يقع في مركز قرص${\displaystyle B(z_{0},r)}$لا تحتوي على أي نقطة حرجة أخرى${\displaystyle f}$في إغلاقها.

يترك${\displaystyle \gamma }$كن حدود${\displaystyle B(z_{0},r)}$، مأخوذة مع اتجاهها الموجب. عدد اللفات لـ${\displaystyle f(\gamma )}$فيما يتعلق بالنقطة${\displaystyle f(z_{0})}$هو عدد صحيح موجب يُسمى مؤشر التفرع لـ${\displaystyle z_{0}}$. لو${\displaystyle z_{0}}$إذا كانت نقطة حرجة لدالة تحليلية، فإن معامل التفرع الخاص بها يكون أكبر من 1، لذلك${\displaystyle z_{0}}$ويُطلق عليها أيضًا نقطة تفرع${\displaystyle f}$، والقيمة الحرجة المقابلة${\displaystyle f(z_{0})}$يُطلق عليها نقطة تفرع (جبرية) . أو بعبارة أخرى،${\displaystyle z_{0}}$تُعتبر نقطة تفرع إذا وُجدت دالة تحليلية.${\displaystyle \phi }$ محدد في جوار${\displaystyle z_{0}}$بحيث${\displaystyle f(z)=\phi (z)(z-z_{0})^{k}+f(z_{0})}$للأعداد الصحيحة${\displaystyle k>1}$هذا صحيح دائمًا إذا${\displaystyle z_{0}}$هي نقطة حرجة في الدالة التحليلية.

عادةً، لا يهتم المرء بـ${\displaystyle f}$في حد ذاتها، ولكن في دالتها العكسية . ومع ذلك، فإن معكوس الدالة التحليلية في جوار نقطة التفرع غير موجود بشكل صحيح، ولذلك يُضطر المرء إلى تعريفها بمعنى متعدد القيم كدالة تحليلية شاملة . ومن الشائع إساءة استخدام اللغة والإشارة إلى نقطة التفرع.${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$ل${\displaystyle f}$كنقطة تفرع للدالة التحليلية العالمية${\displaystyle f^{-1}}$توجد تعريفات أكثر عمومية لنقاط التفرع لأنواع أخرى من الدوال التحليلية العالمية متعددة القيم، مثل تلك المعرفة ضمنيًا . ويُقدَّم أدناه إطار موحد للتعامل مع هذه الأمثلة بلغة أسطح ريمان . وعلى وجه الخصوص، في هذا التصور الأكثر عمومية، يمكن اعتبار الأقطاب من الرتبة الأكبر من 1 نقاط تفرع أيضًا.

من حيث الدالة التحليلية العالمية العكسية${\displaystyle f^{-1}}$نقاط التفرع هي تلك النقاط التي يوجد حولها دوران أحادي غير تافه. على سبيل المثال، الدالة${\displaystyle f(z)=z^{2}}$لها نقطة تفرع عند${\displaystyle z_{0}=0}$الدالة العكسية هي الجذر التربيعي${\displaystyle f^{-1}(w)=w^{1/2}}$، والتي لها نقطة تفرع عند${\displaystyle w_{0}=0}$في الواقع، الدوران حول الحلقة المغلقة${\displaystyle w=e^{i\theta }}$، يبدأ المرء من ${\displaystyle \theta =0}$و${\displaystyle e^{i0/2}=1}$لكن بعد الدوران حول الحلقة إلى${\displaystyle \theta =2\pi }$، لدى المرء${\displaystyle e^{2\pi i/2}=-1}$وبالتالي، هناك أحادية حول هذه الحلقة التي تحيط بالأصل.

لنفترض أن g دالة تحليلية شاملة معرفة على قرص مثقوب حول z₀ _. عندئذٍ، يكون لـ g نقطة تفرع متسامية إذا _كانت z₀ نقطة تفرد أساسية لـ g بحيث ينتج عن _{الاستمرار} التحليلي لعنصر دالة حول منحنى مغلق بسيط يحيط بالنقطة z₀ عنصر دالة مختلف. ^{[ 3 ]}

من أمثلة نقاط التفرع المتسامية نقطة الأصل للدالة متعددة القيم

${\displaystyle g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)\,}$

لبعض الأعداد الصحيحة k  >  1. هنا، تكون مجموعة المونودرومي لدائرة حول نقطة الأصل منتهية. يؤدي الاستمرار التحليلي حول k دائرة كاملة إلى إعادة الدالة إلى حالتها الأصلية.

_{إذا كانت} مجموعة المونودرومي لانهائية، أي يستحيل العودة إلى عنصر الدالة الأصلي بالاستمرار التحليلي على طول منحنى ذي عدد لفات غير صفري حول z₀ ، فإن النقطة z₀ تُسمى نقطة تفرع لوغاريتمية . ^{[ 4 ]} سُميت كذلك لأن المثال النموذجي لهذه الظاهرة هو نقطة تفرع اللوغاريتم المركب عند نقطة الأصل. عند الدوران _مرة واحدة عكس اتجاه عقارب الساعة حول منحنى مغلق بسيط يحيط بنقطة الأصل، يزداد اللوغاريتم المركب بمقدار 2πi . عند الدوران حول حلقة ذات عدد لفات w ، يزداد اللوغاريتم بمقدار 2πiw ، وتكون مجموعة المونودرومي هي المجموعة الدورية اللانهائية. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

تُعد نقاط التفرع اللوغاريتمية حالات خاصة من نقاط التفرع المتسامية.

لا يوجد مفهوم مماثل للتفرع بالنسبة لنقاط التفرع المتسامية واللوغاريتمية، إذ لا يمكن تمديد سطح ريمان المُغطي المرتبط بها تحليليًا إلى غطاء لنقطة التفرع نفسها. ولذلك، فإن هذه الأغطية تكون دائمًا غير متفرعة.

• الصفر هو نقطة تفرع لدالة الجذر التربيعي . لنفترض أن w  = z¹ ^/² ، وأن z تبدأ من 4 وتتحرك على طول دائرة نصف قطرها 4 في المستوى المركب مركزها 0. يتغير المتغير التابع w بشكل مستمر تبعًا لـ z . عندما تُكمل z دورة كاملة، عائدةً من 4 إلى 4 مرة أخرى، تكون w قد أكملت نصف دورة، عائدةً من الجذر التربيعي الموجب لـ 4، أي من 2، إلى الجذر التربيعي السالب لـ 4، أي -2 . 
• الصفر هو أيضًا نقطة تفرع للوغاريتم الطبيعي . بما أن e⁰ هو نفسه e²πi ^{، فإن كلًا من} 0 و2 πi من بين القيم المتعددة لـ ln(1). عندما يتحرك z على طول دائرة نصف قطرها 1 ومركزها 0، فإن ^w = ln( z ) ينتقل من 0 إلى 2πi .
• في علم المثلثات ، بما أن tan( π /4) و tan( 5π /4) كلاهما يساوي 1، فإن العددين π /4 و 5π /4 من بين القيم المتعددة لدالة arctan(1). الوحدتان التخيليتان i و -i هما نقطتا تفرع لدالة arctan( z ) = (1/2i )log[( i - z )/( i + z )]. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال ملاحظة أن المشتقة ( d / dz ) لدالة arctan( z ) = 1/(1 + z² ^{) لها} أقطاب بسيطة عند هاتين النقطتين، لأن المقام يساوي صفرًا عند هاتين النقطتين.      
• إذا كان لمشتقة الدالة ƒ قطب بسيط عند النقطة a ، فإن للدالة  ƒ نقطة تفرع لوغاريتمية عند a . والعكس غير صحيح، لأن الدالة ƒ ( z ) = zα ، حيث α عدد غير نسبي ^، لها نقطة تفرع لوغاريتمية، ومشتقتها شاذة دون أن تكون قطبًا.

بصورة عامة، نقاط التفرع هي النقاط التي تلتقي عندها مختلف أجزاء دالة متعددة القيم. وتُمثل أجزاء الدالة فروعها. على سبيل المثال، للدالة w  = z¹ ^/² فرعان: أحدهما عند الجذر التربيعي بإشارة موجبة، والآخر بإشارة سالبة. أما قطع التفرع فهو منحنى في المستوى المركب يسمح بتعريف فرع تحليلي واحد لدالة متعددة القيم على المستوى ناقص ذلك المنحنى. وعادةً ما تُؤخذ قطع التفرع، ولكن ليس دائمًا، بين أزواج من نقاط التفرع. 

تتيح تقنية القطع المتفرعة التعامل مع مجموعة من الدوال أحادية القيمة، "المُلصقة" معًا على طول القطع المتفرع، بدلاً من دالة متعددة القيم. على سبيل المثال، لإنشاء الدالة

${\displaystyle F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}\,}$

في حالة الدوال أحادية القيمة، يتم إنشاء فرع على طول الفترة [0،  1] على المحور الحقيقي، يصل بين نقطتي التفرع. يمكن تطبيق الفكرة نفسها على الدالة √z ؛ ولكن في هذه الحالة، يجب إدراك أن النقطة عند اللانهاية هي نقطة التفرع "الأخرى" المناسبة للربط من الصفر، على سبيل المثال على طول المحور الحقيقي السالب بأكمله.

قد تبدو آلية قطع الفروع عشوائية (وهي كذلك بالفعل)؛ لكنها مفيدة للغاية، على سبيل المثال في نظرية الدوال الخاصة . وقد طُوِّر تفسير ثابت لظاهرة الفروع في نظرية سطح ريمان (التي تُعدّ هذه الآلية أصلها تاريخيًا)، وبشكل أعم في نظرية التفرع ونظرية المونودرومية للدوال الجبرية والمعادلات التفاضلية .

اللوغاريتم المركب

المثال النموذجي للقطع المتفرع هو اللوغاريتم المركب. إذا تم تمثيل عدد مركب بالصيغة القطبية z  = r e ^{i θ} ، فإن لوغاريتم z هو 

${\displaystyle \ln z=\ln r+i\theta .\,}$

مع ذلك، ثمة غموض واضح في تعريف الزاوية θ : فإضافة أي مضاعف صحيح للعدد 2π إلى θ ينتج زاوية أخرى محتملة. فرع اللوغاريتم هو دالة متصلة L ( z ) تعطي لوغاريتم z لجميع قيم z في مجموعة مفتوحة متصلة في المستوى المركب. على وجه الخصوص، يوجد فرع للوغاريتم في متمم أي شعاع من نقطة الأصل إلى اللانهاية: وهو ما يُعرف بقطع الفرع . يُعد المحور الحقيقي السالب خيارًا شائعًا لقطع الفرع، مع أن هذا الاختيار يعتمد في الغالب على سهولة الاستخدام.

يُظهر اللوغاريتم انقطاعًا قفزيًا بمقدار 2πi عند عبوره نقطة القطع. ويمكن جعل اللوغاريتم متصلًا بلصق عدد لا نهائي من النسخ، تُسمى صفائح ، من المستوى المركب على طول نقطة القطع. في كل صفيحة، تختلف قيمة اللوغاريتم عن قيمته الأصلية بمضاعفات 2πi . تُلصق هذه السطوح ببعضها على طول نقطة القطع بطريقة فريدة تجعل اللوغاريتم متصلًا. في كل مرة يدور فيها المتغير حول نقطة الأصل، ينتقل اللوغاريتم إلى فرع مختلف.

يُعرَّف مفهوم نقطة التفرع للدالة التحليلية ƒ: X  → Y من سطح ريمان متصل مضغوط X إلى سطح ريمان مضغوط Y (عادةً ما يكون كرة ريمان ). ما لم تكن الدالة ƒ ثابتة، فإنها تُغطي صورتها عند جميع النقاط باستثناء عدد محدود منها. تُسمى نقاط X التي لا تُغطيها ƒ بنقاط تفرع ƒ، وتُسمى صورة نقطة التفرع تحت تأثير ƒ بنقطة تفرع. 

لأي نقطة P  ∈ X و Q = ƒ( P ) ∈ Y ، توجد إحداثيات محلية هولومورفية z لـ X بالقرب من P و w لـ Y بالقرب من Q، وبواسطتها تُعطى الدالة ƒ( z ) بالصيغة التالية:     

${\displaystyle w=z^{k}}$

لعدد صحيح k . يُسمى هذا العدد الصحيح مؤشر التفرع للنقطة P. عادةً ما يكون مؤشر التفرع واحدًا. ولكن إذا لم يكن مؤشر التفرع مساويًا للواحد، فإن P تُعتبر، بحكم التعريف، نقطة تفرع، و Q نقطة تفرع.

إذا كانت Y هي ببساطة كرة ريمان، وكانت Q تقع في الجزء المحدود من Y ، فلا حاجة لاختيار إحداثيات خاصة. يمكن حساب مؤشر التفرع صراحةً من صيغة كوشي التكاملية . ليكن γ حلقة تقويمية بسيطة في X حول P. مؤشر التفرع للدالة ƒ عند P هو

${\displaystyle e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}}\,dz.}$

يمثل هذا التكامل عدد مرات التفاف الدالة ƒ(γ) حول النقطة Q. وكما سبق، فإن P هي نقطة تفرع و Q هي نقطة تفرع فرعي إذا كان e _P  >  1.

في سياق الهندسة الجبرية ، يمكن تعميم مفهوم نقاط التفرع ليشمل التطبيقات بين المنحنيات الجبرية المختلفة . ليكن ƒ: X  → Y تشاكلاً بين المنحنيات الجبرية. بسحب الدوال الكسرية على Y إلى دوال كسرية على X ، يصبح K ( X ) امتدادًا حقليًا لـ K ( Y ). تُعرَّف درجة ƒ بأنها درجة هذا الامتداد الحقلي [ K ( X ): K ( Y )]، ويُقال إن ƒ منتهٍ إذا كانت درجته منتهية. 

_{لنفترض أن الدالة} ƒ محدودة. بالنسبة لنقطة P  ∈ X ، يُعرَّف مؤشر التفرع eP كما يلي: ليكن Q = ƒ( P )، وليكن t مُعامل توحيد محلي عند P ؛ أي أن t دالة منتظمة مُعرَّفة في جوار Q بحيث t ( Q ) = 0 وتفاضلها غير صفري. بسحب t للخلف بواسطة ƒ ، نحصل على دالة منتظمة على X.     

${\displaystyle e_{P}=v_{P}(t\circ f)}$

حيث v _P هو التقييم في الحلقة المحلية للدوال المنتظمة عند النقطة P. أي أن e _P هو الرتبة التي${\displaystyle t\circ f}$تتلاشى عند النقطة P. إذا كان e _P  >  1، فإن الدالة ƒ تتفرع عند النقطة P. في هذه الحالة، تُسمى النقطة Q نقطة تفرع.

• أبلوويتز، مارك جيه؛ فوكاس، أثاناسيوس إس. (2003)، المتغيرات المركبة: مقدمة وتطبيقات ، نصوص كامبريدج في الرياضيات التطبيقية (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-53429-1
• أهلفورس، إل في (1979)، التحليل المركب ، نيويورك: ماكجرو هيل ، رقم ISBN 978-0-07-000657-7
• أرفكن، جي بي؛ ويبر، إتش جيه (2000)، الأساليب الرياضية للفيزيائيين (الطبعة الخامسة  )، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس ، رقم ISBN 978-0-12-059825-0
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 ، OCLC 13348052  
• ماركوشيفيتش، أ. إ. (1965)، نظرية الدوال ذات المتغير المركب. المجلد الأول ، ترجمة وتحرير ريتشارد أ. سيلفرمان، إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول، MR 0171899 
• سولومينتسيف، إي دي (2001) [1994]، "نقطة التفرع" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس