نظرية الدوال الهندسية

التحويل المطابق هو دالة تحافظ على الزوايا محلياً. في الحالة الأكثر شيوعاً ، يكون للدالة مجال ومدى في المستوى المركب .

بصورة أكثر رسمية، خريطة،

${\displaystyle f:U\rightarrow V\qquad }$مع${\displaystyle U,V\subset \mathbb {C} ^{n}}$

يُطلق عليه اسم متطابق (أو حافظ للزاوية ) عند نقطة${\displaystyle u_{0}}$إذا حافظت على الزوايا الموجهة بين المنحنيات من خلال${\displaystyle u_{0}}$فيما يتعلق باتجاهها ( أي ليس فقط مقدار الزاوية). تحافظ التحويلات المطابقة على كل من الزوايا وأشكال الأشكال متناهية الصغر، ولكن ليس بالضرورة على حجمها أو انحنائها .

في التحليل الرياضي المركب ، فإن التحويل شبه المطابق ، الذي قدمه غروتزش (1928) وأطلق عليه أهلفورس (1935) اسمًا ، هو تماثل بين المجالات المستوية التي تأخذ الدوائر الصغيرة إلى أشكال بيضاوية صغيرة ذات انحراف محدود من الدرجة الأولى .

بشكل بديهي، ليكن f  : D  → D ′ تماثلًا يحافظ على الاتجاه بين مجموعات مفتوحة في المستوى. إذا كانت f قابلة للتفاضل باستمرار ، فإنها تكون K- شبه متطابقة إذا كانت مشتقة f عند كل نقطة تحول الدوائر إلى أهليجات ذات انحراف مركزي محدود بـ K. 

إذا كانت قيمة K تساوي صفرًا، فإن الدالة تكون مطابقة .

الاستمرار التحليلي هو أسلوب لتوسيع نطاق دالة تحليلية معينة . غالباً ما ينجح الاستمرار التحليلي في تحديد قيم إضافية للدالة، على سبيل المثال في منطقة جديدة حيث يصبح تمثيل المتسلسلة اللانهائية الذي تم تعريفها به في البداية متباعداً.

مع ذلك، قد تواجه تقنية الاستمرار التدريجي بعض الصعوبات. قد تكون هذه الصعوبات ذات طبيعة طوبولوجية جوهرية، مما يؤدي إلى تناقضات (تحديد أكثر من قيمة واحدة). وقد تتعلق هذه الصعوبات، بدلاً من ذلك، بوجود نقاط تفرد رياضية . أما حالة المتغيرات المركبة المتعددة فهي مختلفة تماماً، إذ لا يمكن أن تكون نقاط التفرد حينها نقاطاً معزولة، وكان البحث فيها سبباً رئيسياً لتطوير علم تماثل الحزم .

تشمل المواضيع في هذا المجال أسطح ريمان للدوال الجبرية وأصفار الدوال الجبرية.

تشمل المواضيع في هذا المجال "مبدأ الحد الأقصى؛ ليمّة شوارتز، مبدأ ليندلوف، التناظرات والتعميمات". ^{[ 3 ]}

تُسمى الدالة الهولومورفية على مجموعة فرعية مفتوحة من المستوى المركب أحادية القيمة إذا كانت حقنية .

يمكن إثبات ذلك إذا${\displaystyle G}$و$أوميغا$هما مجموعتان مفتوحتان متصلتان في المستوى المركب، و

${\displaystyle f:G\to \Omega }$

هي دالة أحادية القيمة بحيث${\displaystyle f(G)=\Omega }$(إنه،${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة شاملة ، فإن مشتقة${\displaystyle f}$لا يساوي الصفر أبدًا،${\displaystyle f}$قابلة للعكس ، ومعكوسها${\displaystyle f^{-1}}$وهي أيضًا دالة شكلية. علاوة على ذلك، يمكن للمرء أن يمتلكها وفقًا لقاعدة السلسلة.

تُستخدم مصطلحات بديلة شائعة الاستخدام مثل schlicht (وهي كلمة ألمانية تعني بسيط أو واضح) و simple . ومن الحقائق اللافتة، والأساسية لنظرية الدوال أحادية القيمة، أن أحادية القيمة تُحفظ بشكل أساسي في ظل التقارب المنتظم.

يترك${\displaystyle z_{0}}$لتكن نقطة في منطقة متصلة ببساطة${\displaystyle D_{1}(D_{1}\neq \mathbb {C} )}$و${\displaystyle D_{1}}$إذا كان للدالة نقطتان حدوديتان على الأقل، فإنه يوجد دالة تحليلية وحيدة.${\displaystyle w=f(z)}$رسم الخرائط${\displaystyle D_{1}}$بشكل تقابلي في قرص الوحدة المفتوح${\displaystyle |w|<1}$بحيث${\displaystyle f(z_{0})=0}$و${\displaystyle f'(z_{0})>0}$.

على الرغم من أن نظرية ريمان للتطبيقات تُثبت وجود دالة تطبيق، إلا أنها لا تُظهر هذه الدالة فعلياً. ويرد مثال على ذلك أدناه.

في الشكل أعلاه، انظر${\displaystyle D_{1}}$و${\displaystyle D_{2}}$كمنطقتين متصلتين ببساطة مختلفتين عن${\displaystyle \mathbb {C} }$تنص نظرية ريمان للتطبيقات على وجود${\displaystyle w=f(z)}$رسم الخرائط${\displaystyle D_{1}}$على القرص الصلب ووجود${\displaystyle w=g(z)}$رسم الخرائط${\displaystyle D_{2}}$على القرص الصلب. وهكذا${\displaystyle g^{-1}f}$هي عملية مطابقة واحدة لـ${\displaystyle D_{1}}$على${\displaystyle D_{2}}$إذا استطعنا أن نثبت ذلك${\displaystyle g^{-1}}$وبالتالي، فإن التركيب تحليلي، ومن ثم لدينا تحويل متطابق لـ${\displaystyle D_{1}}$على${\displaystyle D_{2}}$مما يثبت أن "أي منطقتين متصلتين ببساطة تختلفان عن المستوى بأكمله"${\displaystyle \mathbb {C} }$يمكن رسم خرائط متطابقة على بعضها البعض.

تُعرف مبرهنة شوارتز ، نسبةً إلى هيرمان أماندوس شوارتز ، بأنها نتيجة في التحليل العقدي تتعلق بالدوال التحليلية من القرص المفتوح ذي الوحدة إلى نفسه. ورغم أن هذه المبرهنة أقل شهرةً من نظريات أقوى، مثل مبرهنة ريمان للتطبيقات ، التي تُسهم في إثباتها، إلا أنها تُعدّ من أبسط النتائج التي تُجسّد صلابة الدوال التحليلية.

مبدأ القيمة العظمى هو خاصية لحلول بعض المعادلات التفاضلية الجزئية ، من النوعين الإهليلجي والقطع المكافئ . وبعبارة أخرى، ينص هذا المبدأ على أن القيمة العظمى لدالة ما في مجال معين تقع على حدود ذلك المجال. وبالتحديد، ينص مبدأ القيمة العظمى القوي على أنه إذا بلغت دالة ما قيمتها العظمى داخل المجال، فإنها تكون ثابتة بشكل منتظم. أما مبدأ القيمة العظمى الضعيف فينص على أن القيمة العظمى للدالة تقع على الحدود، ولكنها قد تتكرر داخل المجال أيضًا. وهناك مبادئ أخرى للقيمة العظمى، أضعف منها، تحدد فقط قيمة الدالة العظمى على الحدود.

تصف صيغة ريمان -هرويتز ، نسبةً إلى برنارد ريمان وأدولف هورويتز ، العلاقة بين خصائص أويلر لسطحين عندما يكون أحدهما غطاءً متفرعًا للآخر. وبذلك، تربط هذه الصيغة التفرع بالطوبولوجيا الجبرية في هذه الحالة. وهي نتيجة نموذجية للعديد من النتائج الأخرى، وكثيرًا ما تُستخدم في نظرية أسطح ريمان (التي تُعدّ أصلها) والمنحنيات الجبرية .