خاتم التقييم

في الجبر المجرد ، حلقة التقييم هي مجال تكاملي D بحيث أنه لكل عنصر غير صفري x من حقل الكسور F الخاص به، ينتمي واحد على الأقل من x أو x ^{− 1 إلى} D.

بفرض وجود حقل F ، إذا كانت D حلقة جزئية من F بحيث ينتمي إما x أو x ^{− 1 إلى} D لكل x غير صفري في F ، فإن D تُسمى حلقة تقييم للحقل F أو موضعًا من F. وبما أن F في هذه الحالة هو حقل الكسور لـ D ، فإن حلقة التقييم لحقل ما هي حلقة تقييم. ويمكن وصف حلقات التقييم للحقل F بطريقة أخرى ، وهي أن حلقات التقييم D لـ F يكون F حقل كسورها، وأن مُثُلها مُرتبة ترتيبًا كليًا بالاحتواء ؛ أو بصورة مكافئة، مُثُلها الرئيسية مُرتبة ترتيبًا كليًا بالاحتواء. وبالتحديد، كل حلقة تقييم هي حلقة محلية .

حلقات التقييم لحقل ما هي العناصر القصوى لمجموعة الحلقات الفرعية المحلية في الحقل مرتبة جزئيًا حسب الهيمنة أو التحسين ، ^{[ 1 ]} حيث

${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A})}$يهيمن${\displaystyle (B,{\mathfrak {m}}_{B})}$لو${\displaystyle A\supseteq B}$و${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}\cap B={\mathfrak {m}}_{B}}$[ ^{2 ]​}

كل حلقة محلية في حقل K تهيمن عليها حلقة تقييم معينة من K.

يُطلق على المجال التكاملي الذي يكون موضعه عند أي مثالي أولي عبارة عن حلقة تقييم اسم مجال بروفر .

توجد عدة تعريفات متكافئة لحلقة التقييم (انظر أدناه للوصف من حيث الهيمنة). بالنسبة لمجال تكاملي D وحقل كسوره K ، فإن ما يلي متكافئ:

1. لكل قيمة غير صفرية x في K ، يوجد على الأقل واحد من x أو x ⁻¹ في D.
2. إن مُثُل المجموعة د مرتبة تماماً وفقاً لمبدأ الشمولية.
3. يتم ترتيب المُثُل الرئيسية لـ D بشكل كامل عن طريق الاحتواء (أي أن العناصر في D ، حتى الوحدات ، مرتبة بشكل كامل عن طريق قابلية القسمة ).
4. يوجد زمرة أبيلية مرتبة كليًا Γ (تسمى زمرة القيم ) وتقييم ν: K → Γ ∪ { ∞} مع D = { x ∈ K | ν( x ) ≥ 0 }.

يترتب تكافؤ التعريفات الثلاثة الأولى بسهولة. تنص نظرية ( كرول، 1939 ) على أن أي حلقة تحقق الشروط الثلاثة الأولى تحقق الشرط الرابع: لنأخذ Γ كحاصل قسمة K ^× / D ^× لمجموعة الوحدة K على مجموعة الوحدة D ، ولنأخذ ν كإسقاط طبيعي. يمكننا تحويل Γ إلى مجموعة مرتبة كليًا بتعريف فئات البواقي لعناصر D على أنها "موجبة". ^{[ أ ]}

علاوة على ذلك، بالنظر إلى أي مجموعة أبيلية مرتبة تمامًا Γ، توجد حلقة تقييم D مع مجموعة القيمة Γ (انظر سلسلة هان ).

انطلاقًا من كون مُثُل حلقة التقييم مُرتبة ترتيبًا كليًا، يُمكن استنتاج أن حلقة التقييم هي مجال محلي، وأن كل مُثُل مُوَلَّدة نهائيًا في حلقة التقييم هي مُثُل رئيسية (أي أن حلقة التقييم هي مجال بيزو ). في الواقع، تنص نظرية كرول على أن المجال التكاملي هو حلقة تقييم إذا وفقط إذا كان مجال بيزو محليًا. ^{[ 3 ]} ويترتب على ذلك أيضًا أن حلقة التقييم نوثرية إذا وفقط إذا كانت مجال مُثُل رئيسية . في هذه الحالة، إما أن تكون حقلًا أو أن يكون لها مُثُل أولية واحدة غير صفرية؛ وفي الحالة الأخيرة تُسمى حلقة تقييم منفصلة . (اصطلاحًا، الحقل ليس حلقة تقييم منفصلة).

تُسمى مجموعة القيم منفصلة إذا كانت متماثلة مع المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة ، وحلقة التقييم لها مجموعة تقييم منفصلة إذا وفقط إذا كانت حلقة تقييم منفصلة . ^{[ 4 ]}

في حالات نادرة جدًا، قد يُشير مصطلح "حلقة التقييم" إلى حلقة تُحقق الشرط الثاني أو الثالث، ولكنها ليست بالضرورة مجالًا. ويُطلق على هذا النوع من الحلقات مصطلح " الحلقة أحادية التسلسل" الأكثر شيوعًا .

• أي مجال${\displaystyle \mathbb {F} }$هي حلقة تقييم. على سبيل المثال، حقل الدوال الكسرية${\displaystyle \mathbb {F} (X)}$على مجموعة متنوعة جبرية${\displaystyle X}$[ ^{5 ] [ 6 ]​}
• من الأمثلة البسيطة غير الصحيحة المجال التكاملي${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$بما أن معكوس عام${\displaystyle f/g\in \mathbb {C} (X)}$يكون${\displaystyle g/f\not \in \mathbb {C} [X]}$.
• مجال متسلسلات القوى :

${\displaystyle \mathbb {F} ((X))=\left\{f(X)=\!\sum _{i>-\infty }^{\infty }a_{i}X^{i}\,:\ a_{i}\in \mathbb {F} \right\}}$

لديها التقييم${\displaystyle v(f)=\inf \nolimits _{a_{n}\neq 0}n}$الحلقة الفرعية${\displaystyle \mathbb {F} [[X]]}$وهي أيضاً حلقة تقييم.

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _ {(ع)},}$تحديد موقع الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$في المثالي الأولي ( p )، يتكون من نسب يكون بسطها أي عدد صحيح ومقامها لا يقبل القسمة على p . حقل الكسور هو حقل الأعداد النسبية.${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• حلقة الدوال الميرومورفية على كامل المستوى العقدي ، والتي لها متسلسلة ماكلورين ( متسلسلة تايلور عند الصفر)، تُسمى حلقة التقييم. حقل الكسور هو مجموعة الدوال الميرومورفية على كامل المستوى. إذا لم تكن للدالة f متسلسلة ماكلورين، فإن 1/ f لها متسلسلة ماكلورين.
• أي حلقة من الأعداد الصحيحة p -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$بالنسبة لعدد أولي معين p ، تكون حلقة محلية ، مع حقل كسور الأعداد p -adic${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$الإغلاق التكاملي${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$تُعتبر مجموعة الأعداد الصحيحة p -adic حلقة محلية أيضًا، مع حقل من الكسور.${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\text{cl}}}$( الإغلاق الجبري للأعداد p -adic). كلاهما${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$و${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$هي حلقات تقييم.
• ليكن k حقلاً مرتباً . يُسمى عنصر من k منتهياً إذا كان يقع بين عددين صحيحين n < x < m ؛ وإلا يُسمى غير منتهٍ. تُسمى المجموعة D للعناصر المنتهية من k حلقة تقييم. تُسمى مجموعة العناصر x التي تحقق x ∈ D و x ^{− 1} ∉ D مجموعة العناصر المتناهية الصغر ؛ ويُسمى العنصر x الذي يحقق x ∉ D و x ^{− 1} ∈ D غير منتهٍ.
• الحلقة F للعناصر المنتهية في حقل الأعداد الحقيقية الفائقة * R (حقل مرتب يحتوي على الأعداد الحقيقية ) هي حلقة تقييم لـ * R . تتكون F من جميع الأعداد الحقيقية الفائقة التي تختلف عن عدد حقيقي قياسي بمقدار متناهي الصغر، وهو ما يكافئ القول بوجود عدد حقيقي فائق x بحيث يكون −n < x < n لعدد صحيح قياسي n . حقل البقايا ، أي الأعداد الحقيقية الفائقة المنتهية بتردد مثالي الأعداد الحقيقية الفائقة المتناهية الصغر، متماثل مع حقل الأعداد الحقيقية.
• يأتي مثال هندسي شائع من المنحنيات المستوية الجبرية . لنأخذ حلقة كثيرات الحدود كمثال .${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ومتعددة حدود غير قابلة للاختزال${\displaystyle f}$في تلك الحلقة. ثم الحلقة${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)}$هي حلقة الدوال متعددة الحدود على المنحنى${\displaystyle \{(x,y):f(x,y)=0\}}$اختر نقطة${\displaystyle P=(P_{x},P_{y})\in \mathbb {C} ^{2}}$بحيث${\displaystyle f(P)=0}$وهي نقطة منتظمة على المنحنى؛ أي أن الحلقة المحلية R عند النقطة هي حلقة محلية منتظمة ذات بُعد كرول واحد أو حلقة تقييم منفصلة .
• على سبيل المثال، ضع في اعتبارك عملية الإدراج${\displaystyle (\mathbb {C} [[X^{2}]],(X^{2}))\hookrightarrow (\mathbb {C} [[X]],(X))}$هذه كلها حلقات فرعية في مجال متسلسلات القوى المحدودة من الأسفل${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$.

تُعرف العناصر x في D ، التي يكون x ^{− 1 عنصرًا في} D ، بأنها العناصر القابلة للعكس في حلقة التقييم. أما العناصر الأخرى في D ، والتي تُسمى العناصر غير القابلة للعكس، فلا يوجد لها معكوس في D ، وهي تُشكل مثاليًا M. هذا المثالي هو المثالي الأعظم بين المثاليات (المرتبة كليًا) في D. وبما أن M مثالي أعظمي ، فإن حلقة القسمة D / M تُسمى حقل البواقي في D. 

بشكل عام، نقول حلقة محلية${\displaystyle (S,{\mathfrak {m}}_{S})}$يهيمن على حلقة محلية${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}_{R})}$لو${\displaystyle S\supseteq R}$و${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{S}\cap R={\mathfrak {m}}_{R}}$بمعنى آخر، الإدراج${\displaystyle R\subseteq S}$هو تشاكل حلقي محلي . كل حلقة محلية${\displaystyle (A,{\mathfrak {p}})}$في حقل K، تهيمن حلقة تقييم معينة من K. في الواقع، المجموعة التي تتكون من جميع الحلقات الفرعية R من K التي تحتوي على A و${\displaystyle 1\not \in {\mathfrak {p}}R}$هي غير فارغة وهي استقرائية؛ وبالتالي، لها عنصر أقصى${\displaystyle R}$بحسب مبرهنة زورن ، ندّعي أن R حلقة تقييم. R حلقة محلية ذات مثالي أعظمي يحتوي على${\displaystyle {\mathfrak {p}}R}$بحسب خاصية القيمة القصوى. ومرة ​​أخرى، بحسب خاصية القيمة القصوى، فهي مغلقة تكاملياً أيضاً. الآن، إذا${\displaystyle x\not \in R}$ثم، بحسب مبدأ الأقصى،${\displaystyle {\mathfrak {p}}R[x]=R[x]}$وبالتالي يمكننا أن نكتب:

${\displaystyle 1=r_{0}+r_{1}x+\cdots +r_{n}x^{n},\quad r_{i}\in {\mathfrak {p}}R}$.

منذ${\displaystyle 1-r_{0}}$إذا كان عنصرًا أحاديًا، فهذا يعني أن${\displaystyle x^{-1}}$التكامل على R ؛ وبالتالي فإنّ ينتمي إلى R. هذا يثبت أن R حلقة تقييم. ( تهيمن R على A لأن مثاليها الأعظمي يحتوي على${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$(بواسطة البناء.)

تُعتبر الحلقة المحلية R في الحقل K حلقة تقييم إذا وفقط إذا كانت عنصرًا أقصى في مجموعة جميع الحلقات المحلية الموجودة في K والمرتبة جزئيًا حسب الهيمنة. وهذا يتبع بسهولة مما سبق. ^{[ ب ]}

ليكن A حلقة جزئية من الحقل K و${\displaystyle f:A\to k}$تماثل حلقي إلى حقل مغلق جبريًا k . ثم يمتد f إلى تماثل حلقي.${\displaystyle g:D\to k}$، D حلقة تقييم لـ K تحتوي على A. (البرهان: ليكن${\displaystyle g:R\to k}$ليكن امتدادًا أقصى، وهو موجود بوضوح وفقًا لفرضية زورن. وبحسب خاصية الأقصىية، فإن R حلقة محلية ذات مثالي أقصى يحتوي على نواة f . إذا كانت S حلقة محلية تهيمن على R ، فإن S جبرية على R ؛ وإلا،${\displaystyle S}$يحتوي على حلقة متعددة الحدود${\displaystyle R[x]}$والتي يمتد إليها g ، وهو ما يتناقض مع مبدأ التطرف. ويترتب على ذلك${\displaystyle S/{\mathfrak {m}}_{S}}$هو امتداد حقل جبري لـ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}_{R}}$. هكذا،${\displaystyle S\to S/{\mathfrak {m}}_{S}\hookrightarrow k}$يمتد g ؛ ومن ثم، S = R. )

إذا احتوت حلقة فرعية R من حقل K على حلقة تقييم D من K ، فإنه بالتحقق من التعريف 1، تكون R أيضًا حلقة تقييم لـ K. وبالتحديد، R حلقة محلية، ويتقلص مثاليها الأعظم إلى مثالي أولي ما في D ، ولنقل،${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. ثم${\displaystyle R=D_{\mathfrak {p}}}$منذ${\displaystyle R}$يهيمن${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$وهي حلقة تقييم لأن المُثُل مرتبة ترتيبًا تامًا. وتُدمج هذه الملاحظة فيما يلي: ^{[ 7 ]} يوجد تناظر تقابلي.${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto D_{\mathfrak {p}},\operatorname {Spec} (D)\to }$مجموعة جميع الحلقات الفرعية من K التي تحتوي على D. على وجه الخصوص، D مغلقة بشكل متكامل، ^{[ 8 ] [ c ]} وبُعد كرول لـ D هو عدد الحلقات الفرعية المناسبة من K التي تحتوي على D.

في الواقع، الإغلاق التكاملي لمجال تكاملي A في حقل الكسور K لـ A هو تقاطع جميع حلقات التقييم لـ K التي تحتوي على A. ^{[ 9 ]} في الحقيقة، يقع الإغلاق التكاملي ضمن التقاطع لأن حلقات التقييم مغلقة تكامليًا. على العكس من ذلك، ليكن x في K ولكنه ليس تكامليًا على A. بما أن المثالي${\displaystyle x^{-1}A[x^{-1}]}$ليس${\displaystyle A[x^{-1}]}$، ^{[ د ]} إنه موجود في مثال أقصى${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ثم هناك حلقة تقييم R تهيمن على تحديد موقع${\displaystyle A[x^{-1}]}$في${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. منذ${\displaystyle x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{R}}$،${\displaystyle x\not \in R}$.

يُستخدم مفهوم الهيمنة في الهندسة الجبرية . ليكن X صنفًا جبريًا على حقل k . عندئذٍ نقول إن حلقة التقييم R في${\displaystyle k(X)}$يحتوي على "مركز س على س " إذا${\displaystyle R}$يهيمن على الحلقة المحلية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x,X}}$من حزمة الهيكل عند x . ^{[ 10 ]}

يمكننا وصف المُثُل في حلقة التقييم من خلال مجموعة قيمها.

ليكن Γ زمرة أبيلية مرتبة ترتيبًا كليًا . تُسمى المجموعة الجزئية Δ من Γ قطعةً إذا كانت غير فارغة، ولكل α في Δ، فإن أي عنصر بين −α و α ينتمي أيضًا إلى Δ (بما في ذلك طرفي المجموعة). تُسمى الزمرة الجزئية من Γ زمرةً جزئيةً معزولةً إذا كانت قطعةً وزمرةً جزئيةً فعلية.

ليكن D حلقة تقييم ذات تقييم v ومجموعة قيم Γ. لأي مجموعة جزئية A من D ، نضع${\displaystyle \Gamma _{A}}$كن مكملاً لاتحاد${\displaystyle v(A-0)}$و${\displaystyle -v(A-0)}$في${\displaystyle \Gamma }$إذا كان "أنا " مثالاً صحيحاً، فـ${\displaystyle \Gamma _{I}}$هو جزء من${\displaystyle \Gamma }$في الواقع، عملية رسم الخرائط${\displaystyle I\mapsto \Gamma _{I}}$يُعرّف هذا تقابلاً عكسياً بين مجموعة المُثُل الحقيقية لـ D ومجموعة القطع لـ${\displaystyle \Gamma }$[ ^{11 ] في ظل هذا التوافق، تتوافق} المثاليات الأولية غير الصفرية لـ D بشكل تقابلي مع المجموعات الفرعية المعزولة لـ Γ.

مثال: حلقة الأعداد الصحيحة p -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$هي حلقة تقييم ذات مجموعة قيمة${\displaystyle \mathbb {Z} }$. المجموعة الفرعية الصفرية من${\displaystyle \mathbb {Z} }$يتوافق مع المثال الأقصى الفريد${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} _{p}}$والمجموعة بأكملها إلى المثالي الصفري . المثالي الأعظمي هو المجموعة الفرعية المعزولة الوحيدة من${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

مجموعة الزمر الفرعية المعزولة مرتبة ترتيبًا كليًا بالاحتواء. يُعرَّف ارتفاع أو رتبة r (Γ) للزمرة Γ بأنه عدد عناصر مجموعة الزمر الفرعية المعزولة للزمرة Γ. وبما أن المثاليّات الأولية غير الصفرية مرتبة ترتيبًا كليًا وتُقابل زمرًا فرعية معزولة للزمرة Γ، فإن ارتفاع الزمرة Γ يساوي بُعد كرول لحلقة التقييم D المرتبطة بالزمرة Γ.

أهم حالة خاصة هي الارتفاع واحد، وهو ما يعادل كون Γ مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$تحت عملية الجمع (أو ما يعادلها، للأعداد الحقيقية الموجبة)${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$(تحت الضرب.) حلقة التقييم ذات التقييم ذي الارتفاع واحد لها قيمة مطلقة مقابلة تحدد مكانًا فوق متري . ومن الحالات الخاصة لذلك حلقات التقييم المنفصلة المذكورة سابقًا.

يُعرَّف الترتيب العقلاني rr (Γ) بأنه رتبة مجموعة القيم كمجموعة تبديلية.

${\displaystyle \mathrm {dim} _{\mathbb {Q} }(\Gamma \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ).}$

• معيار التقييم