حلقة محلية عادية

في الجبر التبادلي ، الحلقة المحلية المنتظمة هي حلقة محلية نوثرية تتميز بأن أقل عدد من مولدات مثاليها الأعظم يساوي بُعد كرول الخاص بها . ^{[ 1 ]} بالرموز، ليكن${\displaystyle A}$ليكن أي حلقة محلية نوثرية ذات مثال أقصى فريد${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ولنفترض${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$هي مجموعة دنيا من مولدات${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ثمّ إنّ نظرية كرول للمثال الرئيسي تقتضي أن${\displaystyle n\geq \dim A}$، و${\displaystyle A}$منتظم كلما${\displaystyle n=\dim A}$.

يستمد هذا المفهوم دافعه من معناه الهندسي. نقطة${\displaystyle x}$على مجموعة متنوعة جبرية${\displaystyle X}$تكون النقطة غير منفردة ( نقطة ملساء ) إذا وفقط إذا كانت الحلقة المحلية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$من الجراثيم في${\displaystyle x}$منتظم. (انظر أيضًا: المخطط المنتظم .) لا ترتبط الحلقات المحلية المنتظمة بحلقات فون نيومان المنتظمة . ^{[ أ ]}

بالنسبة للحلقات المحلية في العصر النويثري، توجد سلسلة التضمينات التالية:

الحلقات السلسلية الشاملة ⊃ حلقات كوهين-ماكولي ⊃ حلقات غورنشتاين ⊃ حلقات التقاطع الكامل ⊃ الحلقات المحلية المنتظمة

توجد عدة تعريفات مفيدة للحلقة المحلية المنتظمة، وقد ذُكر أحدها أعلاه. إذا${\displaystyle A}$هي حلقة محلية نوثرية ذات مثالي أقصى${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$إذاً، فإن التعريفات التالية مكافئة.${\displaystyle A}$يكون منتظمًا كلما:

• يكون بُعد كرول الخاص بها مساوياً للحد الأدنى من عدد مولدات مثالها الأقصى؛ أي عندما${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$، أين${\displaystyle n}$يتم اختيارها بأصغر حجم ممكن، و

${\displaystyle \dim A=n\,}$.

المولدات${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$وتسمى هذه الأنظمة حينها بنظام منتظم من المعاملات .

• يكون بُعد فضاء زاريسكي المماسي الخاص به مساوياً لبُعد كرول الخاص به؛ أي عندما${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$هو حقل البقايا لـ${\displaystyle A}$، و

${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,}$.

• بُعدها العالمي محدود؛ أي عندما${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A:=\sup\{\operatorname {pd} M\mid M{\text{ is an }}A{\text{-module}}\}}$هو الحد الأعلى للأبعاد الإسقاطية لجميع${\displaystyle A}$-الوحدات، و

${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A<\infty \,}$،

وفي هذه الحالة،${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A=\dim A}$.

• اكتماله​${\displaystyle {\widehat {A}}}$هي حلقة سلسلة القوى الرسمية : أي عندما${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$،${\displaystyle d=\dim A}$، و${\displaystyle {\hat {A}}\cong k[[X_{1},\ldots ,X_{d}]]}$بالنسبة للمتغيرات الرسمية${\displaystyle X_{i}}$[ ^{2 ]​}

ينص معيار التعددية الأول على ما يلي: ^{[ 3 ]}${\displaystyle A}$يكون منتظمًا إذا (1) الإكمال${\displaystyle {\widehat {A}}}$هو أحادي المزج، أي لا يحتوي على قاسم أولي مضمن للمثالي الصفري، و${\displaystyle \dim {\widehat {A}}/{\mathfrak {p}}=\dim {\widehat {A}}}$لكل عدد أولي صغير${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$و (٢) تعددية A تساوي واحدًا، مما يعني أن المعامل الرئيسي لكثير الحدود هيلبرت-صموئيل الخاص بها هو${\displaystyle {\tfrac {1}{d!}}}$ل${\displaystyle d=\dim A}$. (عكس (ii) صحيح دائمًا: تعددية الحلقة المحلية المنتظمة هي واحد.) يتوافق هذا المعيار مع الحدس الهندسي في الهندسة الجبرية بأن الحلقة المحلية للتقاطع تكون منتظمة إذا وفقط إذا كان التقاطع تقاطعًا عرضيًا .

لو${\displaystyle A}$يتميز هذا بخصائص إيجابية ، وهناك النتيجة المهمة التالية لكونز، والمتعلقة بتقسيم فروبينيوس : حلقة محلية نوثرية${\displaystyle A}$تكون الخاصية الموجبة p منتظمة إذا وفقط إذا كان تشاكل فروبينيوس${\displaystyle A\to A,a\mapsto a^{p}}$مسطح ، و${\displaystyle A}$يتم اختزالها ، أي لا توجد عناصر عديمة القوة غير صفرية. لا توجد نتيجة مماثلة معروفة في الخاصية الصفرية، التي تفتقر إلى نظير لتشكل فروبينيوس.

1. كل حقل هو حلقة محلية منتظمة. هذه لها بُعد (كرول) يساوي صفرًا. في الواقع، الحقول هي بالضبط الحلقات المحلية المنتظمة ذات البُعد صفرًا.
2. أي حلقة تقييم منفصلة هي حلقة محلية منتظمة ذات بُعد 1، والحلقات المحلية المنتظمة ذات البُعد 1 هي بالضبط حلقات التقييم المنفصلة. على سبيل المثال، إذا كان k حقلاً و X متغيرًا غير محدد، فإن حلقة متسلسلة القوى الرسمية k [[X]] هي حلقة محلية منتظمة ذات بُعد (كرول) 1.
3. إذا كان p عددًا أوليًا عاديًا، فإن حلقة الأعداد الصحيحة p-adic تُعد مثالًا على حلقة تقييم منفصلة، ​​وبالتالي حلقة محلية منتظمة. على عكس المثال السابق، لا تحتوي هذه الحلقة على حقل.
4. وبشكل أعم، إذا كان k حقلاً و X1 _، X2 _، ...، Xd متغيرات _غير محددة، فإن حلقة متسلسلات القوى الرسمية k [[X ₁ ، X ₂ ، ... ، X _d]] هي حلقة محلية منتظمة ذات بُعد (كرول) d .
5. وبشكل أعم، إذا كانت A حلقة محلية منتظمة، فإن حلقة متسلسلة القوى الرسمية A [[x]] هو محلي عادي.
6. إذا كانت Z هي حلقة الأعداد الصحيحة و X هو غير محدد، فإن الحلقة Z [ X ] _{(2, X )} (أي الحلقة Z [ X ] الموضعية في المثالي الأولي (2, X ) ) هي مثال على حلقة محلية منتظمة ثنائية الأبعاد لا تحتوي على حقل.
7. بحسب نظرية البنية لإيرفين كوهين ، فإن الحلقة المحلية المنتظمة الكاملة ذات البعد كرول d والتي تحتوي على حقل k هي حلقة متسلسلة قوى في d متغيرات على حقل امتداد k .

الخاتم${\displaystyle A=k[x]/(x^{2})}$ليست حلقة محلية منتظمة لأنها ذات بُعد محدود، ولكن ليس لها بُعد عالمي محدود. على سبيل المثال، يوجد تحليل لانهائي

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0}$

باستخدام إحدى هذه الصفات الأخرى،${\displaystyle A}$له مثال أولي واحد فقط${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}}$لذا فإن الخاتم له بُعد كرول${\displaystyle 0}$، لكن${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}}$هو المثال الصفري، لذا${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$لديه${\displaystyle k}$البعد على الأقل${\displaystyle 1}$(في الواقع، هو يساوي${\displaystyle 1}$منذ${\displaystyle x+{\mathfrak {m}}}$(وهو أساس.)

تنص نظرية أوسلاندر -بوخسباوم على أن كل حلقة محلية منتظمة هي مجال تحليل فريد .

كل عملية تحديد موقع ، وكذلك إكمال ، لحلقة محلية منتظمة هي عملية منتظمة.

لو${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$إذا كانت حلقة محلية منتظمة كاملة تحتوي على حقل، فإن

${\displaystyle A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$،

أين${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$هو حقل البقايا ، و${\displaystyle d=\dim A}$بُعد كرول.

انظر أيضًا: متباينة سير بشأن الارتفاع وتخمينات سير حول التعددية .

عُرِّفت الحلقات المحلية المنتظمة لأول مرة على يد فولفغانغ كرول عام 1937، ^{[ 4 ]} لكنها برزت لأول مرة في أعمال أوسكار زاريسكي بعد بضع سنوات، ^{[ 5 ] [ 6 ]} الذي بيّن أن الحلقة المحلية المنتظمة، هندسيًا، تُقابل نقطة ملساء على صنف جبري . ليكن Y صنفًا جبريًا مُحتوى في فضاء أفيني ذي n بُعد فوق حقل مثالي ، ولنفترض أن Y هو موضع تلاشي كثيرات الحدود f₁ _, ..., fₘ _. يكون Y غير شاذ عند النقطة P إذا حقق شرطًا جاكوبيًا : إذا كانت M = ( ∂fi _/ ∂xj ₎ هي مصفوفة المشتقات الجزئية لمعادلات تعريف الصنف، فإن رتبة المصفوفة التي تُحسب بتقييم M عند P هي n − dim Y. أثبت زاريسكي أن Y غير شاذ عند P إذا وفقط إذا كانت الحلقة المحلية لـ Y عند P منتظمة. (لاحظ زاريسكي أن هذا قد يفشل في الحقول غير الكاملة). وهذا يعني أن السلاسة خاصية جوهرية للمتنوع، أي أنها لا تعتمد على مكان أو كيفية تضمين المتنوع في الفضاء الأفيني. كما يشير إلى أن الحلقات المحلية المنتظمة يجب أن تتمتع بخصائص جيدة، ولكن قبل إدخال تقنيات من الجبر الهومولوجي، لم يكن معروفًا الكثير في هذا الاتجاه. وبمجرد إدخال هذه التقنيات في خمسينيات القرن العشرين، أثبت أوسلاندر وبوخسباوم أن كل حلقة محلية منتظمة هي مجال تحليل فريد .

من الخصائص الأخرى التي يُشير إليها الحدس الهندسي أن توطين حلقة محلية منتظمة يجب أن يكون منتظمًا أيضًا. وقد ظل هذا الأمر دون حل حتى ظهور تقنيات التماثل. كان جان بيير سير أول من وجد توصيفًا تماثليًا للحلقات المحلية المنتظمة: الحلقة المحلية A منتظمة إذا وفقط إذا كان لها بُعد كلي محدود ، أي إذا كان لكل وحدة نمطية A تحليل إسقاطي ذو طول محدود. من السهل إثبات أن خاصية البُعد الكلي المحدود محفوظة تحت التوطين، وبالتالي فإن توطينات الحلقات المحلية المنتظمة عند المثاليّات الأولية تكون منتظمة أيضًا.

وهذا يبرر تعريف الانتظام للحلقات التبادلية غير المحلية الواردة في القسم التالي.

في الجبر التبادلي ، الحلقة المنتظمة هي حلقة نوثرية تبادلية ، بحيث يكون التوطين عند كل مثالي أولي حلقة محلية منتظمة: أي أن كل توطين من هذا القبيل له الخاصية المتمثلة في أن الحد الأدنى لعدد مولدات مثاليه الأقصى يساوي بُعد كرول الخاص به .

يكمن أصل مصطلح الحلقة المنتظمة في حقيقة أن التنوع الأفيني غير منفرد (أي أن كل نقطة منتظمة ) إذا وفقط إذا كانت حلقة الدوال المنتظمة الخاصة به منتظمة.

بالنسبة للحلقات المنتظمة، يتوافق بُعد كرول مع البُعد الهومولوجي العالمي .

عرّف جان بيير سير الحلقة المنتظمة بأنها حلقة نوثرية تبديلية ذات بُعد تماثلي عالمي محدود . تعريفه أقوى من التعريف السابق، الذي يسمح بوجود حلقات منتظمة ذات بُعد كرول لانهائي.

من أمثلة الحلقات المنتظمة الحقول (ذات البعد الصفري) ومجالات ديديكيند . إذا كانت A منتظمة ، فإن A [ X ] منتظمة أيضًا، ولكن بعدها أكبر بواحد من بعد A.

على وجه الخصوص، إذا كان k حقلاً، أو حلقة الأعداد الصحيحة، أو مجالًا مثاليًا رئيسيًا ، فإن حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$منتظم. في حالة الحقل، هذه هي نظرية هيلبرت للاقتران .

أي موضع لحلقة منتظمة يكون منتظماً أيضاً.

الحلقة المنتظمة مختزلة ^{[ ب ]} ولكنها ليست بالضرورة مجالًا تكامليًا. على سبيل المثال، حاصل ضرب مجالين تكامليين منتظمين هو مجال منتظم، ولكنه ليس مجالًا تكامليًا. ^{[ 7 ]}

• حلقة منتظمة هندسياً
• حلقة شبه حرة