حلقة تقاطع كاملة

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر التبادلي ، تُعرَّف حلقة التقاطع الكاملة بأنها حلقة تبادلية مشابهة لحلقات الإحداثيات للأصناف التي تمثل تقاطعات كاملة . وبشكل غير رسمي، يمكن اعتبارها تقريبًا الحلقات المحلية التي يمكن تعريفها باستخدام أقل عدد ممكن من العلاقات.

بالنسبة للحلقات المحلية في العصر النويثري، توجد سلسلة التضمينات التالية:

الحلقات السلسلية الشاملة ⊃ حلقات كوهين-ماكولي ⊃ حلقات غورنشتاين ⊃ حلقات التقاطع الكامل ⊃ الحلقات المحلية المنتظمة

تعريف

حلقة التقاطع الكاملة المحلية هي حلقة محلية نوثرية يكون إكمالها خارج قسمة حلقة محلية منتظمة على مثالي مُوَلَّد بواسطة متتالية منتظمة . يُعدّ أخذ الإكمال تعقيدًا تقنيًا بسيطًا ناتجًا عن حقيقة أن ليس كل الحلقات المحلية هي خارج قسمة حلقات منتظمة. بالنسبة للحلقات التي هي خارج قسمة حلقات محلية منتظمة، والتي تشمل معظم الحلقات المحلية الموجودة في الهندسة الجبرية، فليس من الضروري أخذ الإكمالات في التعريف.

يوجد تعريف جوهري بديل لا يعتمد على تضمين الحلقة في حلقة محلية منتظمة. إذا كانت R حلقة محلية نوثرية ذات مثالي أعظمي m ، فإن بُعد m / m² يُسمى بُعد التضمين embdim( R ) لـ R. نُعرّف الجبر المتدرج H ( R ) على أنه تماثل مُركّب كوزول بالنسبة إلى نظام أدنى من مولدات m / m² ؛ حتى التشاكل، يعتمد هذا فقط على R وليس على اختيار مولدات m . يُرمز إلى بُعد H₁ ( R ) بـ ε₁ ويُسمى الانحراف الأول لـ R ؛ وهو يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت R منتظمة. تُسمى الحلقة المحلية النوثرية حلقة تقاطع كاملة إذا كان بُعد تضمينها هو مجموع البُعد والانحراف الأول.

خافت ( R ) = خافت ( R ) + ε 1 ( R ).

يوجد أيضًا توصيف تكراري لحلقات التقاطع المحلية الكاملة يمكن استخدامه كتعريف، كما يلي: لنفترض أن R حلقة محلية نوثرية كاملة. إذا كان بُعد R أكبر من صفر، وكان x عنصرًا في المثالي الأعظمي ليس قاسمًا للصفر، فإن R حلقة تقاطع كاملة إذا وفقط إذا كان R /( x ) كذلك. (إذا كان المثالي الأعظمي يتكون بالكامل من قواسم للصفر، فإن R ليست حلقة تقاطع كاملة). إذا كان بُعد R صفرًا، فقد أثبت ويبي (1969) أنها حلقة تقاطع كاملة إذا وفقط إذا كان مثالي فيتينغ لمثاليها الأعظمي غير صفري.

أمثلة

حلقات محلية عادية

الحلقات المحلية المنتظمة هي حلقات تقاطع كاملة، لكن العكس ليس صحيحًا: الحلقةك[x]/(x2){\displaystyle k[x]/(x^{2})}هي حلقة تقاطع كاملة ذات بُعد صفري وليست منتظمة.

ليس تقاطعًا كاملاً

مثال على حلقة تقاطع كاملة محليًا وليست حلقة تقاطع كاملة هو:ك[x،y]/(y-x2،x3){\displaystyle k[x,y]/(yx^{2},x^{3})}والتي يبلغ طولها 3 لأنها متماثلة مع aك{\displaystyle k}فضاء متجهي إلىك⊕ك⋅x⊕ك⋅x2{\displaystyle k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot x^{2}}[ 1 ]​

مثال مضاد

تُعتبر الحلقات المحلية ذات التقاطع الكامل حلقات غورنشتاين ، لكن العكس ليس صحيحًا: الحلقةك[x،y،z]/(x2،y2،xz،yz،z2-xy)=R/أنا{\displaystyle k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)=R/I}هي حلقة غورنشتاين ذات بُعد صفري، وهي ليست حلقة تقاطع كاملة.ك{\displaystyle k}الفضاء المتجهي - هذه الحلقة متماثلة مع

ك[x،y،z](x2،y2،xz،yz،z2-xy)≅R0⊕R1⊕R2{\displaystyle {\frac {k[x,y,z]}{(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)}}\cong R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}}، أينR0=ك⋅1،R1=ك⋅x⊕ك⋅y⊕ك⋅z{\displaystyle R_{0}=k\cdot 1,R_{1}=k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot z}، وR2=ك⋅z2{\displaystyle R_{2}=k\cdot z^{2}}

مما يدل على أنها غورنشتاين لأن المكون ذو الدرجة الأعلى هو البعد1{\displaystyle 1}وهي تحقق خاصية بوانكاريه. إنها ليست حلقة تقاطع كاملة محلية لأن المثاليأنا⊂R{\displaystyle I\subset R}ليسR{\displaystyle R}-منتظم. على سبيل المثال،xy{\displaystyle xy}هو قاسم للصفر لـx{\displaystyle x}فيR/(x2،y2){\displaystyle R/(x^{2},y^{2})}.

الاقتباسات

مراجع