دمج الكونتور

غالباً ما يتم تعريف الخطوط الكنتورية من حيث المنحنيات الملساء الموجهة. ^{[ 5 ]} توفر هذه تعريفاً دقيقاً لـ "جزء" من منحنى أملس، والذي يتم تكوين الخط الكنتوري منه.

المنحنى الأملس هو منحنى${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$بمشتقة متصلة غير معدومة بحيث يتم اجتياز كل نقطة مرة واحدة فقط ( حيث يكون z أحاديًا)، باستثناء المنحنى الذي تتطابق فيه نقاط النهاية (${\displaystyle z(a)=z(b)}$في حالة تطابق نقاط النهاية، يُطلق على المنحنى اسم المنحنى المغلق، ويجب أن تكون الدالة أحادية في كل مكان آخر، ويجب أن تكون المشتقة متصلة عند النقطة المحددة.${\displaystyle z'(a)=z'(b)}$). يُشار غالبًا إلى المنحنى الأملس غير المغلق باسم القوس الأملس. ^{[ 5 ]}

توفر عملية تحديد معلمات المنحنى ترتيبًا طبيعيًا للنقاط على المنحنى:${\displaystyle z(x)}$يأتي قبل${\displaystyle z(y)}$لو${\displaystyle x<y}$يؤدي هذا إلى مفهوم المنحنى الأملس الموجه . من المفيد جدًا دراسة المنحنيات بغض النظر عن المعاملات المحددة. يمكن تحقيق ذلك من خلال النظر في فئات التكافؤ للمنحنيات الملساء ذات الاتجاه نفسه. يمكن تعريف المنحنى الأملس الموجه على أنه مجموعة مرتبة من النقاط في المستوى المركب، وهي صورة لمنحنى أملس بترتيبها الطبيعي (وفقًا للمعاملات). تجدر الإشارة إلى أن ليس كل ترتيب للنقاط هو الترتيب الطبيعي للمنحنى الأملس. في الواقع، لا يوجد سوى ترتيبين طبيعيين للمنحنى الأملس. كذلك، يمكن أن يكون للمنحنى المغلق أي نقطة كنقطة نهاية، بينما لا يوجد للقوس الأملس سوى خيارين لنقطتي النهاية.

الخطوط الكنتورية هي فئة المنحنيات التي نُعرّف عليها التكامل الكنتوري. الخط الكنتوري هو منحنى موجه يتكون من سلسلة منتهية من المنحنيات الملساء الموجهة التي تتطابق نقاط نهايتها لتُعطي اتجاهًا واحدًا. وهذا يتطلب أن تكون سلسلة المنحنيات${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}}$أن تكون بحيث تكون النقطة النهائية لـ${\displaystyle \gamma _{i}}$يتزامن مع نقطة البداية لـ${\displaystyle \gamma _{i+1}}$للجميع${\displaystyle i}$بحيث${\displaystyle 1\leq i<n}$يشمل ذلك جميع المنحنيات الملساء الموجهة. كما تُعتبر نقطة واحدة في المستوى المركب محيطًا. الرمز${\displaystyle +}$يُستخدم هذا المصطلح غالبًا للدلالة على تجميع المنحنيات معًا لتشكيل منحنى جديد. وبالتالي، يمكننا كتابة منحنى محيطي.${\displaystyle \Gamma }$ذلك يتكون من${\displaystyle n}$المنحنيات كـ $${\displaystyle \Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}.}$$

لتعريف التكامل الكفافي بهذه الطريقة، يجب أولاً النظر في التكامل، على متغير حقيقي، لدالة ذات قيم مركبة.${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$لتكن دالة ذات قيم مركبة لمتغير حقيقي،${\displaystyle t}$الأجزاء الحقيقية والخيالية من${\displaystyle f}$يُشار إليها غالبًا باسم${\displaystyle u(t)}$و${\displaystyle v(t)}$، على التوالي، بحيث $${\displaystyle f(t)=u(t)+iv(t).}$$ ثم تكامل الدالة ذات القيم المركبة${\displaystyle f}$خلال الفترة${\displaystyle [a,b]}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big (}u(t)+iv(t){\big )}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}}$$

والآن، لتعريف التكامل الكفافي، لنفترض${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$لتكن دالة متصلة على المنحنى الأملس الموجه${\displaystyle \gamma }$. يترك${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$أي معلمات لـ${\displaystyle \gamma }$وهذا يتوافق مع ترتيبه (اتجاهه). ثم التكامل على طول${\displaystyle \gamma }$يُشار إليه بـ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\,}$$ ويتم تحديده بواسطة ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz:=\int _{a}^{b}f{\big (}z(t){\big )}z'(t)\,dt.}$$

هذا التعريف دقيق. أي أن النتيجة مستقلة عن المعاملات المختارة. ^{[ 5 ]} في حالة عدم وجود التكامل الحقيقي على الجانب الأيمن، يكون التكامل على طول${\displaystyle \gamma }$يقال إنه غير موجود.

يتم تعميم تكامل ريمان ليشمل الدوال ذات المتغير المركب بنفس الطريقة التي تم بها تعريفه للدوال من مجموعة الأعداد الحقيقية. تجزئة منحنى أملس موجه${\displaystyle \gamma }$يُعرَّف بأنه مجموعة منتهية ومرتبة من النقاط على${\displaystyle \gamma }$التكامل على المنحنى هو نهاية المجاميع المحدودة لقيم الدالة، المأخوذة عند النقاط الموجودة على التقسيم، في الحد الذي تصبح فيه أقصى مسافة بين أي نقطتين متتاليتين على التقسيم (في المستوى المركب ثنائي الأبعاد)، والمعروف أيضًا باسم الشبكة، تؤول إلى الصفر.

من النتائج الأساسية في التحليل المركب أن التكامل الكفافي لـ 1 / z يساوي 2πi ، حيث يُفترض أن مسار الكفاف هو دائرة الوحدة التي تم اجتيازها عكس اتجاه عقارب الساعة (أو أي منحنى جوردان موجب الاتجاه حول الصفر ). في حالة دائرة الوحدة ، توجد طريقة مباشرة لحساب التكامل. $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz.}$$

عند حساب هذا التكامل، استخدم دائرة الوحدة | z | = 1 كمسار، معطاة بالمعادلة z ( t ) = e^{^it} ، حيث t ∈ [0, 2π] ، عندئذٍ يكون dz / dt = ie ^{^it} و $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }1\,dt=i\,t{\Big |}_{0}^{2\pi }=\left(2\pi -0\right)i=2\pi i,}$$ وهي قيمة التكامل. تنطبق هذه النتيجة فقط في حالة رفع z إلى القوة -1 . إذا لم تكن القوة تساوي -1 ، فإن النتيجة ستكون دائمًا صفرًا.

ضع في اعتبارك التكامل $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx,}$$

لتقييم هذا التكامل، ننظر إلى الدالة ذات القيم المركبة $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}}$$

والتي لها نقاط تفرد عند i و -i . نختار مسارًا محيطًا يحيط بالتكامل ذي القيم الحقيقية، وهنا يكون نصف دائرة قطره على خط الأعداد الحقيقية (يمتد، على سبيل المثال، من -a إلى a ) مناسبًا . لنسمي هذا المسار المحيط C.

هناك طريقتان للمضي قدماً، إما باستخدام صيغة كوشي التكاملية أو بطريقة البواقي:

التكامل $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}$$

(الذي يظهر في نظرية الاحتمالات كمضاعف قياسي للدالة المميزة لتوزيع كوشي ) يقاوم تقنيات حساب التفاضل والتكامل الأساسي . سنقوم بتقييمه من خلال التعبير عنه كحد لتكاملات الكفاف على طول الكفاف C الذي يمتد على طول خط الأعداد الحقيقية من −a إلى a، ثم عكس اتجاه عقارب الساعة على طول نصف دائرة مركزها 0 من a إلى −a . لنفترض أن a أكبر من 1 ، بحيث تكون الوحدة التخيلية i محصورة داخل المنحنى. تكامل الكفاف هو $${\displaystyle \int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}$$

بما أن e ^itz دالة كاملة (لا تحتوي على نقاط شاذة في أي نقطة في المستوى المركب)، فإن هذه الدالة تحتوي على نقاط شاذة فقط عندما يكون المقام ^{z² +} 1 يساوي صفرًا. وبما أن z² + 1 = ( z + i )( z - i ) ، فإن ذلك يحدث فقط عندما z = i أو z = -i . تقع إحدى هاتين النقطتين فقط في المنطقة المحصورة بهذا المسار. باقي f ( z ) عند z = i هو $${\displaystyle \lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{(z-i)(z+i)}}=\lim _{z\to i}{\frac {e^{itz}}{z+i}}={\frac {e^{-t}}{2i}}.}$$

وفقًا لنظرية البواقي ، إذن، لدينا $${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}$$

يمكن تقسيم المحيط C إلى جزء "مستقيم" وقوس منحني، بحيث $${\displaystyle \int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t},}$$ وبالتالي $${\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}.}$$

وفقًا لفرضية جوردان ، إذا كان t > 0 فإن$${\displaystyle \int _{\text{arc}}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\rightarrow 0{\mbox{ as }}a\rightarrow \infty .}$$

لذلك، إذا كانت t > 0 فإن$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-t}.}$$

تُظهر حجة مماثلة باستخدام قوس يلتف حول − i بدلاً من i أنه إذا كان t < 0 فإن$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{t},}$$ وأخيراً لدينا هذا: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-|t|}.}$$

(إذا كانت t = 0 فإن التكامل يخضع مباشرة لطرق حساب التفاضل والتكامل ذات القيم الحقيقية وقيمته هي π .)

يمكن إجراء بعض الاستبدالات على التكاملات التي تتضمن الدوال المثلثية ، بحيث يتم تحويل التكامل إلى دالة كسرية لمتغير مركب، ثم يمكن استخدام الطرق المذكورة أعلاه لتقييم التكامل.

على سبيل المثال، انظر $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{\frac {1}{1+3(\cos t)^{2}}}\,dt.}$$

نسعى إلى استبدال z = e ^it . الآن، تذكر $${\displaystyle \cos t={\frac {1}{2}}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}$$ و $${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=iz,\ dt={\frac {dz}{iz}}.}$$

باعتبار C دائرة الوحدة، نستبدل لنحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}{\frac {1}{1+3\left({\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)\right)^{2}}}\,{\frac {dz}{iz}}&=\oint _{C}{\frac {1}{1+{\frac {3}{4}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}{\frac {1}{iz}}\,dz\\&=\oint _{C}{\frac {-i}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}\,dz\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z^{2}+2+{\frac {1}{z^{2}}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}\left(z^{3}+2z+{\frac {1}{z}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{{\frac {3}{4}}z^{3}+{\frac {5}{2}}z+{\frac {3}{4z}}}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {4}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {dz}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3z^{4}+10z^{2}+3}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz\\&=-{\frac {4i}{3}}\oint _{C}{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz.\end{aligned}}}$$

توجد النقاط الشاذة التي يجب أخذها في الاعتبار عند${\displaystyle {\tfrac {\pm i}{\sqrt {3}}}.}$لتكن C1 دائرة صغيرة _حول${\displaystyle {\tfrac {i}{\sqrt {3}}},}$و C ₂ تكون دائرة صغيرة حول${\displaystyle {\tfrac {-i}{\sqrt {3}}}.}$ثم نصل إلى ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4i}{3}}\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz\right]\\={}&-{\frac {4i}{3}}\left[2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z={\frac {i}{\sqrt {3}}}}+2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z=-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{i{\sqrt {3}}}}\right)\left({\frac {2}{{\sqrt {3}}i}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{i\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{-i\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {3}{16}}+{\frac {3}{16}}\right]\\={}&\pi .\end{aligned}}}$$

يمكن تطبيق الطريقة المذكورة أعلاه على جميع التكاملات من النوع $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}{Q{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}}\,dt}$$ حيث P و Q كثيرتا حدود، أي يتم تكامل دالة كسرية بدلالة الدوال المثلثية. لاحظ أن حدود التكامل قد تكون π و -π ، كما في المثال السابق، أو أي زوج آخر من نقاط النهاية يفصل بينهما 2π .

يكمن السر في استخدام التعويض z = e ^it حيث dz = ie ^it dt وبالتالي $${\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}$$

هذا الاستبدال يحوّل الفترة [ 0، 2π ] إلى دائرة الوحدة. علاوة على ذلك، $${\displaystyle \sin(kt)={\frac {e^{ikt}-e^{-ikt}}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}}$$ و $${\displaystyle \cos(kt)={\frac {e^{ikt}+e^{-ikt}}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}}}$$ وبذلك ينتج عن التعويض دالة كسرية f ( z ) في z ، ويصبح التكامل $${\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz}$$ والتي يتم حسابها بدورها عن طريق جمع بقايا f ( z ) ⁠ 1 / iz ⁠ داخل دائرة الوحدة.

توضح الصورة على اليمين هذا الأمر بالنسبة لـ $${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt,}$$ والتي سنقوم بحسابها الآن. الخطوة الأولى هي إدراك ذلك. $${\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt.}$$

ينتج عن الاستبدال $${\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz.}$$

تقع أقطاب هذه الدالة عند 1 ± √2 و −1 ± √2 . من بين هذه الأقطاب، يقع 1 + √2 و −1 − √2 خارج دائرة الوحدة (الموضحة باللون الأحمر، وليست وفقًا للمقياس)، بينما يقع 1 − √2 و −1 + √2 داخل دائرة الوحدة ( الموضحة باللون الأزرق). والباقي المقابل يساوي − i √2 / 16 ، وبالتالي فإن قيمة التكامل هي $${\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}.}$$

لننظر إلى التكامل الحقيقي $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}$$

يمكننا البدء بصياغة التكامل المركب $${\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=I.}$$

يمكننا استخدام صيغة كوشي التكاملية أو نظرية البواقي مرة أخرى للحصول على البواقي المطلوبة. مع ذلك، من المهم ملاحظة أن z ^1/2 = e ^{(Log z )/2} ، لذا فإن z ^1/2 له قطع فرعي . يؤثر هذا على اختيارنا للمسار C. عادةً ما يُعرَّف القطع الفرعي اللوغاريتمي بأنه المحور الحقيقي السالب، ولكن هذا يجعل حساب التكامل أكثر تعقيدًا بعض الشيء، لذا نُعرِّفه بأنه المحور الحقيقي الموجب.

ثم نستخدم ما يسمى بمحيط ثقب المفتاح ، والذي يتكون من دائرة صغيرة حول نقطة الأصل بنصف قطر ε على سبيل المثال، تمتد إلى قطعة مستقيمة موازية وقريبة من المحور الحقيقي الموجب ولكنها لا تلمسه، إلى دائرة كاملة تقريبًا، ثم تعود إلى قطعة مستقيمة موازية وقريبة وأسفل المحور الحقيقي الموجب في الاتجاه السالب، ثم تعود إلى الدائرة الصغيرة في المنتصف.

لاحظ أن z = −2 و z = −4 تقعان داخل الدائرة الكبيرة. وهما القطبان المتبقيان، واللذان يمكن استنتاجهما بتحليل مقام الدالة التكاملية. وقد تم تجنب نقطة التفرع عند z = 0 بالالتفاف حول نقطة الأصل.

لتكن γ الدائرة الصغرى بنصف قطر ε ، و Γ الدائرة الكبرى بنصف قطر R ، عندئذٍ $${\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }.}$$

يمكن إثبات أن التكاملات على Γ و γ تؤول إلى الصفر عندما ε → 0 و R → ∞ ، وذلك باستخدام حجة تقديرية سابقة، مما يترك حدين. الآن، بما أن z ^1/2 = e ^{(Log z )/2} ، على المسار خارج قطع الفرع، فقد كسبنا 2π في الموضع على طول γ . (بحسب متطابقة أويلر ، يمثل e ^{i π} متجه الوحدة ، والذي بالتالي يكون لوغاريتمه π . هذا π هو المقصود بموضع z . معامل 1/2 يجبرنا على استخدام 2π . )$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\operatorname {Log} z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}(\log |z|+i\arg {z})}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{{\frac {1}{2}}(2\pi i)}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{\pi i}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {-{\sqrt {z}}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz.\end{aligned}}}$$

لذلك: $${\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}$$

باستخدام نظرية البواقي أو صيغة كوشي التكاملية (بعد استخدام طريقة الكسور الجزئية لاستنتاج مجموع تكاملين بسيطين على مستوى الكفاف) نحصل على $${\displaystyle \pi i\left({\frac {i}{\sqrt {2}}}-i\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx=\pi \left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right).\quad \square }$$

يتناول هذا القسم نوعًا من التكاملات التي $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx}$$ هذا مثال.

لحساب هذا التكامل، يتم استخدام الدالة $${\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log z}{1+z^{2}}}\right)^{2}}$$ وفرع اللوغاريتم المقابل لـ −π < arg z ≤ π .

سنحسب تكامل الدالة f ( z ) على طول محيط ثقب المفتاح الموضح على اليمين. وكما اتضح، فإن هذا التكامل هو مضاعف للتكامل الأولي الذي نرغب في حسابه، وبحسب نظرية البواقي لكوشي، لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz=&\ 2\pi i{\big (}\operatorname {Res} _{z=i}f(z)+\operatorname {Res} _{z=-i}f(z){\big )}\\=&\ 2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\=&\ -i\pi ^{2}.\end{aligned}}}$$

ليكن R نصف قطر الدائرة الكبيرة، و r نصف قطر الدائرة الصغيرة. سنرمز للخط العلوي بـ M ، وللخط السفلي بـ N. وكما في السابق، نأخذ النهاية عندما R → ∞ و r → 0. تتلاشى مساهمات الدائرتين. على سبيل المثال، لدينا الحد الأعلى التالي باستخدام مبرهنة ML : $${\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log R)^{2}+\pi ^{2}}{\left(R^{2}-1\right)^{2}}}\to 0.}$$

لحساب مساهمات M و N ، نضع z = − x + iε على M و z = − x − iε على N ، مع 0 < x < ∞ : $${\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\[6pt]&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz&&\int _{R},\int _{r}{\mbox{ vanish}}\\[6pt]&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x-i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx&&\varepsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log x+i\pi )^{2}-(\log x-i\pi )^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}}$$ مما يعطي $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}$$

نسعى إلى التقييم $${\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.}$$

يتطلب هذا دراسة متأنية لـ $${\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.}$$

سنقوم بإنشاء الدالة f ( z ) بحيث يكون لها فرع قطع على الفترة [ 0, 3 ] ، كما هو موضح باللون الأحمر في الرسم التخطيطي. وللقيام بذلك، نختار فرعين من اللوغاريتم، ونضع $${\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log z\right)\quad {\mbox{where }}-\pi \leq \arg z<\pi }$$ و $${\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where }}0\leq \arg(3-z)<2\pi .}$$

^{وبالتالي ،} فإن قطع z ^¾ هو [−∞, 0 ] ^، وقطع (3 − z ) ^¼ هو [−∞, 3 ] . من السهل ملاحظة أن قطع حاصل ضربهما، أي f ( z ) ، هو [0, 3] ، لأن f ( z ) متصلة فعليًا عبر (−∞, 0) . هذا لأنه عندما z = −r < 0 ونقترب من القطع من الأعلى، فإن f ( z ) تأخذ القيمة $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {5}{4}}\pi i}.}$$

عندما نقترب من الأسفل، فإن f ( z ) تأخذ القيمة $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}.}$$

لكن $${\displaystyle e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}=e^{{\frac {5}{4}}\pi i},}$$

بحيث يكون لدينا استمرارية عبر القطع. ويتضح هذا في الرسم التوضيحي، حيث تم تسمية الدائرتين السوداوين الموجهتين بالقيمة المقابلة لوسيط اللوغاريتم المستخدم في z ^{3 ⁄ 4} و (3 − z ) ^1/4 .

سنستخدم الخط المحيطي الموضح باللون الأخضر في الرسم التخطيطي. وللقيام بذلك، يجب علينا حساب قيمة f ( z ) على طول القطع المستقيمة أعلى وأسفل القطع مباشرةً.

لنفترض أن z = r (في النهاية، أي عندما تتقلص الدائرتان الخضراوان إلى نصف قطر صفر)، حيث 0 ≤ r ≤ 3. على طول القطعة العلوية، نجد أن f ( z ) لها القيمة التالية: $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=ir^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}$$ وعلى طول الجزء السفلي، $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}.}$$

ويترتب على ذلك أن تكامل ⁠ f ( z ) / 5 − z ⁠ على طول الجزء العلوي هو − iI في النهاية، وعلى طول الجزء السفلي، I .

إذا استطعنا إثبات أن التكاملات على طول الدائرتين الخضراوين تتلاشى في النهاية، فسنحصل أيضًا على قيمة I ، وفقًا لنظرية البواقي لكوشي . لنفترض أن نصف قطر الدائرتين الخضراوين هو ρ ، حيث ρ < 0.001 و ρ → 0 ، ونطبق متباينة ML . بالنسبة للدائرة CL على اليسار _، نجد $${\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {L} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}3.001^{\frac {1}{4}}}{4.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0.}$$

وبالمثل، بالنسبة للدائرة C _R على اليمين، لدينا $${\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {R} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {3.001^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{1.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0.}$$

باستخدام نظرية كوشي للبواقي ، لدينا $${\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right).}$$ حيث تُعزى الإشارة السالبة إلى اتجاه عقارب الساعة حول البواقي. باستخدام فرع اللوغاريتم من السابق، من الواضح $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}\log(-2)}.}$$

يُظهر الرسم التخطيطي القطب باللون الأزرق. وتُبسط القيمة إلى $${\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}(\log 2+\pi i)}=-e^{{\frac {1}{4}}\pi i}5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}.}$$

نستخدم الصيغة التالية لحساب الباقي عند اللانهاية: $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }h(z)=\operatorname {Res} _{z=0}\left(-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}$$

بالتعويض، نجد $${\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)}$$ و $${\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}(1-3z)^{\frac {1}{4}},}$$ حيث استخدمنا حقيقة أن −1 = e ^{π i} للفرع الثاني من اللوغاريتم. ثم نطبق مفكوك ذات الحدين، فنحصل على $${\displaystyle {\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(1-{1/4 \choose 1}3z+{1/4 \choose 2}3^{2}z^{2}-{1/4 \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right).}$$

والخلاصة هي أن $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}{\frac {17}{4}}.}$$

وأخيرًا، يترتب على ذلك أن قيمة I هي $${\displaystyle I=2\pi i{\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)}$$ مما ينتج عنه $${\displaystyle I={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right).}$$

ليكن حقل المتجهات${\displaystyle \mathbf {F} =\sin(2x)\mathbf {e} _{x}+\sin(2y)\mathbf {e} _{y}+\sin(2z)\mathbf {e} _{z}}$وأن تكون محصورة بما يلي $${\displaystyle {0\leq x\leq 1}\quad {0\leq y\leq 3}\quad {-1\leq z\leq 4}}$$

سيتم إعداد التكامل المزدوج المقابل على النحو التالي:

${\displaystyle }$${\displaystyle {\scriptstyle S}}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$

نقوم الآن بالتقييم${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$في هذه الأثناء، قم بإعداد التكامل الثلاثي المقابل: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \sin(2x)}{\partial x}}+{\frac {\partial \sin(2y)}{\partial y}}+{\frac {\partial \sin(2z)}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}2\left(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z)\right)dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}\int _{-1}^{4}2(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z))\,dx\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}(10\cos(2y)+\sin(8)+\sin(2)+10\cos(z))\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}(30\cos(2z)+3\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6))\,dz\\[6pt]&=18\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6)\end{aligned}}}$$