الدالة الإهليلجية

في المجال الرياضي للتحليل المركب ، الدوال الإهليلجية هي أنواع خاصة من الدوال المتشابكة ، والتي تلبي شرطين دوريين. تُسمى الدوال الإهليلجية لأنها تأتي من التكاملات الإهليلجية . تُسمى هذه التكاملات بدورها إهليلجية لأنها صادفتها أولاً لحساب طول قوس القطع الناقص .

من الدوال الإهليلجية المهمة هي دوال جاكوبي الإهليلجية ودالة فايرشتراس${\displaystyle \wp }$ .

أدى التطوير الإضافي لهذه النظرية إلى ظهور وظائف مفرطة القطع وأشكال معيارية .

تسمى الدالة متعددة الأشكال دالة إهليلجية إذا كان هناك عددان مركبان مستقلان خطيان مثل ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)}$و .${\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \لجميع z\in \mathbb {C} }$

لذلك فإن الدوال الإهليلجية لها فترتين وبالتالي فهي دوال دورية مزدوجة .

إذا كانت دالة إهليلجية ذات فترات، فإنها تنطبق أيضًا على: ${\displaystyle f}$${\displaystyle \أوميغا _{1},\أوميغا _{2}}$

${\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)}$

لكل تركيبة خطية مع . ${\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

المجموعة الإبيلية

${\displaystyle \Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z } \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$

تسمى الشبكة الدورية .

متوازي الأضلاع الناتج عن و${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}}$

هو مجال أساسي للعمل على .${\displaystyle \لامدا }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

هندسيًا، يتكون المستوى المركب من بلاطات متوازية الأضلاع. كل ما يحدث في مجال أساسي واحد يتكرر في جميع المجالات الأخرى. ولهذا السبب يمكننا أن ننظر إلى الدالة الإهليلجية كدوال مع مجموعة الحاصل كمجال لها. يمكن تصور مجموعة الحاصل هذه، والتي تسمى المنحنى الإهليلجي ، كمتوازي أضلاع حيث يتم تحديد الأضلاع المتقابلة، والتي تكون طوبولوجيًا حلقة . ^[1]${\displaystyle \mathbb {C} /\لامدا }$

تُعرف النظريات الثلاث التالية باسم نظريات ليوفيل (1847).

الدالة الإهليلجية المجسمة ثابتة. ^[2]

هذا هو الشكل الأصلي لنظرية ليوفيل ويمكن اشتقاقه منها. ^[3] تكون الدالة الإهليلجية المجسمة محدودة لأنها تأخذ جميع قيمها على المجال الأساسي الذي يكون مضغوطًا. لذا فهي ثابتة وفقًا لنظرية ليوفيل.

تحتوي كل دالة إهليلجية على عدد محدود من الأقطاب ومجموع بقاياها يساوي صفرًا. ^[4]${\displaystyle \mathbb {C} /\لامدا }$

تشير هذه النظرية إلى أنه لا توجد دالة إهليلجية لا تساوي الصفر ولها قطب واحد بالضبط من الدرجة الأولى أو صفر واحد بالضبط من الدرجة الأولى في المجال الأساسي.

تأخذ الدالة الإهليلجية غير الثابتة كل قيمة نفس عدد المرات عند العد باستخدام التعدد. ^[5]${\displaystyle \mathbb {C} /\لامدا }$

إحدى أهم الدوال الإهليلجية هي دالة فايرستراس . بالنسبة لشبكة فترة معينة، يتم تعريفها بواسطة ${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \لامدا }$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

تم تصميمه بطريقة تجعله يحتوي على قطب من الدرجة الثانية عند كل نقطة من الشبكة. والهدف من هذا المصطلح هو جعل السلسلة متقاربة. ${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

${\displaystyle \wp }$هي دالة إهليلجية زوجية؛ أي . [ ^6]${\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}$

مشتقاته

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$

هي دالة فردية، أي ^[6]${\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}$

من أهم نتائج نظرية الدوال الإهليلجية ما يلي: يمكن التعبير عن كل دالة إهليلجية بالنسبة إلى شبكة فترة معينة كدالة نسبية من حيث و . ^[7]${\displaystyle \لامدا }$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$

- الوظيفة تلبي المعادلة التفاضلية${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

حيث و هما ثابتان يعتمدان على . وبشكل أكثر دقة، و ، حيث و هما ما يسمى بمتسلسلة آيزنشتاين . ^[8]${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle \لامدا }$${\displaystyle g_{2}(\أوميغا _{1},\أوميغا _{2})=60G_{4}(\أوميغا _{1},\أوميغا _{2})}$${\displaystyle g_{3}(\أوميغا _{1},\أوميغا _{2})=140G_{6}(\أوميغا _{1},\أوميغا _{2})}$${\displaystyle G_{4}}$${\displaystyle G_{6}}$

في اللغة الجبرية، مجال الدوال الإهليلجية متماثل مع مجال

${\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})}$,

حيث يتم تعيين التماثل إلى و إلى .${\displaystyle \wp }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle Y}$

• 
  دالة ويرشتراس ذات الشبكة الزمنية${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z} }$
• 
  مشتق الدالة${\displaystyle \wp }$

إن العلاقة بالتكاملات الإهليلجية لها أساسًا خلفية تاريخية. فقد درس ليجاندر التكاملات الإهليلجية ، وتولى نيلز هنريك آبل وكارل جوستاف جاكوبي دراستها .

اكتشف آبل الدوال الإهليلجية من خلال أخذ الدالة العكسية لدالة التكامل الإهليلجي ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$

مع . ^[9]${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$

بالإضافة إلى ذلك قام بتعريف الوظائف ^[10]

${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$

و

${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$.

وبعد الاستمرار إلى المستوى المركب، تبين أنها دورية مزدوجة وتُعرف باسم وظائف آبل الإهليلجية .

يتم الحصول على وظائف جاكوبي الإهليلجية بطريقة مماثلة كوظائف عكسية للتكاملات الإهليلجية.

اعتبر جاكوبي الدالة التكاملية

${\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$

وعكسها: . تعني sinus amplitudinis وهي اسم الدالة الجديدة. ^[11] ثم قدم الدالتين cosinus amplitudinis و delta amplitudinis ، والتي تم تعريفها على النحو التالي: ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi )}$${\displaystyle \operatorname {sn} }$

${\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}$.

فقط من خلال اتخاذ هذه الخطوة، تمكن جاكوبي من إثبات صيغة التحويل العامة للتكاملات الإهليلجية في عام 1827. ^[12]

بعد فترة وجيزة من تطوير حساب التفاضل والتكامل اللانهائي في الصغر، بدأ عالم الرياضيات الإيطالي جوليو دي فاجنانو وعالم الرياضيات السويسري ليونهارد أويلر نظرية الدوال الإهليلجية . عندما حاولوا حساب طول قوس مضلع واجهوا مشاكل تتعلق بالتكاملات التي تحتوي على الجذر التربيعي لكثيرات الحدود من الدرجة 3 و4. ^[13] كان من الواضح أن ما يسمى بالتكاملات الإهليلجية لا يمكن حلها باستخدام الدوال الأولية. لاحظ فاجنانو علاقة جبرية بين التكاملات الإهليلجية، ونشر ذلك في عام 1750. ^[13] قام أويلر على الفور بتعميم نتائج فاجنانو وطرح نظرية الجمع الجبرية الخاصة به للتكاملات الإهليلجية. ^[13]

باستثناء تعليق لاندن ^[14] لم يتم متابعة أفكاره حتى عام 1786، عندما نشر ليجيندر ورقته Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse . ^[15] درس ليجيندر لاحقًا التكاملات الإهليلجية وأطلق عليها الدوال الإهليلجية . قدم ليجيندر تصنيفًا ثلاثيًا - ثلاثة أنواع - والذي كان تبسيطًا حاسمًا للنظرية المعقدة إلى حد ما في ذلك الوقت. الأعمال المهمة الأخرى ليجيندر هي: Mémoire sur les transcendantes elliptiques (1792)، ^[16] Exercices de calcul intégral (1811-1817)، ^[17] Traité des fonctions elliptiques (1825-1832). ^[18] تُركت أعمال ليجيندر دون مساس بها من قبل علماء الرياضيات حتى عام 1826.

بعد ذلك، استأنف نيلز هنريك آبل وكارل جوستاف جاكوبي التحقيقات واكتشفا بسرعة نتائج جديدة. في البداية، عكسوا دالة التكامل الإهليلجي. بناءً على اقتراح جاكوبي في عام 1829، تسمى هذه الدوال العكسية الآن الدوال الإهليلجية . أحد أهم أعمال جاكوبي هو Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum الذي نُشر عام 1829. ^{[19] طرح آبل نظرية الجمع التي وجدها أويلر وأثبتها في شكلها العام عام 1829. في تلك الأيام} ، كانت نظرية الدوال الإهليلجية ونظرية الدوال الدورية المزدوجة تعتبر نظريتين مختلفتين. جمعهما بريوت وبوكيه عام 1856. ^{[20] اكتشف} جاوس العديد من خصائص الدوال الإهليلجية قبل 30 عامًا لكنه لم ينشر أي شيء عن هذا الموضوع. ^[21]

• التكامل الإهليلجي
• المنحنى الإهليلجي
• مجموعة معيارية
• دالة ثيتا

• أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 16". دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة مع تصحيحات إضافية للطبعة الأصلية العاشرة مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 567، 627. رقم ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253. انظر أيضًا الفصل 18. (يتناول فقط حالة الثوابت الحقيقية).
• NI Akhiezer ، عناصر نظرية الدوال الإهليلجية ، (1970) موسكو، تُرجمت إلى الإنجليزية باسم AMS Translations of Mathematical Monographs المجلد 79 (1990) AMS، رود آيلاند ISBN 0-8218-4532-2 
• توم م. أبوستول ، الدوال المعيارية وسلسلة دي ريتشليت في نظرية الأعداد ، سبرينغر فيرلاج، نيويورك، 1976. ISBN 0-387-97127-0 (انظر الفصل الأول). 
• ET Whittaker و GN Watson . دورة في التحليل الحديث ، مطبعة جامعة كامبريدج، 1952

• "الدالة الإهليلجية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• MAA، ترجمة ورقة آبل حول الوظائف الإهليلجية.
• الدوال الإهليلجية والتكاملات الإهليلجية على اليوتيوب ، محاضرة لويليام أ. شوالم (4 ساعات)
• يوهانسون، فريدريك (2018). "التقييم العددي للوظائف الإهليلجية والتكاملات الإهليلجية والأشكال المعيارية". arXiv : 1806.06725 [cs.NA].