توزيع باريتو المعمم

في الإحصاء ، يُعد توزيع باريتو المعمم ( GPD ) عائلة من التوزيعات الاحتمالية المستمرة . ويُستخدم غالبًا لنمذجة ذيول توزيع آخر. ويُحدد بثلاثة معايير: الموقع${\displaystyle \mu }$، حجم${\displaystyle \sigma }$، وشكل${\displaystyle \xi }$[ ^{1 ] [ 2 ]} أحيانًا يُحدد ذلك بالمقياس والشكل فقط ^{[ 3 ]} وأحيانًا أخرى بمعامل الشكل فقط. تشير بعض المراجع إلى معامل الشكل على النحو التالي ^:${\displaystyle \kappa =-\xi \,}$[ ^{4 ]} تم تقديم هذه المعلمة بواسطة جيمس بيكاندز الثالث ^{[ 5 ] .}

دالة التوزيع التراكمي لـ${\displaystyle X\sim {\text{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi )}$(${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$،${\displaystyle \sigma >0}$، و${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$) يكون

${\displaystyle F_{\mu ,\sigma ,\xi }(x)={\begin{cases}1-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{لـ }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{لـ }}\xi =0,\end{cases}}}$

حيث يكون دعم X${\displaystyle x\geq \mu }$متى${\displaystyle \xi \geq 0}$، و${\displaystyle \mu \leq x\leq \mu -\sigma /\xi }$متى${\displaystyle \xi <0}$.

دالة كثافة الاحتمال (pdf) لـ${\displaystyle X\sim {\text{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi )}$يكون

${\displaystyle f_{\mu ,\sigma ,\xi }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-1-1/\xi }&{\text{لـ }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{لـ }}\xi =0,\end{cases}}}$

مرة أخرى، من أجل${\displaystyle x\geq \mu }$متى${\displaystyle \xi \geq 0}$، و${\displaystyle \mu \leq x\leq \mu -\sigma /\xi }$متى${\displaystyle \xi <0}$.

دالة البقاء على قيد الحياة في نموذج GPD (sf)،${\displaystyle {\bar {F}}(x)=1-F(x)}$، هو حل المعادلة التفاضلية العادية غير الخطية التالية:

${\displaystyle {\bar {F}}'(x)+{\frac {1}{\sigma }}{\bar {F}}(x)^{1+\xi }=0,\qquad {\bar {F}}(\mu )=1}$.

وبالتالي، شكل الذيل${\displaystyle \xi }$يحدد هذا المقياس الانحراف غير الخطي عن الأنظمة الخطية والمقياس${\displaystyle \sigma }$يرتبط ذلك بالمصدر الخطي للشك. ^{[ 6 ]}

يتم تعريف دالة التوزيع التراكمي القياسية (cdf) لتوزيع باريتو المعمم (GPD) باستخدام${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$(أو، على نحو مماثل، الضبط)${\displaystyle \mu =0}$و${\displaystyle \sigma =1}$): ^{[ 7 ]}

${\displaystyle F_{\xi }(z)={\begin{cases}1-\left(1+\xi z\right)^{-1/\xi }&{\text{لـ }}\xi \neq 0,\\1-e^{-z}&{\text{لـ }}\xi =0.\end{cases}}}$

حيث يكون الدعم${\displaystyle z\geq 0}$ل${\displaystyle \xi \geq 0}$و${\displaystyle 0\leq z\leq -1/\xi }$ل${\displaystyle \xi <0}$.

دالة كثافة الاحتمال المقابلة هي

${\displaystyle f_{\xi }(z)={\begin{cases}\left(1+\xi z\right)^{-1-1/\xi }&{\text{لـ }}\xi \neq 0,\\e^{-z}&{\text{لـ }}\xi =0.\end{cases}}}$

• ${\displaystyle \mathrm {GPD} (\mu ,\sigma ,\xi =0)\sim \mu +\mathrm {Exp} (\lambda =1/\sigma )}$( توزيع أسي مُزاح ).
• ${\displaystyle \mathrm {GPD} (\mu ,\sigma ,\xi >0)\sim (\mu -\sigma /\xi )+\mathrm {Pareto} (x_{\mathrm {m} }=\sigma /\xi ,\alpha =1/\xi )}$( توزيع باريتو المزاح ).
• ${\displaystyle \mathrm {GPD} (\mu ,\sigma ,\xi <0)\sim (\mu -\sigma /\xi )-\mathrm {Power} (x_{\mathrm {m} }=-\sigma /\xi ,\alpha =-1/\xi )}$( توزيع دالة القوة المعكوسة على طول الخط الرأسي)${\displaystyle x=(\mu -\sigma /\xi )/2}$).
  • ${\displaystyle \mathrm {GPD} (\mu ,\sigma ,\xi =-1)\sim \mathrm {U} (\mu ,\mu +\sigma )}$( توزيع منتظم مستمر ).
  • ${\displaystyle \mathrm {GPD} (\mu ,\sigma ,\xi =-1/2)\sim \mathrm {Triangular} (a=\mu ,b=\mu +2\sigma ,c=\mu )}$( توزيع مثلثي ).
• ${\displaystyle \log \left(\mathrm {GPD} (\mu =0,\sigma ,\xi )\right)\sim \mathrm {exGPD} (\sigma ,\xi )}$( توزيع باريتو المعمم الأسي ).
• ${\displaystyle \mathrm {GPD} (\mu ,\sigma ,\xi )\sim \mu +\mathrm {Burr} (c=1,k=1/\xi ,\lambda =\sigma /\xi )}$( توزيع بور المزاح مع المعامل القسري c ).

• غالباً ما يكون من المهم التنبؤ باحتمالات البيانات خارج العينة بافتراض أن كلاً من بيانات التدريب والبيانات خارج العينة تتبع توزيع احتمالات عام.
• تتجاهل التنبؤات بالاحتمالات الناتجة عن استبدال تقديرات الاحتمال الأقصى لمعاملات توزيع باريتو المعمم في دالة التوزيع التراكمي عدم اليقين في هذه المعاملات. ونتيجة لذلك، لا تكون الاحتمالات دقيقة ، ولا تعكس ترددات الأحداث خارج العينة، وعلى وجه الخصوص، تقلل من تقدير احتمالات أحداث الذيل خارج العينة. ^{[ 8 ]}
• أظهرت التنبؤات المُولَّدة باستخدام المنهج البايزي الموضوعي لمعايرة التنبؤ المسبق أنها تُقلل بشكل كبير من هذا التقليل، وإن لم تُزِله تمامًا. ^{[ 8 ]} تُطبَّق معايرة التنبؤ المسبق في حزمة برامج R المسماة fitdistcp. ^{[ 9 ]}

افترض أن${\displaystyle X_{1:n}=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$نكون${\displaystyle n}$ملاحظات (والتي لا يشترط أن تكون مستقلة ومتطابقة التوزيع) من توزيع ذي ذيل سميك غير معروف${\displaystyle F}$بحيث يتغير توزيع ذيله بانتظام مع مؤشر الذيل${\displaystyle 1/\xi }$(وبالتالي، فإن معامل الشكل المقابل هو${\displaystyle \xi }$). وبشكل أكثر تحديدًا، يُوصف توزيع الذيل على النحو التالي: $${\displaystyle {\bar {F}}(x)=1-F(x)=L(x)\cdot x^{-1/\xi },\,\,\,\,\,{\text{for some }}\xi >0,\,\,{\text{where }}L{\text{ is a slowly varying function.}}}$$يُعد تقدير معامل الشكل ذا أهمية خاصة في نظرية القيم المتطرفة${\displaystyle \xi }$وخاصة عندما${\displaystyle \xi }$موجب (ما يسمى بالتوزيع ذي الذيل الثقيل).

يترك${\displaystyle F_{u}}$لتكن دالة التوزيع الزائد المشروط الخاصة بهم. تنص نظرية بيكاندز-بالكيما-دي هان (بيكاندز، 1975؛ بالكيما ودي هان، 1974) على أنه بالنسبة لفئة كبيرة من دوال التوزيع الأساسية${\displaystyle F}$وكبيرة${\displaystyle u}$،${\displaystyle F_{u}}$يتم تقريبها بشكل جيد بواسطة توزيع باريتو المعمم (GPD)، مما حفز طرق Peaks Over Threshold (POT) لتقدير${\displaystyle \xi }$يلعب برنامج GPD الدور الرئيسي في نهج POT .

يُعد مُقدِّر هيل أحد أشهر المُقدِّرات التي تستخدم منهجية POT . وفيما يلي الصيغة التقنية لمُقدِّر هيل.${\displaystyle 1\leq i\leq n}$، يكتب${\displaystyle X_{(i)}}$لـ${\displaystyle i}$القيمة الأكبر رقم - من${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$باستخدام هذه الرموز، يعتمد مقدر هيل ^{[ 12 ]} على${\displaystyle k}$تُعرَّف إحصائيات الرتبة العليا على النحو التالي: $${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}={\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}(X_{1:n})={\frac {1}{k-1}}\sum _{j=1}^{k-1}\log {\bigg (}{\frac {X_{(j)}}{X_{(k)}}}{\bigg )},\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}2\leq k\leq n.}$$ عمليًا، يُستخدم مُقدِّر هيل على النحو التالي. أولًا، احسب المُقدِّر${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}}$عند كل عدد صحيح${\displaystyle k\in \{2,\cdots ,n\}}$ثم ارسم الأزواج المرتبة${\displaystyle \{(k,{\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}})\}_{k=2}^{n}}$ثم، اختر من مجموعة مقدرات هيل${\displaystyle \{{\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}\}_{k=2}^{n}}$تلك التي تكون ثابتة تقريبًا فيما يتعلق بـ${\displaystyle k}$تعتبر هذه القيم الثابتة تقديرات معقولة لمعامل الشكل${\displaystyle \xi }$. لو${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$إذا كانت المتغيرات مستقلة ومتطابقة التوزيع، فإن مقدر هيل هو مقدر متسق لمعامل الشكل${\displaystyle \xi }$[ ^{13 ]} لاحظ أن ^مقدر هيل${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}}$يستخدم التحويل اللوغاريتمي للملاحظات${\displaystyle X_{1:n}=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$( مُقدِّر بيكاندز)${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Pickand}}}$كما تستخدم التحويل اللوغاريتمي، ولكن بطريقة مختلفة قليلاً. ^{[ 14 ]} )

• توزيع بور
• توزيع باريتو
• توزيع القيم المتطرفة المعمم
• نظرية بيكاند-بالكيما-دي هان

• بيكاندز، جيمس (1975). "الاستدلال الإحصائي باستخدام إحصاءات الترتيب المتطرف" (ملف PDF) . حوليات الإحصاء . 3 : 119-131 . doi : 10.1214/aos/1176343003 .
• بالكيما، أ.؛ دي هان، لورينز (1974). "العمر المتبقي في سن متقدمة" . حوليات الاحتمالات . 2 (5): 792-804 . doi : 10.1214/aop/1176996548 .
• إن إل جونسون؛ إس. كوتز؛ إن. بالاكريشنان (1994). التوزيعات أحادية المتغير المستمرة، المجلد 1، الطبعة الثانية . نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-471-58495-7.الفصل 20، القسم 12: توزيعات باريتو المعممة.
• باري سي. أرنولد (2011). "الفصل 7: توزيعات باريتو وتوزيعات باريتو المعممة" . في: دوانغكامون تشوتيكابانيش (محرر). نمذجة التوزيعات ومنحنيات لورنز . نيويورك: سبرينغر. ISBN 9780387727967.
• أرنولد، بي سي؛ لاجونا، إل. (1977). حول توزيعات باريتو المعممة مع تطبيقات على بيانات الدخل . أميس، أيوا: جامعة ولاية أيوا، قسم الاقتصاد.

• ماث ووركس: توزيع باريتو المعمم