دالة ديغاما

في الرياضيات ، تُعرَّف دالة ديغاما بأنها المشتق اللوغاريتمي لدالة غاما : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \psi (z)={\frac {d}{dz}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.}$

هي أولى دوال متعددة غاما . هذه الدالة متزايدة تمامًا ومقعرة تمامًا على${\displaystyle (0,\infty )}$[ ^{4 ]} ويتصرف ^بشكل تقاربي مثل ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},}$

للأعداد المركبة ذات المعامل الكبير (${\displaystyle |z|\rightarrow \infty }$) في القطاع${\displaystyle \left|\arg z\right|<\pi -\varepsilon }$لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$.

يُشار إلى دالة ديغاما غالبًا باسم${\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)}$أو Ϝ ^{[ 6 ]} (الشكل الكبير للحرف اليوناني القديم digamma بمعنى جاما المزدوجة ).

تخضع دالة غاما للمعادلة التالية

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,}$

بأخذ اللوغاريتم على كلا الطرفين واستخدام خاصية المعادلة الوظيفية لدالة لوغاريتم غاما، نحصل على:

${\displaystyle \log \Gamma (z+1)=\log(z)+\log \Gamma (z),}$

وبمفاضلة كلا الطرفين بالنسبة إلى z نحصل على:

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

بما أن الأعداد التوافقية تُعرَّف للأعداد الصحيحة الموجبة n على النحو التالي

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

ترتبط دالة ديغاما بهما من خلال

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

حيث H₀ = 0، و γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني . بالنسبة للوسائط نصف الصحيحة، تأخذ دالة ديغاما القيم التالية _:

${\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}=-\gamma -2\ln 2+2H_{2n}-H_{n}.}$

إذا كان الجزء الحقيقي من z موجبًا، فإن دالة ديغاما لها التمثيل التكاملي التالي بسبب جاوس: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.}$

بدمج هذا التعبير مع متطابقة تكاملية لثابت أويلر-ماسكيروني${\displaystyle \gamma }$أعطِ:

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.}$

التكامل هو عدد أويلر التوافقي${\displaystyle H_{z}}$لذا يمكن كتابة الصيغة السابقة أيضًا

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.}$

ومن النتائج المترتبة على ذلك التعميم التالي لعلاقة التكرار:

${\displaystyle \psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.}$

التمثيل التكاملي المنسوب إلى ديريشليه هو: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.}$

يمكن التلاعب بالتمثيل التكاملي لغوس لإعطاء بداية التوسع التقاربي لـ${\displaystyle \psi }$[ ^{8 ]​}

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.}$

تُعدّ هذه الصيغة أيضاً نتيجةً للتكامل الأول لبينيه لدالة غاما. ويمكن اعتبار هذا التكامل تحويلاً لابلاس .

يُعطي التكامل الثاني لبينيه لدالة غاما صيغة مختلفة لـ${\displaystyle \psi }$وهذا يعطي أيضًا الحدود القليلة الأولى من التوسع التقاربي: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

من تعريف${\displaystyle \psi }$وباستخدام التمثيل التكاملي لدالة غاما، نحصل على

${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty}t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,}$

مع${\displaystyle \Re z>0}$[ ^{10 ]​}

الوظيفة${\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}$هي دالة كاملة ، ^{[ 11 ]} ويمكن تمثيلها بالضرب اللانهائي

${\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.}$

هنا${\displaystyle x_{k}}$هو الصفر رقم k من${\displaystyle \psi }$(انظر أدناه)، و${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

ملاحظة: هذا يساوي أيضًا${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$بسبب تعريف دالة ديغاما:${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$.

تُحقق دالتا ديغاما وبوليغاما صيغ انعكاس مشابهة لتلك الخاصة بدالة غاما :

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}$.

${\displaystyle \psi '(-x)+\psi '(x)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {1}{x^{2}}}}$.

${\displaystyle \psi ''(-x)-\psi ''(x)={\frac {2\pi ^{3}\cot(\pi x)}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {2}{x^{3}}}}$.

تحقق دالة ديغاما العلاقة التكرارية

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}$

وبالتالي، يمكن القول إنه "يُقسّم" 1 / x ، لأنه يمتلك

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

حيث Δ هو عامل الفرق الأمامي . وهذا يحقق علاقة التكرار للمجموع الجزئي للمتسلسلة التوافقية ، مما يستلزم الصيغة التالية:

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

في الواقع، ψ هو الحل الوحيد للمعادلة الوظيفية

${\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}$

وهي دالة رتيبة على R ⁺ وتحقق F (1) = −γ . وتنتج هذه الحقيقة مباشرةً من تفرد دالة Γ بالنظر إلى معادلتها التكرارية وشرط التحدب . وهذا يستلزم معادلة الفرق المفيدة التالية:

${\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}$

توجد العديد من صيغ الجمع المحدود لدالة ديغاما. ومن صيغ الجمع الأساسية:

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

تُعزى هذه النتائج إلى غاوس. ^{[ 16 ] [ 17 ]} صيغ أكثر تعقيدًا، مثل

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

ويرجع ذلك إلى أعمال بعض المؤلفين المعاصرين (انظر على سبيل المثال الملحق ب في بلاغوشين (2014) ^{[ 18 ]} ).

لدينا أيضًا ^{[ 19 ]}

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k-1}}-\gamma -\ln k={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(1+{\frac {n}{k}}\right),k=2,3,...}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة r و m ( r < m )، يمكن التعبير عن دالة ديجاما بدلالة ثابت أويلر وعدد محدود من الدوال الأولية ^{[ 20 ] [ 21 ]}

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

وهذا ينطبق، بسبب معادلته التكرارية، على جميع الحجج النسبية.

نظرية الضرب لـ${\displaystyle \Gamma }$الدالة تعادل ^{[ 22 ]}

${\displaystyle \psi (nz)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\psi \left(z+{\frac {k}{n}}\right)+\ln n.}$

دالة ديغاما لها التوسع التقاربي

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-n)}{z^{n}}}=\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}},}$

حيث B _{_k} هو عدد برنولي رقم k ، و ζ هي دالة زيتا لريمان . الحدود القليلة الأولى من هذا التوسع هي:

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .}$

على الرغم من أن المجموع اللانهائي لا يتقارب لأي قيمة لـ z ، إلا أن أي مجموع جزئي محدود يصبح أكثر دقة مع زيادة قيمة z .

يمكن إيجاد التوسع عن طريق تطبيق صيغة أويلر-ماكلورين على المجموع ^{[ 23 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)}$

يمكن أيضًا اشتقاق هذا التوسع من التمثيل التكاملي الناتج عن صيغة بينيه التكاملية الثانية لدالة غاما. التوسع${\displaystyle t/(t^{2}+z^{2})}$باعتبار المتسلسلة هندسية، واستبدال تمثيل تكاملي لأعداد برنولي، نحصل على نفس المتسلسلة التقاربية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن توسيع عدد محدود فقط من حدود المتسلسلة يعطي صيغة تتضمن حد خطأ صريحًا.

${\displaystyle \psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

عندما تكون قيمة x أكبر من الصفر ، فإن الدالة

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)}$

هي دالة رتيبة تمامًا، وموجبة على وجه الخصوص. هذه نتيجة لنظرية برنشتاين حول الدوال الرتيبة المطبقة على التمثيل التكاملي المستمد من تكامل بينيه الأول لدالة غاما. بالإضافة إلى ذلك، وبحسب متباينة التحدب،${\displaystyle 1+t\leq e^{t}}$، تكون الدالة المراد تكاملها في هذا التمثيل محدودة من الأعلى بواسطة${\displaystyle e^{-tz}/2}$. بالتالي

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-\ln x+\psi (x)}$

وهي أيضًا رتيبة تمامًا. ويترتب على ذلك أنه، بالنسبة لجميع قيم x > 0 ،

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \ln x-{\frac {1}{2x}}.}$

وهذا يستعيد نظرية لهورست ألزر. ^{[ 24 ]} كما أثبت ألزر أنه بالنسبة لـ s ∈ (0, 1) ،

${\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),}$

وقد حصل إليزوفيتش وجيوردانو وبيكاريتش على حدود مماثلة، حيث أثبتوا أنه بالنسبة لـ x > 0 ،

${\displaystyle \ln(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\ln(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},}$

أين${\displaystyle \gamma =-\psi (1)}$هو ثابت أويلر-ماسكيروني . ^{[ 25 ]} الثوابت (${\displaystyle 0.5}$و${\displaystyle e^{-\gamma }\approx 0.56}$إن ظهورها ضمن هذه الحدود هو الأفضل على الإطلاق. ^{[ 26 ]}

تنص نظرية القيمة المتوسطة على النظير التالي لمتباينة غاوتشي : إذا كان x > c ، حيث c ≈ 1.461 هو الجذر الحقيقي الموجب الوحيد لدالة ديغاما، وإذا كان s > 0 ، فإن

${\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).}$

علاوة على ذلك، تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان s = 1. ^{[ 27 ]}

استلهامًا من متباينة القيمة المتوسطة التوافقية لدالة غاما الكلاسيكية، أثبت هورتز ألزر وغراهام جيمسون، من بين أمور أخرى، متباينة القيمة المتوسطة التوافقية لدالة ديغاما:

${\displaystyle -\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}}$ل${\displaystyle x>0}$

تتحقق المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle x=1}$[ ^{28 ]​}

يُتيح التوسع التقاربي طريقة سهلة لحساب ψ ( x ) عندما يكون الجزء الحقيقي من x كبيرًا. لحساب ψ ( x ) لقيم x الصغيرة ، تُستخدم علاقة التكرار

${\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)}$

يمكن استخدام ذلك لنقل قيمة x إلى قيمة أعلى. يقترح بيل ^{[ 29 ]} استخدام التكرار المذكور أعلاه لنقل x إلى قيمة أكبر من 6 ثم تطبيق التوسع المذكور أعلاه مع قطع الحدود التي تزيد عن x ¹⁴ ، مما ينتج عنه "دقة كافية" (12 رقمًا على الأقل باستثناء الأرقام القريبة من الأصفار).

عندما تؤول x إلى اللانهاية، تقترب ψ ( x ) بشكل كبير من كلٍّ من ln( x - 1/2 ) و ln x . عند النزول من x + 1 إلى x ، تتناقص ψ بمقدار 1 / x ، ويتناقص ln( x - 1/2 ) بمقدار ln ( x + 1/2 ) / ( x - 1/2 ) ، وهو أكبر من 1 / x ، ويتناقص ln x بمقدار ln( 1 + 1 / x ) ، وهو أصغر من 1 / x . من هذا نلاحظ أنه لأي قيمة موجبة لـ x أكبر من 1/2 ،

${\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)}$

أو، لأي قيمة موجبة لـ x ،

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).}$

الدالة الأسية exp ψ ( x ) هي تقريبًا x − 1 / 2 ⁠ لقيم x الكبيرة ، ولكنها تقترب من x عند قيم x الصغيرة ، وتقترب من 0 عند x = 0 .

بالنسبة لـ x < 1 ، يمكننا حساب النهايات بناءً على حقيقة أنه بين 1 و 2، ψ ( x ) ∈ [− γ , 1 − γ ] ، لذلك

${\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)}$

أو

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).}$

انطلاقاً من المتسلسلة التقاربية المذكورة أعلاه لـ ψ ، يمكن استنتاج متسلسلة تقاربية لـ exp(− ψ ( x )) . تتوافق هذه المتسلسلة جيداً مع السلوك العام، أي أنها تتصرف تقاربياً كما ينبغي بالنسبة للقيم الكبيرة، ولها أيضاً جذر ذو تعدد غير محدود عند نقطة الأصل.

${\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }$

يشبه هذا متسلسلة تايلور للدالة exp(−ψ ( 1/ y )) عند y = 0 ، لكنها لا تتقارب. ^{[ 30 ]} (الدالة ليست تحليلية عند اللانهاية). توجد متسلسلة مماثلة للدالة exp( ψ ( x )) تبدأ بـ${\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}$

إذا قمنا بحساب المتسلسلة التقاربية لـ ψ ( x +1/2)، فسنجد أنه لا توجد قوى فردية لـ x (أي لا يوجد حد x ^-1 ). وهذا يؤدي إلى التوسع التقاربي التالي، الذي يوفر حساب الحدود ذات الرتبة الزوجية.

${\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots }$

يشبه في جوهره تقريب لانكزوس لـ${\displaystyle \Gamma }$الدالة - هي تقريب سبوج .

ثمة بديل آخر يتمثل في استخدام العلاقة التكرارية أو صيغة الضرب لتحويل وسيط${\displaystyle \psi (x)}$في النطاق${\displaystyle 1\leq x\leq 3}$ولتقييم متسلسلة تشيبيشيف هناك. ^{[ 31 ] [ 32 ]}

تُعطى قيم دالة ديغاما بصيغة مغلقة للأعداد النسبية، وذلك نتيجة لنظرية غاوس ديغاما . وفيما يلي بعض الأمثلة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}}$

علاوة على ذلك، بأخذ المشتق اللوغاريتمي لـ${\displaystyle |\Gamma (bi)|^{2}}$أو${\displaystyle |\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}}$أين${\displaystyle b}$إذا كانت ذات قيمة حقيقية، فيمكن استنتاج ذلك بسهولة.

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).}$

باستثناء نظرية غاوس ديغاما، لا توجد صيغة مغلقة معروفة للجزء الحقيقي بشكل عام. لدينا، على سبيل المثال، عند الوحدة التخيلية، التقريب العددي OEIS : A248177 

${\displaystyle \operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.}$

جذور دالة ديغاما هي نقاط سرجية لدالة غاما ذات القيم المركبة. لذا، تقع جميعها على المحور الحقيقي . النقطة الوحيدة على المحور الحقيقي الموجب هي القيمة الصغرى الوحيدة لدالة غاما ذات القيم الحقيقية على R ⁺ عند x ₌1.461 632 144 968 362 341 26 ... . جميع القيم الأخرى تظهر منفردة بين قطبي المحور السالب:

x ₁ =−0.504 083 008 264 455 409 25 ...

س _٢ =-1.573 498 473 162 390 458 77 ...

× ₃ =-2.610 720 868 444 144 650 00 ...

× ₄ =-3.635 293 366 436 901 097 83 ...

${\displaystyle \vdots }$

لاحظ تشارلز هيرميت بالفعل في عام 1881 ^{[ 33 ]} أن

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}$

يتحقق ذلك تقاربياً. ويُعطى تقريب أفضل لموقع الجذور بواسطة

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2}$

وباستخدام مصطلح آخر يصبح الأمر أفضل.

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1}$

وكلاهما ينبثق من صيغة الانعكاس عبر

${\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}$

وباستبدال ψ ( x, n ₎ بتوسعها التقاربي غير المتقارب، يكون الحد الثاني الصحيح لهذا التوسع هو ½n ، حيث يعمل الحد المعطى بشكل جيد لتقريب الجذور ذات قيم n الصغيرة .

ويمكن تقديم تحسين آخر لصيغة هيرميت: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).}$

فيما يتعلق بالأصفار، تم إثبات متطابقات المجموع اللانهائي التالية مؤخرًا بواسطة إستفان ميزو ومايكل هوفمان ^{[ 11 ] [ 34 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}}$

بشكل عام، الوظيفة

${\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}}$

يمكن تحديد ذلك، وقد تمت دراسته بالتفصيل من قبل المؤلفين المذكورين.

النتائج التالية ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}}$

وينطبق هذا أيضاً.

تظهر دالة ديغاما في تنظيم التكاملات المتباعدة

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},}$

يمكن تقريب هذا التكامل بواسطة متسلسلة توافقية عامة متباعدة، ولكن يمكن إلحاق القيمة التالية بهذه المتسلسلة.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}$

تستخدم العديد من التوزيعات الاحتمالية البارزة دالة غاما في تعريف دالة كثافة الاحتمال أو دالة الكتلة الاحتمالية. وبالتالي، في الإحصاء، عند إجراء تقدير الاحتمال الأقصى على نماذج تتضمن هذه التوزيعات، تظهر دالة ديغاما بشكل طبيعي عند حساب مشتقة دالة الاحتمال اللوغاريتمي لإيجاد القيم القصوى.

• دالة بوليغاما
• دالة تريجاما
• توسعات تشيبيشيف لدالة ديغاما في ويمب، جيت (1961). "تقريبات متعددة الحدود للتحويلات التكاملية" . مجلة الرياضيات الحاسوبية 15 ( 74): 174-178 . doi : 10.1090/S0025-5718-61-99221-3 .