نظرية الضرب

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية الضرب نوعًا من المتطابقات التي تنطبق على العديد من الدوال الخاصة المرتبطة بدالة غاما . في حالة دالة غاما تحديدًا، تكون المتطابقة عبارة عن حاصل ضرب قيم؛ ومن هنا جاءت التسمية. تنبع جميع العلاقات المختلفة من المبدأ الأساسي نفسه؛ أي أن العلاقة الخاصة بدالة خاصة ما يمكن استنتاجها من العلاقة الخاصة بالدوال الأخرى، وهي ببساطة تجلٍّ للمتطابقة نفسها بأشكال مختلفة.

تتخذ نظرية الضرب شكلين شائعين. في الحالة الأولى، يُضاف أو يُضرب عدد محدود من الحدود للحصول على العلاقة. أما في الحالة الثانية، فيُضاف أو يُضرب عدد لا نهائي من الحدود. يظهر الشكل المحدود عادةً فقط لدالة غاما والدوال المشابهة لها، حيث تُستنتج المتطابقة من علاقة p-adic على حقل منتهٍ . على سبيل المثال، تُستنتج نظرية الضرب لدالة غاما من صيغة تشاولا-سيلبرغ ، التي تُستنتج بدورها من نظرية الضرب المركب . أما المجاميع اللانهائية فهي أكثر شيوعًا، وتُستنتج من علاقات الصفر المميزة على المتسلسلات فوق الهندسية.

يوضح الجدول التالي مختلف تجليات نظرية الضرب للخصائص المحدودة؛ أما علاقات الصفر الخاصة بالخصائص فتُذكر لاحقًا. في جميع الحالات، يكون كل من n و k عددين صحيحين غير سالبين. في الحالة الخاصة n  =  2، تُعرف النظرية عادةً باسم صيغة المضاعفة .

تُعدّ صيغة المضاعفة ونظرية الضرب لدالة غاما مثالين نموذجيين. صيغة المضاعفة لدالة غاما هي

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

تُعرف أيضًا باسم صيغة ليجندر للتكرار ^{[ 1 ]} أو علاقة ليجندر ، تكريمًا لأدريان ماري ليجندر . نظرية الضرب هي

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{\frac {1-2kz}{2}}\;\Gamma (kz)}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة k ≥ 1، وتُسمى أحيانًا صيغة غاوس للضرب ، تكريمًا لكارل فريدريش غاوس . ويمكن فهم نظرية الضرب لدوال غاما على أنها حالة خاصة، بالنسبة لخاصية ديريشليه التافهة ، من صيغة تشاولا-سيلبرغ .

تنطبق صيغ المضاعفة المشابهة شكليًا على دالة الجيب، وهي نتائج بسيطة نسبيًا للهويات المثلثية . هنا لدينا صيغة المضاعفة

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{2}}\right)\right)={\frac {1}{2}}\sin(2\pi x)}$

وبشكل أعم، لأي عدد صحيح k ، يكون لدينا

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{k}}\right)\right)\cdots \sin \left(\pi \left(x+{\frac {k-1}{k}}\right)\right)=2^{1-k}\sin(k\pi x)}$

دالة بوليغاما هي المشتقة اللوغاريتمية لدالة غاما، وبالتالي، تصبح نظرية الضرب جمعية بدلاً من ضربية:

${\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

ل${\displaystyle m>1}$و، من أجل${\displaystyle m=1}$واحد لديه وظيفة digamma :

${\displaystyle k\left[\psi (kz)-\log(k)\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

يمكن استخدام متطابقات بوليغاما للحصول على نظرية الضرب للأعداد التوافقية .

تعمم دالة زيتا لهرويتز دالة بوليغاما إلى رتب غير صحيحة، وبالتالي تخضع لنظرية ضرب مشابهة جدًا:

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

أين${\displaystyle \zeta (s)}$هي دالة زيتا لريمان . هذه حالة خاصة من

${\displaystyle k^{s}\,\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta \left(s,z+{\frac {n}{k}}\right)}$

و

${\displaystyle \zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z).}$

يمكن إعطاء صيغ الضرب للرموز غير الرئيسية في شكل دوال ديريشليه L.

تُعرَّف دالة زيتا الدورية ^{[ 2 ] أحيانًا على النحو التالي:}

${\displaystyle F(s;q)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatorname {Li} _{s}\left(e^{2\pi iq}\right)}$

حيث Li _s ( z ) هو متعدد اللوغاريتمات . وهو يخضع لصيغة التكرار.

${\displaystyle 2^{1-s}F(s;q)=F\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\left(s,{\frac {q+1}{2}}\right).}$

وبالتالي، فهو متجه ذاتي لمؤثر برنولي بقيمة ذاتية 2 ^{1 − s} . تنص نظرية الضرب على ما يلي:

${\displaystyle k^{1-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F\left(s,q+{\frac {n}{k}}\right).}$

تظهر دالة زيتا الدورية في صيغة الانعكاس لدالة زيتا هورويتز، ولذلك تختلف العلاقة التي تخضع لها عن علاقة زيتا هورويتز بتبديل s → 1 − s . تجدر الإشارة إلى أن تسمية "دورية" مضللة تمامًا: فعلى الرغم من أن التعريف مكتوب بطريقة توحي بأنها دورية، إلا أن البنية التحليلية الفعلية معقدة للغاية، إذ تتضمن فروعًا متعددة ومسارًا أحاديًا معقدًا . ^{[ 3 ]}   

يمكن الحصول على كثيرات حدود برنولي كحالة حدية لدالة زيتا الدورية، باعتبار s عددًا صحيحًا، ومن ثم يمكن استنتاج نظرية الضرب من ذلك. وبالمثل، يؤدي استبدال q = log z إلى نظرية الضرب لكثيرات اللوغاريتمات.    

تأخذ صيغة التكرار الشكل التالي:

${\displaystyle 2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2})=\operatorname {Li} _{s}(z)+\operatorname {Li} _{s}(-z).}$

تأتي صيغة الضرب العامة على شكل مجموع غاوس أو تحويل فورييه المنفصل :

${\displaystyle k^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{k})=\sum _{n=0}^{k-1}\operatorname {Li} _{s}\left(ze^{i2\pi n/k}\right).}$

وتنتج هذه المتطابقات من تلك المتعلقة بدالة زيتا الدورية، مع الأخذ في الاعتبار أن z = log q .    

صيغة التكرار لدالة كومر هي

${\displaystyle 2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})=\Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)}$

وبالتالي يشبه ذلك بالنسبة للوغاريتم المتعدد، ولكنه ملتوٍ بمقدار i . 

بالنسبة لكثيرات حدود برنولي ، تم تقديم نظريات الضرب بواسطة جوزيف لودفيج رابي في عام 1851:

${\displaystyle k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}B_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)}$

وبالنسبة لكثيرات حدود أويلر ،

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=1,3,\dots }$

و

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ لـ }}k=2,4,\dots .}$

يمكن الحصول على كثيرات حدود برنولي كحالة خاصة من دالة زيتا لهرويتز، وبالتالي تتبع المتطابقات من هناك.

خريطة برنولي هي نموذج بسيط ^{[ 4 ]} لنظام ديناميكي مُبدد للطاقة ، يصف تأثير عامل الإزاحة على سلسلة لانهائية من رميات العملة ( مجموعة كانتور ). خريطة برنولي هي نسخة أحادية الجانب من خريطة بيكر ذات الصلة الوثيقة . تُعمم خريطة برنولي إلى نسخة k-adic ، والتي تعمل على سلاسل لانهائية من k رمز: وهذا ما يُعرف بمخطط برنولي . عامل النقل${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}}$يُعطى ما يُقابل عامل الإزاحة في مخطط برنولي بالصيغة التالية:

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{k}f](x)={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f\left({\frac {x+n}{k}}\right)}$

ربما ليس من المستغرب أن تُعطى المتجهات الذاتية لهذا المؤثر بواسطة كثيرات حدود برنولي. أي أن لدينا ما يلي:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}}}B_{m}}$

يكمن السبب في أن القيم الذاتية${\displaystyle k^{-m}<1}$وهذا ما يميز هذا النظام على أنه نظام تبديدي : بالنسبة لنظام ديناميكي غير تبديدي يحافظ على القياس ، تقع القيم الذاتية لمؤثر النقل على دائرة الوحدة .

يمكن بناء دالة تخضع لنظرية الضرب من أي دالة ضربية تمامًا . ليكن${\displaystyle f(n)}$أن تكون ضربية تمامًا؛ أي${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$لأي عددين صحيحين m و n ، عرّف متسلسلة فورييه الخاصة بها على النحو التالي:

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\exp(2\pi inx)}$

بافتراض أن المجموع يتقارب، بحيث تكون الدالة g ( x ) موجودة، فإن ذلك يعني أنها تخضع لنظرية الضرب؛ أي أن

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}g\left({\frac {x+n}{k}}\right)=f(k)g(x)}$

أي أن g ( x ) دالة ذاتية لمؤثر نقل برنولي، بقيمة ذاتية f ( k ). ومن ثم، تُستنتج نظرية الضرب لكثيرات حدود برنولي كحالة خاصة من الدالة الضربية.${\displaystyle f(n)=n^{-s}}$يتم تحديد الدوال الضربية الكاملة بالكامل من خلال قيمها على الأعداد الأولية؛ وبالتالي، فإن أي متتالية مهما كانت، طالما أن متسلسلة فورييه تتقارب، ستولد دالة تخضع لنظرية الضرب.

لا تنتهي نظرية الضرب على حقل ذي خاصية صفرية بعد عدد محدود من الحدود، بل تتطلب متسلسلة لانهائية للتعبير عنها. ومن الأمثلة على ذلك دالة بيسل.${\displaystyle J_{\nu }(z)}$:

$$$

أين${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \nu }$يمكن اعتبارها أعدادًا مركبة اختيارية. وتنتج هذه المتطابقات ذات الخاصية الصفرية عمومًا من إحدى المتطابقات العديدة الممكنة على المتسلسلة الهندسية الفائقة.

• ميلتون أبراموفيتز وإيرين أ. ستيجون (محرران). دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية ، (1972) دوفر، نيويورك. (تُدرج نظريات الضرب بشكل فردي فصلًا فصلًا).
• C. Truesdell, " حول نظريات الجمع والضرب للدوال الخاصة "، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم، الرياضيات ، (1950) ص  752-757.