التوزيع الطبيعي المعمم

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 49 صور
الموسوعة الحرة

يُعد التوزيع الطبيعي المعمم ( GND ) أو التوزيع الغاوسي المعمم ( GGD ) أحد عائلتين من التوزيعات الاحتمالية المستمرة على خط الأعداد الحقيقية . تُضيف كلتا العائلتين مُعامل شكل إلى التوزيع الطبيعي . ولتمييز هاتين العائلتين، يُشار إليهما فيما يلي بـ "المتماثل" و"غير المتماثل"؛ مع ذلك، فإن هذه التسمية ليست قياسية.

نسخة متناظرة

يُعد التوزيع الطبيعي المعمم المتناظر ، المعروف أيضًا بتوزيع سوبوتين ، [ 3 ] أو توزيع القوة الأسية أو توزيع الخطأ المعمم ، عائلةً بارامترية من التوزيعات المتناظرة . وهو يشمل جميع التوزيعات الطبيعية وتوزيعات لابلاس ، وكحالات حدية، يشمل جميع التوزيعات المنتظمة المستمرة على فترات محدودة من خط الأعداد الحقيقية.

تشمل هذه العائلة التوزيع الطبيعي عندماβ=2{\displaystyle \textstyle \beta =2}(مع المتوسط)μ{\displaystyle \textstyle \mu }والتباينα22{\displaystyle \textstyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}}) ويتضمن توزيع لابلاس عندما ⁠β=1{\displaystyle \textstyle \beta =1}. كماβ→∞{\displaystyle \textstyle \beta \rightarrow \infty }، تتقارب الكثافة نقطيًا إلى كثافة منتظمة على(μ-α،μ+α){\displaystyle \textstyle (\mu -\alpha ,\mu +\alpha )}⁠ .

تسمح هذه العائلة بوجود ذيول أثقل من المعتاد ( عندماβ<2{\displaystyle \beta <2}) أو أخف من المعتاد (عندما ⁠β>2{\displaystyle \beta >2}) . إنها طريقة مفيدة لتعيين معلمات سلسلة متصلة من الكثافات المتناظرة والمسطحة التي تمتد من العمودي ( ).β=2{\displaystyle \textstyle \beta =2}) إلى الكثافة المنتظمة (β=∞{\displaystyle \textstyle \beta =\infty }) ، وسلسلة متصلة من الكثافات المتناظرة ذات التفرطح العالي التي تمتد من لابلاس ( ⁠β=1{\displaystyle \textstyle \beta =1}) إلى الكثافة الطبيعية (β=2{\displaystyle \textstyle \beta =2}) . معامل الشكلβ{\displaystyle \beta }كما يتحكم في حدة الذروة بالإضافة إلى الذيول.

تقدير المعلمات

تمت دراسة تقدير المعلمات باستخدام طريقة الإمكان الأقصى وطريقة العزوم . [ 4 ] لا تمتلك هذه التقديرات صيغة مغلقة، ويجب الحصول عليها عدديًا. كما تم اقتراح مقدرات لا تتطلب حسابات عددية. [ 5 ]

دالة الاحتمال اللوغاريتمي الطبيعي المعمم لها عدد لا نهائي من المشتقات المتصلة (أي أنها تنتمي إلى الفئة ⁠ج∞{\displaystyle C^{\infty }}( من الدوال السلسة ) فقط إذاβ{\displaystyle \textstyle \beta }هو عدد صحيح موجب وزوجي. وإلا، فإن الدالة لها⌊β⌋{\displaystyle \textstyle \lfloor \beta \rfloor }المشتقات المتصلة. ونتيجة لذلك، فإن النتائج القياسية للاتساق والتقارب الطبيعي لتقديرات الاحتمال الأقصى لـβ{\displaystyle \beta }ينطبق فقط عندماβ≥2{\displaystyle \textstyle \beta \geq 2}⁠ .

مقدر الاحتمال الأقصى

من الممكن مطابقة التوزيع الطبيعي المعمم باستخدام طريقة الاحتمال الأقصى التقريبية . [ 4 ] [ 6 ] معμ{\displaystyle \mu }تم ضبطها مبدئيًا على اللحظة الأولى للعينةم1{\displaystyle m_{1}}،​ ​β{\displaystyle \textstyle \beta }يتم تقدير باستخدام إجراء نيوتن-رافسون التكراري، بدءًا من تخمين أولي قدرهβ=β0{\displaystyle \textstyle \beta =\textstyle \beta _{0}}،​

β0=م1م2،{\displaystyle \beta _{0}={\frac {m_{1}}{\sqrt {m_{2}}}},}

أين

م1=1شمال∑أنا=1شمال|xأنا|،{\displaystyle m_{1}={1 \over N}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}|,}

هي اللحظة الإحصائية الأولى للقيم المطلقة وم2{\displaystyle m_{2}}هي اللحظة الإحصائية الثانية . التكرار هو

βأنا+1=βأنا-ز(βأنا)ز′(βأنا)،{\displaystyle \beta _{i+1}=\beta _{i}-{\frac {g(\beta _{i})}{g'(\beta _{i})}},}

أين

ز(β)=1+ψ(1/β)β-لβSβ+سجل⁡(βشمالSβ)β،{\displaystyle g(\beta )=1+{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta }}-{\frac {L_{\beta }}{S_{\beta }}}+{\frac {\log({\frac {\beta }{N}}S_{\beta })}{\beta }},}
ز′(β)=-ψ(1/β)β2-ψ′(1/β)β3+1β2-كβSβ+لβ2Sβ2+لββSβ-سجل⁡(βشمالSβ)β2،{\displaystyle {\begin{aligned}g'(\beta )={}&-{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta ^{2}}}-{\frac {\psi '(1/\beta )}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}-{\frac {K_{\beta }}{S_{\beta }}}\\[6pt]&{}+{\frac {L_{\beta }^{2}}{S_{\beta }^{2}}}+{\frac {L_{\beta }}{\beta S_{\beta }}}-{\frac {\log \left({\frac {\beta }{N}}S_{\beta }\right)}{\beta ^{2}}},\end{aligned}}}

Sβ=∑أنا=1شمال|xأنا-μ|β،{\displaystyle S_{\beta }=\sum _{i=1}^{N}\left|x_{i}-\mu \right|^{\beta },}لβ=∑أنا=1شمال|xأنا-μ|βسجل⁡|xأنا-μ|،{\displaystyle L_{\beta }=\sum _{i=1}^{N}\left|x_{i}-\mu \right|^{\beta }\log \left|x_{i}-\mu \right|,}كβ=∑أنا=1شمال|xأنا-μ|β(سجل⁡|xأنا-μ|)2،{\displaystyle K_{\beta }=\sum _{i=1}^{N}\left|x_{i}-\mu \right|^{\beta }\left(\log \left|x_{i}-\mu \right|\right)^{2},} وψ{\displaystyle \psi }وψ′{\displaystyle \psi '}هما دالة ديغاما ودالة تريغاما على التوالي.

بفرض قيمة لـβ{\displaystyle \textstyle \beta }، من الممكن تقديرμ{\displaystyle \mu }عن طريق إيجاد الحد الأدنى لـ:

مينμ=∑أنا=1شمال|xأنا-μ|β{\displaystyle \min _{\mu }=\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}

أخيراًα{\displaystyle \textstyle \alpha }يتم تقييمه على النحو التالي

α=(βشمال∑أنا=1شمال|xأنا-μ|β)1/β.{\displaystyle \alpha =\left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{1/\beta }.}

لـ​β≤1{\displaystyle \beta \leq 1}، الوسيط هو مقياس أكثر ملاءمة لـμ{\displaystyle \mu }مرة واحدةμ{\displaystyle \mu }بحسب التقديرات،β{\displaystyle \beta }وα{\displaystyle \alpha }يمكن تقديرها كما هو موضح أعلاه. [ 4 ]

التطبيقات

يُستخدم التوزيع الطبيعي المعمم المتناظر في النمذجة عندما يكون تركيز القيم حول المتوسط ​​وسلوك الذيل ذا أهمية خاصة. [ 7 ] [ 8 ] يمكن استخدام عائلات أخرى من التوزيعات إذا كان التركيز على انحرافات أخرى عن التوزيع الطبيعي. إذا كان تناظر التوزيع هو الاهتمام الرئيسي، فيمكن استخدام عائلة التوزيع الطبيعي المائل أو النسخة غير المتناظرة من عائلة التوزيع الطبيعي المعمم المذكورة أدناه. أما إذا كان سلوك الذيل هو الاهتمام الرئيسي، فيمكن استخدام عائلة توزيع t للطالب ، والتي تُقارب التوزيع الطبيعي مع ازدياد درجات الحرية إلى ما لا نهاية. يتميز توزيع t، على عكس التوزيع الطبيعي المعمم، بذيل أثقل من التوزيع الطبيعي دون أن يكتسب نقطة انعطاف حادة عند نقطة الأصل. ويُستخدم في فيزياء البلازما تحت اسم توزيع لانغدون الناتج عن إشعاع الكبح العكسي. [ 9 ]

في مسألة الانحدار الخطي التي يتم نمذجتها على النحو التالي :y∼جيهـنهـرألأناzهـدشمالoرمأل(X⋅θ،α،ص){\displaystyle y\sim \mathrm {GeneralizedNormal} (X\cdot \theta ,\alpha ,p)}، ستكونطريقة تقدير الاحتمال الأقصى هيarg⁡مينθ‖X⋅θ-y‖ص{\displaystyle \arg \min _{\theta }\|X\cdot \theta -y\|_{p}}حيث يتم استخدام معيار p .

ملكيات

لحظات

يتركXβ{\displaystyle X_{\beta }}ليكن توزيع غاوسي معمّم متوسطه صفراً وشكلهβ{\displaystyle \beta }ومعامل القياسα{\displaystyle \alpha }لحظات​Xβ{\displaystyle X_{\beta }} موجودة ومحدودة لأيك{\displaystyle k}أكبر من​-1{\displaystyle -1}. لأي عدد صحيح غير سالب ⁠ك{\displaystyle k}، العزوم المركزية البسيطة هي [ 2 ]

هـ⁡[Xβك]={0لو ك غريب،αكΓ(ك+1β)/Γ(1β)لو ك متساوٍ.{\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{\beta }^{k}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}k{\text{ is odd,}}\\\alpha ^{k}\Gamma \left({\frac {k+1}{\beta }}\right){\Big /}\,\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}\right)&{\text{if }}k{\text{ is even.}}\end{cases}}}

العلاقة بالدوال الموجبة المحددة

دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي المعمم المتناظر هي دالة موجبة التحديد لـ β∈(0،2]{\displaystyle \beta \in (0,2]}[ 10 ] [ 11 ]​

قابلية القسمة اللانهائية

يكون التوزيع الغاوسي المعمم المتناظر توزيعًا قابلاً للقسمة بلا حدود إذا وفقط إذاβ∈(0،1]∪{2}{\displaystyle \beta \in (0,1]\cup \{2\}}[ 10 ]​​

التعميمات

التوزيع الطبيعي المعمم متعدد المتغيرات، أي حاصل ضربن{\displaystyle n}توزيعات القوة الأسية بنفسβ{\displaystyle \beta }وα{\displaystyle \alpha }المعاملات، هي دالة الكثافة الاحتمالية الوحيدة التي يمكن كتابتها على الصورةص(x)=ز(‖x‖β){\displaystyle p(\mathbf {x} )=g(\|\mathbf {x} \|_{\beta })}وله هوامش مستقلة. [ 12 ] تُنسب نتائج الحالة الخاصة للتوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات في الأصل إلى ماكسويل . [ 13 ]

نسخة غير متماثلة

يُعد التوزيع الطبيعي المعمم غير المتماثل عائلة من التوزيعات الاحتمالية المستمرة، حيث يُمكن استخدام مُعامل الشكل لإدخال عدم التماثل أو الالتواء. [ 14 ] [ 15 ] عندما يكون مُعامل الشكل صفرًا، ينتج التوزيع الطبيعي. تُؤدي القيم الموجبة لمُعامل الشكل إلى توزيعات ملتوية لليسار ومحدودة من اليمين، بينما تُؤدي القيم السالبة لمُعامل الشكل إلى توزيعات ملتوية لليمين ومحدودة من اليسار. فقط عندما يكون مُعامل الشكل صفرًا تكون دالة الكثافة لهذا التوزيع موجبة على كامل خط الأعداد الحقيقية: في هذه الحالة يكون التوزيع توزيعًا طبيعيًا ، وإلا فإن التوزيعات تكون توزيعات لوغاريتمية طبيعية مُزاحة، وربما معكوسة .

تقدير المعلمات

يمكن تقدير المعلمات باستخدام تقدير الاحتمال الأقصى أو طريقة العزوم. لا توجد صيغة مغلقة لتقديرات المعلمات، لذا يجب استخدام الحسابات العددية لحسابها. وبما أن فضاء العينة (مجموعة الأعداد الحقيقية التي تكون فيها الكثافة غير صفرية) يعتمد على القيمة الحقيقية للمعلمة، فإن بعض النتائج القياسية المتعلقة بأداء تقديرات المعلمات لن تنطبق تلقائيًا عند التعامل مع هذه المجموعة.

التطبيقات

يمكن استخدام التوزيع الطبيعي المعمم غير المتماثل لنمذجة القيم التي قد تتبع التوزيع الطبيعي، أو التي قد تكون ملتوية نحو اليمين أو اليسار بالنسبة للتوزيع الطبيعي. يُعد التوزيع الطبيعي الملتوي توزيعًا آخر مفيدًا لنمذجة الانحرافات عن التوزيع الطبيعي الناتجة عن الالتواء. تشمل التوزيعات الأخرى المستخدمة لنمذجة البيانات الملتوية توزيعات جاما ، واللوغاريتم الطبيعي ، وويبول ، ولكنها لا تشمل التوزيعات الطبيعية كحالات خاصة.

تباعد كولباك-لايبير بين دالتي كثافة الاحتمال

يُعد تباعد كولباك-لايبير (KLD) طريقة تُستخدم لحساب التباعد أو التشابه بين دالتي كثافة احتمالية. [ 16 ]

يتركP(x){\displaystyle P(x)}وسؤال(x){\displaystyle Q(x)}توزيعان غاوسيان معممان بمعاملاتα1،β1،μ1{\displaystyle \alpha _{1},\beta _{1},\mu _{1}}وα2،β2،μ2{\displaystyle \alpha _{2},\beta _{2},\mu _{2}}رهناً بالقيدμ1=μ2=0{\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}[ 17 ] ثم يُعطى هذا التباعد بالصيغة التالية :

كلدصدو(P(x)∥سؤال(x))=-1β1+(α1α2)β2Γ(1+β2β1)Γ(1β1)+سجل⁡(α2Γ(1+1β2)α1Γ(1+1β1)){\displaystyle {\rm {KLD_{pdf}}}(P(x)\parallel Q(x))=-{\frac {1}{\beta _{1}}}+{\frac {({\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}}})^{\beta _{2}}\Gamma ({\frac {1+\beta _{2}}{\beta _{1}}})}{\Gamma ({\frac {1}{\beta _{1}}})}}+\log \left({\frac {\alpha _{2}\Gamma (1+{\frac {1}{\beta _{2}}})}{\alpha _{1}\Gamma (1+{\frac {1}{\beta _{1}}})}}\right)}

تُعدّ عائلتا التوزيع الطبيعي المعممتان الموصوفتان هنا، مثل عائلة التوزيع الطبيعي المائل ، عائلاتٍ بارامترية تُوسّع التوزيع الطبيعي بإضافة مُعامل شكل. ونظرًا للدور المحوري للتوزيع الطبيعي في الاحتمالات والإحصاء، يُمكن وصف العديد من التوزيعات من خلال علاقتها بالتوزيع الطبيعي. فعلى سبيل المثال، يُعرَّف التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، والتوزيع الطبيعي المطوي ، والتوزيع الطبيعي العكسي على أنها تحويلات لقيمة موزعة توزيعًا طبيعيًا، ولكن على عكس عائلتي التوزيع الطبيعي المعمم والتوزيع الطبيعي المائل، لا تتضمن هذه التوزيعات التوزيع الطبيعي كحالات خاصة.

في الواقع، جميع التوزيعات ذات التباين المحدود ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالتوزيع الطبيعي في النهاية. كما أن توزيع Student-t وتوزيع Irwin-Hall وتوزيع Bates هي امتدادات للتوزيع الطبيعي، وتشمله في النهاية. لذا، لا يوجد سبب وجيه لتفضيل التوزيع الطبيعي "المعمم" من النوع الأول، على سبيل المثال، على مزيج من توزيع Student-t وتوزيع Irwin-Hall الموسع والمعياري - وهذا يشمل، على سبيل المثال، التوزيع المثلثي (الذي لا يمكن نمذجته بواسطة التوزيع الغاوسي المعمم من النوع الأول).

يمكن اشتقاق توزيع متماثل يمكنه نمذجة كل من الذيل (الطويل والقصير) وسلوك المركز (مثل المسطح أو المثلث أو الغاوسي) بشكل مستقل تمامًا، على سبيل المثال باستخدام X = IH/ χ    .

يسمح توزيع Tukey g و h أيضًا بالانحراف عن التوزيع الطبيعي، وذلك من خلال الالتواء والذيل السميك. [ 18 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ غريفين، ماري كلير. "العمل مع توزيع القوة الأسي باستخدام gnorm" . جيت هاب، حزمة gnorm . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 يونيو 2020 .
  2. 1 2 ناداراجا، ساراليس (سبتمبر 2005). "توزيع طبيعي معمّم". مجلة الإحصاء التطبيقي . 32 (7): 685-694 . Bibcode : 2005JApSt..32..685N . doi : 10.1080/02664760500079464 . S2CID 121914682 . 
  3. ↑ سوبوتين، إم تي (1923). "حول قانون تواتر الخطأ" . مجموعة الرياضيات . 31 (2): 296-301 . مؤرشف من الأصل في 2024-10-06 . تم الاسترجاع في 2025-12-05 .
  4. 1 2 3 فاراناسي، ماهيش ك.؛ آزهانغ، بهنام (1989-10-01). "تقدير الكثافة الغاوسية المعممة البارامترية". مجلة الجمعية الصوتية الأمريكية . 86 (4): 1404-1415 . Bibcode : 1989ASAJ...86.1404V . doi : 10.1121/1.398700 . ISSN 0001-4966 . 
  5. ^ دومينغيز مولينا، ج. أرماندو؛ González-Farías, غراسييلا ; Rodríguez-Dagnino، Ramón M. “إجراء عملي لتقدير معلمة الشكل في التوزيع الغوسي المعمم” (PDF) . مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 28-09-2007 . تم الاسترجاع 2009-03-03 .
  6. ↑ دو، إم إن؛ فيترلي، إم. (فبراير 2002). "استرجاع النسيج باستخدام الكثافة الغاوسية المعممة ومسافة كولباك-لايبير" . معاملات IEEE في معالجة الصور . 11 (2): 146-158 . Bibcode : 2002ITIP...11..146D . doi : 10.1109/83.982822 . PMID 18244620 . 
  7. ↑ ليانغ، فامينغ؛ ليو، تشوانهاي؛ وانغ، نايسين (أبريل 2007). "طريقة بايزية تسلسلية قوية لتحديد الجينات ذات التعبير التفاضلي" . مجلة الإحصاء الصينية . 17 (2): 571-597 . مؤرشف من الأصل في 9 أكتوبر 2007. تم الاطلاع عليه في 3 مارس 2009 .
  8. ↑ بوكس، جورج إي بي ؛ تياو، جورج سي. (1992). الاستدلال البايزي في التحليل الإحصائي . نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-471-57428-6.
  9. ↑ ميلدر، أفرام ل. (2021). دوال توزيع سرعة الإلكترون وتشتت طومسون (أطروحة دكتوراه). جامعة روتشستر. hdl : 1802/36536 .
  10. 1 2 ديتسو، أليكس؛ بوستين، رونيت؛ بور، هـ. فنسنت؛ شماي، شلومو (2018). "الخصائص التحليلية لتوزيعات غاوس المعممة" . مجلة التوزيعات الإحصائية وتطبيقاتها . 5 (1): 6. doi : 10.1186/s40488-018-0088-5 .
  11. ↑ بوخنر، سالومون (1937). "قوانين الاحتمال المستقرة والدوال الرتيبة تمامًا" . مجلة ديوك الرياضية . 3 (4): 726-728 . doi : 10.1215/s0012-7094-37-00360-0 .
  12. ↑ سينز، فابيان؛ جيروين، سيباستيان؛ بيثج، ماتياس (مايو 2009). "توصيف التوزيع الطبيعي المعمم من الرتبة p" . مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 100 (5): 817-820 . doi : 10.1016/j.jmva.2008.07.006 .
  13. ↑ كاك، م. (1939). "حول توصيف التوزيع الطبيعي". المجلة الأمريكية للرياضيات . 61 (3): 726-728 . doi : 10.2307/2371328 . JSTOR 2371328 . 
  14. ↑ هوسكينغ، جيه آر إم، وواليس، جيه آر (1997) تحليل التردد الإقليمي: منهج قائم على العزوم-L ، مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-43045-3القسم أ.8
  15. ↑ وثائق حزمة lmomco R
  16. ↑ كولباك، س.؛ ليبيلر، ر. أ. (1951). "حول المعلومات والكفاية" . حوليات الإحصاء الرياضي . 22 (1): 79-86 . doi : 10.1214/aoms/1177729694 .
  17. ↑ كوينتيرو-رينكون، أ.؛ بيريرا، م.؛ دي جيانو، س.؛ باتاتيا، هـ.؛ ريسك، م. (2017). "طريقة بصرية للكشف عن الصرع باستخدام تخطيط كهربية الدماغ تعتمد على التمثيل الإحصائي للمويجات وتباعد كولباك-لايبير". المؤتمر اللاتيني الأمريكي السابع للهندسة الطبية الحيوية CLAIB 2016، بوكارامانغا، سانتاندير، كولومبيا، 26-28 أكتوبر 2016. وقائع الاتحاد الدولي للهندسة الطبية الحيوية. المجلد 60. الصفحات 13-16 . doi : 10.1007/978-981-10-4086-3_4 . hdl : 11336/77054 . ISBN   978-981-10-4085-6.
  18. ↑ توزيع توكي g-and-h ، يوان يان، مارك ج. جينتون، الأهمية، المجلد 16، العدد 3، يونيو 2019، الصفحات 12-13، doi : 10.1111/j.1740-9713.2019.01273.x