توزيع طبيعي ملتوٍ

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، فإن التوزيع الطبيعي المائل هو توزيع احتمالي مستمر يعمم التوزيع الطبيعي للسماح بالانحراف غير الصفري .

يترك${\displaystyle \phi (x)}$يرمز إلى دالة كثافة الاحتمال الطبيعي القياسي$${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$$ مع دالة التوزيع التراكمي المعطاة بواسطة $${\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ \mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right],}$$

حيث "erf" هي دالة الخطأ . ثم دالة كثافة الاحتمال (pdf) للتوزيع الطبيعي المائل ذي المعلمة${\displaystyle \alpha }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,}$$

تم تقديم هذا التوزيع لأول مرة من قبل أوهيغان وليونارد (1976). ^{[ 1 ] وقد قدم عاشور وعبد الحميد [ 2 ]} ومودولكار وهوتسون ^{[ 3 ]} صيغًا بديلة لهذا التوزيع، مع دالة الكمية المقابلة.

وصف أندل ونيتوكا وزفارا (1984) عملية عشوائية تدعم هذا التوزيع. ^{[ 4 ]} وكان كل من التوزيع والعملية العشوائية التي يدعمها نتيجةً لحجة التناظر التي طُورت في تشان وتونغ (1986)، ^{[ 5 ]} والتي تنطبق على الحالات متعددة المتغيرات التي تتجاوز التوزيع الطبيعي، مثل توزيع t متعدد المتغيرات المائل، وغيره. ويُعد هذا التوزيع حالة خاصة من فئة عامة من التوزيعات ذات دوال كثافة احتمالية على الشكل التالي:${\displaystyle f(x)=2\phi (x)\Phi (x)}$أين${\displaystyle \phi (\cdot )}$هل أي دالة كثافة احتمالية متناظرة حول الصفر؟${\displaystyle \Phi (\cdot )}$^{[ 6 ]} هي أي دالة توزيع تراكمي تكون دالة كثافة الاحتمال الخاصة بها متناظرة حول الصفر.

لإضافة معلمات الموقع والمقياس إلى ذلك ، يتم إجراء التحويل المعتاد${\displaystyle x\rightarrow {\frac {x-\xi }{\omega }}}$يمكن التحقق من استعادة التوزيع الطبيعي عندما${\displaystyle \alpha =0}$وأن القيمة المطلقة للانحراف تزداد مع ازدياد القيمة المطلقة لـ${\displaystyle \alpha }$تزداد. يكون التوزيع ملتويًا نحو اليمين إذا${\displaystyle \alpha >0}$ويبقى منحرفًا إذا${\displaystyle \alpha <0}$دالة كثافة الاحتمال مع الموقع${\displaystyle \xi }$، حجم${\displaystyle \omega }$، والمعامل${\displaystyle \alpha }$يصبح $${\displaystyle f(x)={\frac {2}{\omega }}\phi {\left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}\,\Phi {\left(\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\right)}.}$$ الانحراف (${\displaystyle \gamma _{1}}$يقتصر جزء من التوزيع على أقل بقليل من الفترة${\displaystyle (-1,1)}$.

كما تم توضيحه، ^{[ 7 ]} النمط (الحد الأقصى)${\displaystyle m_{o}}$يُعدّ جزء من التوزيع فريدًا. بشكل عام${\displaystyle \alpha }$لا يوجد تعبير تحليلي لـ${\displaystyle m_{o}}$لكن التقريب (العددي) الدقيق هو:

$$\begin{aligned}\delta &=\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}\\m_{o}(\alpha )&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\delta -\left(1-{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\delta \right)^{3}}{1-{\frac {2}{\pi }}\delta ^{2}}}-{\frac {\mathrm {sgn} (\alpha )}{2}}e^{-{\frac {2\pi }{|\alpha |}}}\\\end{aligned}}}$$

تقديرات الاحتمال الأقصى لـ${\displaystyle \xi }$،${\displaystyle \omega }$، و${\displaystyle \alpha }$يمكن حسابها عدديًا، ولكن لا يوجد تعبير مغلق للتقديرات متاح إلا إذا${\displaystyle \alpha =0}$في المقابل، تتميز طريقة العزوم بصيغة مغلقة، حيث يمكن عكس معادلة الانحراف باستخدام

$${\displaystyle |\delta |={\sqrt {{\frac {\pi }{2}}{\frac {\left|\gamma _{1}\right|^{2/3}}{\left|\gamma _{1}\right|^{2/3}+\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)^{2/3}}}}}}$$

أين${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}}$وعلامة${\displaystyle \delta }$هو نفسه علامة${\displaystyle \gamma _{1}}$. بالتالي،${\displaystyle \alpha ={\frac {\delta }{\sqrt {1-\delta ^{2}}}}}$،${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma }{\sqrt {1-2\delta ^{2}/\pi }}}}$، و${\displaystyle \xi =\mu -\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$أين${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \sigma }$يمثل المتوسط ​​والانحراف المعياري. طالما أن معامل التواء العينة${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{1}}$إذا لم يكن الحجم كبيرًا جدًا، فإن هذه الصيغ توفر تقديرات طريقة العزوم${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$،${\displaystyle {\hat {\أوميغا }}}$، و${\displaystyle {\hat {\xi }}}$بناءً على عينة${\displaystyle {\hat {\mu }}}$،${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$، و${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{1}}$.

يتم الحصول على أقصى انحراف (نظري) عن طريق تحديد${\displaystyle {\delta =1}}$في معادلة الالتواء، مما يعطي${\displaystyle \gamma _{1}\approx 0.9952717}$ومع ذلك، من المحتمل أن يكون انحراف العينة أكبر، وعندها${\displaystyle \alpha }$لا يمكن تحديدها من هذه المعادلات. عند استخدام طريقة العزوم بشكل تلقائي، على سبيل المثال لإعطاء قيم ابتدائية لتكرار الاحتمال الأقصى، ينبغي بالتالي أن نفرض (على سبيل المثال)${\textstyle \left|{\hat {\gamma }}_{1}\right|=\min \left(0.99,\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i}{((x_{i}-{\hat {\mu }})/{\hat {\sigma }})^{3}}\right|\right)}$.

وقد أُثيرت مخاوف بشأن استنتاج التوزيعات الطبيعية الملتوية باستخدام المعلمات المباشرة. ^{[ 8 ]}

يُعد التوزيع الطبيعي المُعدَّل أُسِّيًّا توزيعًا آخر بثلاثة معلمات، وهو تعميم للتوزيع الطبيعي ليشمل الحالات الملتوية. يحتفظ التوزيع الطبيعي الملتوي بذيل يشبه التوزيع الطبيعي في اتجاه الالتواء، مع ذيل أقصر في الاتجاه المعاكس؛ أي أن كثافته تتناسب تقاربًا مع${\displaystyle e^{-kx^{2}}}$لبعض الإيجابيات${\displaystyle k}$وبالتالي، من حيث حالات العشوائية السبع ، فإنه يُظهر "عشوائية معتدلة مناسبة". في المقابل، يمتلك التوزيع الطبيعي المُعدَّل أُسِّيًّا ذيلًا أُسِّيًّا في اتجاه الانحراف؛ وتتناسب كثافته تقاربًا مع${\displaystyle e^{-k|x|}}$وبنفس المصطلحات، فإنه يُظهر "عشوائية طفيفة على الحدود".

وبالتالي، فإن التوزيع الطبيعي المائل مفيد لنمذجة التوزيعات الملتوية التي لا تحتوي مع ذلك على قيم متطرفة أكثر من التوزيع الطبيعي، في حين أن التوزيع الطبيعي المعدل أُسّيًا مفيد للحالات التي تزداد فيها نسبة القيم المتطرفة في اتجاه واحد فقط.

• التوزيع الطبيعي المعمم
• التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

• التوزيع الطبيعي المائل متعدد المتغيرات مع تطبيق على كتلة الجسم والطول ومؤشر كتلة الجسم
• مقدمة موجزة جداً عن التوزيع الطبيعي المائل
• توزيع الاحتمال الطبيعي المائل (والتوزيعات ذات الصلة، مثل توزيع t المائل)
• أوينز: دالة أوينز تي، مؤرشفة بتاريخ 14 يونيو 2010 في أرشيف الإنترنت
• التوزيعات المغلقة المائلة - المحاكاة، والانعكاس، وتقدير المعلمات