التوزيع الطبيعي المطوي

دالة كثافة الاحتمال (PDF) معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle f_{Y}(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x+\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

لـ x ≥ 0، و 0 في أي مكان آخر. ويُعطى صياغة بديلة بواسطة

${\displaystyle f\left(x\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {\left(x^{2}+\mu ^{2}\right)}{2\sigma ^{2}}}}\cosh {\left({\frac {\mu x}{\sigma ^{2}}}\right)}}$،

حيث cosh هي دالة جيب التمام الزائدية . وبناءً على ذلك، فإن دالة التوزيع التراكمي (CDF) تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle F_{Y}(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {x+\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)+{\mbox{erf}}\left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]}$

لـ x ≥ 0، حيث erf() هي دالة الخطأ . يُختزل هذا التعبير إلى دالة التوزيع التراكمي للتوزيع نصف الطبيعي عندما μ = 0.

إذن، يكون متوسط ​​التوزيع المطوي هو

$\displaystyle \mu _{Y}=\sigma {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\,\exp \left({\frac {-\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)+\mu \,{\mbox{erf}}\left({\frac {\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)}$

أو

${\displaystyle \mu _{Y}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sigma e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+\mu \left[1-2\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)\right]}$

أين${\displaystyle \Phi }$هي دالة التوزيع التراكمي الطبيعي :

${\displaystyle \Phi (x)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$

ويمكن التعبير عن التباين بسهولة بدلالة المتوسط:

${\displaystyle \sigma _{Y}^{2}=\mu ^{2}+\sigma ^{2}-\mu _{Y}^{2}.}$

المنوال في التوزيع هو قيمة${\displaystyle x}$والتي تكون عندها الكثافة في أعلى قيمة لها. ولإيجاد هذه القيمة، نشتق الكثافة بالنسبة إلى${\displaystyle x}$ونجعلها تساوي صفرًا. لسوء الحظ، لا توجد صيغة مغلقة. مع ذلك، يمكننا كتابة المشتقة بطريقة أفضل، فنحصل في النهاية على معادلة غير خطية.

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=0\Rightarrow -{\frac {\left(x-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}-{\frac {\left(x+\mu \right)}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}=0}$

${\displaystyle x\left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]-\mu \left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}-e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]=0}$

${\displaystyle x\left(1+e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}\right)-\mu \left(1-e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}\right)=0}$

${\displaystyle \left(\mu +x\right)e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}=\mu -x}$

${\displaystyle x=-{\frac {\sigma ^{2}}{2\mu }}\log {\frac {\mu -x}{\mu +x}}}$.

لاحظ تساغريس وآخرون (2014) من خلال دراسة عددية أنه عندما${\displaystyle \mu <\sigma }$يتحقق الحد الأقصى عندما${\displaystyle x=0}$ومتى${\displaystyle \mu }$يصبح أكبر من${\displaystyle 3\sigma }$، يقترب الحد الأقصى${\displaystyle \mu }$هذا أمر متوقع، إذ في هذه الحالة، يتقارب التوزيع الطبيعي المطوي مع التوزيع الطبيعي. ولتجنب أي مشاكل تتعلق بالتباينات السالبة، يُقترح رفع قيمة المعامل إلى الأس. أو يمكنك إضافة قيد، كأن يكون إذا اختار المُحسِّن تباينًا سالبًا، فإن قيمة دالة الاحتمال اللوغاريتمي تكون غير متاحة (NA) أو قيمة صغيرة جدًا.

• الدالة المميزة معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle \varphi _{x}\left(t\right)=e^{{\frac {-\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+i\mu t}\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+i\sigma t\right)+e^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-i\mu t}\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+i\sigma t\right)}$.

• دالة توليد العزوم معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle M_{x}\left(t\right)=\varphi _{x}\left(-it\right)=e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t}\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)}$.

• دالة توليد العزوم التراكمية معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle K_{x}\left(t\right)=\log {M_{x}\left(t\right)}=\left({\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t\right)+\log {\left\lbrace 1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)\right]\right\rbrace }}$.

• يُعطى تحويل لابلاس بالصيغة التالية

${\displaystyle E\left(e^{-tx}\right)=e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]}$.

• يُعطى تحويل فورييه بالصيغة التالية

${\displaystyle {\hat {f}}\left(t\right)=\varphi _{x}\left(-2\pi t\right)=e^{{\frac {-4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]+e^{-{\frac {4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]}$.

توجد عدة طرق لتقدير معلمات التوزيع الطبيعي المطوي. جميعها في جوهرها إجراءات تقدير الاحتمال الأقصى، ولكن في بعض الحالات، يتم إجراء تعظيم عددي، بينما في حالات أخرى، يتم البحث عن جذر معادلة. لوغاريتم الاحتمال للتوزيع الطبيعي المطوي عند أخذ عينة${\displaystyle x_{i}}$من الحجم${\displaystyle n}$يمكن كتابة عبارة "متوفر" بالطريقة التالية

${\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]}}$

${\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\left(1+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\right]}}$

${\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left(1+e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}\right)}}$

في لغة البرمجة R ، باستخدام حزمة Rfast ، يمكن الحصول على تقدير الاحتمال الأقصى (MLE) بسرعة كبيرة (باستخدام الأمر `Rfast` foldnorm.mle). بدلاً من ذلك، يمكن استخدام الأمر `optim` أو `nlm` لملاءمة هذا التوزيع. عملية التعظيم سهلة، نظرًا لوجود معلَمين (${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \sigma ^{2}}$() متضمنة. لاحظ أن القيم الموجبة والسالبة لـ${\displaystyle \mu }$مقبولة، لأن${\displaystyle \mu }$ينتمي هذا العدد إلى خط الأعداد الحقيقية، لذا فإن الإشارة غير مهمة لأن التوزيع متناظر بالنسبة له. الكود التالي مكتوب بلغة R.

دالة folded <- function ( y ) {## y هو متجه يحتوي على بيانات موجبة n <- طول ( y ) ## حجم العينة sy2 <- مجموع ( y ^ 2 )سام <- وظيفة ( الفقرة , n , sy2 ) { لي <- الفقرة [ 1 ] ; se <- exp ( الفقرة [ 2 ] ) f <- - n / 2 * log ( 2 / pi / se ) + n * me ^ 2 / 2 / se + sy2 / 2 / se - sum ( log ( cosh ( me * y / se ) ) ) f }mod <- optim ( c ( mean ( y ), sd ( y ) ), n = n , sy2 = sy2 , sam , control = list ( maxit = 2000 ) ) mod <- optim ( mod $ par , sam , n = n , sy2 = sy2 , control = list ( maxit = 20000 ) ) result <- c ( - mod $ value , mod $ par [ 1 ], exp ( mod $ par [ 2 ]) ) names ( result ) <- c ( "log-likelihood" , "mu" , "sigma squared" ) result}

تُكتب المشتقات الجزئية للوغاريتم الاحتمالية على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}e^{\frac {-2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}{1+e^{\frac {-2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}\ \ {\text{and}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \sigma ^{2}}}=-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{4}}}+{\frac {2\mu }{\sigma ^{4}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}{1+e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \sigma ^{2}}}=-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{4}}}+{\frac {2\mu }{\sigma ^{4}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}}$.

بمساواة المشتقة الجزئية الأولى للوغاريتم الاحتمالية بالصفر، نحصل على علاقة جيدة

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{2}}}$.

لاحظ أن المعادلة أعلاه لها ثلاثة حلول، أحدها عند الصفر واثنان آخران بإشارة معاكسة. بالتعويض في المعادلة أعلاه، نحصل على المشتقة الجزئية للوغاريتم الاحتمالية بالنسبة إلى${\displaystyle \sigma ^{2}}$وبمساواتها بالصفر، نحصل على التعبير التالي للتباين

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{n}}+{\frac {2\mu \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}-\mu ^{2}\right)}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n}}-\mu ^{2}}$،

وهي نفس الصيغة المستخدمة في التوزيع الطبيعي . والفرق الرئيسي هنا هو أن${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \sigma ^{2}}$ليست مستقلة إحصائيًا. يمكن استخدام العلاقات المذكورة أعلاه للحصول على تقديرات الاحتمال الأقصى بطريقة تكرارية فعالة. نبدأ بقيمة أولية لـ${\displaystyle \sigma ^{2}}$وأوجد الجذر الموجب (${\displaystyle \mu }$) من المعادلة الأخيرة. ثم نحصل على قيمة محدثة لـ${\displaystyle \sigma ^{2}}$تُكرر هذه العملية حتى يصبح التغير في قيمة دالة الاحتمال اللوغاريتمي ضئيلاً. ثمة طريقة أخرى أسهل وأكثر كفاءة وهي استخدام خوارزمية بحث. لنكتب المعادلة الأخيرة بطريقة أكثر أناقة.

${\displaystyle 2\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}\left(1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}\right)}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}+n\mu =0}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}\left(1-e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}\right)}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}+n\mu =0}$.

يتضح أن تحسين دالة الاحتمال اللوغاريتمي بالنسبة للمعاملين قد تحول إلى بحث عن جذور دالة. وهذا بالطبع مطابق للبحث السابق عن الجذور. وقد لاحظ تساغريس وآخرون (2014) وجود ثلاثة جذور لهذه المعادلة.${\displaystyle \mu }$أي أن هناك ثلاث قيم محتملة لـ${\displaystyle \mu }$التي تحقق هذه المعادلة.${\displaystyle -\mu }$و${\displaystyle +\mu }$، وهي تقديرات الاحتمال الأقصى و 0 ، والتي تتوافق مع الحد الأدنى للاحتمال اللوغاريتمي.