التوزيع نصف الطبيعي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، يعتبر التوزيع نصف الطبيعي حالة خاصة من التوزيع الطبيعي المطوي .

يترك${\displaystyle X}$تتبع التوزيع الطبيعي العادي ،${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$. ثم،${\displaystyle Y=|X|}$يتبع التوزيع نصف الطبيعي. وبالتالي، فإن التوزيع نصف الطبيعي هو طية عند المتوسط ​​لتوزيع طبيعي عادي متوسطه صفر.

باستخدام${\displaystyle \sigma }$في عملية تحديد معلمات التوزيع الطبيعي، تُعطى دالة كثافة الاحتمال (PDF) للتوزيع نصف الطبيعي بالصيغة التالية:

${\displaystyle f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad y\geq 0,}$

أين${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$.

أو بدلاً من ذلك، يمكن استخدام معلمات الدقة المُقاسة (معكوس التباين) لتجنب المشاكل إذا${\displaystyle \sigma }$(تقترب من الصفر)، يتم الحصول عليها عن طريق وضع${\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}}$دالة كثافة الاحتمال معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)\quad y\geq 0,}$

أين${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}}$.

دالة التوزيع التراكمي (CDF) معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx}$

باستخدام تغيير المتغيرات${\displaystyle z=x/({\sqrt {2}}\sigma )}$يمكن كتابة دالة التوزيع التراكمي على النحو التالي:

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp \left(-z^{2}\right)dz=\operatorname {erf} \left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

حيث أن erf هي دالة الخطأ ، وهي دالة قياسية في العديد من حزم البرامج الرياضية.

تُكتب دالة الكمية (أو دالة التوزيع التراكمي العكسي) على النحو التالي:

${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$

أين${\displaystyle 0\leq F\leq 1}$و${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}}$هي دالة الخطأ العكسية

ويُعطى التوقع بعد ذلك بواسطة

${\displaystyle E[Y]=\sigma {\sqrt {2/\pi }},}$

يُعطى التباين بواسطة

${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).}$

بما أن هذا يتناسب مع التباين σ ² لـ X ، يمكن اعتبار σ بمثابة معلمة مقياس للتوزيع الجديد.

إن الإنتروبيا التفاضلية للتوزيع نصف الطبيعي أقل ببت واحد بالضبط من الإنتروبيا التفاضلية للتوزيع الطبيعي ذي المتوسط ​​الصفري والذي له نفس العزم الثاني حول  الصفر. ويمكن فهم ذلك بديهيًا لأن عامل القيمة المطلقة يقلل المعلومات بمقدار بت واحد (إذا كان التوزيع الاحتمالي عند مدخله زوجيًا). وبدلاً من ذلك، بما أن التوزيع نصف الطبيعي يكون دائمًا موجبًا، فإن البت الواحد اللازم لتسجيل ما إذا كان متغير عشوائي طبيعي قياسي موجبًا (مثلاً، 1) أو سالبًا (مثلاً، 0) لم يعد ضروريًا. وبالتالي،

${\displaystyle h(Y)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left({\frac {\pi e\sigma ^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1.}$

يُستخدم التوزيع نصف الطبيعي عادةً كتوزيع احتمالي مسبق لمعاملات التباين في تطبيقات الاستدلال البايزي . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

الأرقام المعطاة${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$يتم سحب المعلمة المجهولة من توزيع نصف طبيعي${\displaystyle \sigma }$يمكن تقدير هذا التوزيع باستخدام طريقة الاحتمال الأقصى ، مما يعطي

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

الانحياز يساوي

${\displaystyle b\equiv \operatorname {E} {\bigg [}\;({\hat {\sigma }}_{\mathrm {mle} }-\sigma )\;{\bigg ]}=-{\frac {\sigma }{4n}}}$

مما ينتج عنه مقدر الاحتمال الأقصى المصحح للتحيز

${\displaystyle {\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}^{*}={\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}-{\hat {b\,}}.}$

• يُعد هذا التوزيع حالة خاصة من التوزيع الطبيعي المطوي حيث μ  =  0.
• ويتزامن ذلك أيضاً مع توزيع طبيعي بمتوسط ​​صفري مقطوع من الأسفل عند الصفر (انظر التوزيع الطبيعي المقطوع ).
• إذا كان Y له توزيع نصف طبيعي، فإن ( Y / σ ) ² له توزيع مربع كاي بدرجة حرية واحدة، أي أن Y / σ له توزيع مربع كاي بدرجة حرية واحدة.
• يُعد التوزيع نصف الطبيعي حالة خاصة من توزيع جاما المعمم حيث d  =  1، p  =  2، a  = ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sigma }$.
• إذا كان Y يتبع توزيعًا نصف طبيعي، فإن Y ^-2 يتبع توزيع ليفي
• يُعد توزيع رايلي تعميمًا مائلًا ومقياسًا للعزوم لتوزيع نصف الطبيعي.
• التوزيع الطبيعي النصفي المعدل

• توزيع نصف t
• التوزيع الطبيعي المبتور
• التوزيع الطبيعي المطوي
• التوزيع الغاوسي المعدل

• ليون، إف سي؛ نيلسون، إل إس؛ نوتنغهام، آر بي (1961)، "التوزيع الطبيعي المطوي"، تكنومتركس ، 3 (4): 543-550 ، doi : 10.2307/1266560 ، hdl : 2027/mdp.39015095248541 ، JSTOR 1266560 

• التوزيع نصف الطبيعي في عالم الرياضيات

(لاحظ أن MathWorld يستخدم المعامل${\displaystyle \theta ={\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\pi /2}}}$