توزيع جاما المعمم

يُعدّ توزيع غاما المعمم توزيعًا احتماليًا متصلًا ذو مُعاملَي شكل (ومُعامل مقياس ). وهو تعميم لتوزيع غاما الذي له مُعامل شكل واحد (ومُعامل مقياس). ولأن العديد من التوزيعات الشائعة الاستخدام في النماذج البارامترية لتحليل البقاء (مثل التوزيع الأسي ، وتوزيع ويبول ، وتوزيع غاما ) هي حالات خاصة من توزيع غاما المعمم، فإنه يُستخدم أحيانًا لتحديد النموذج البارامتري الأنسب لمجموعة بيانات مُعينة. ^{[ 1 ]} ومن الأمثلة الأخرى التوزيع نصف الطبيعي .

يحتوي توزيع جاما المعمم على معاملين للشكل ، ${\displaystyle d>0}$و${\displaystyle p>0}$ومعامل قياس ،${\displaystyle a>0}$بالنسبة لقيم x غير السالبة من توزيع جاما المعمم، فإن دالة كثافة الاحتمال هي ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},}$

أين${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$يرمز إلى دالة جاما .

دالة التوزيع التراكمي هي

${\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}},{\text{or}}\,P\left({\frac {d}{p}},\left({\frac {x}{a}}\right)^{p}\right);}$

أين${\displaystyle \gamma (\cdot )}$يرمز إلى دالة غاما غير الكاملة الدنيا ، و${\displaystyle P(\cdot ,\cdot )}$يشير إلى دالة غاما غير الكاملة السفلية المنتظمة .

يمكن إيجاد دالة الكمية من خلال ملاحظة أن${\displaystyle F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})}$أين${\displaystyle G}$هي دالة التوزيع التراكمي لتوزيع جاما ذي المعاملات${\displaystyle \alpha =d/p}$و${\displaystyle \beta =1}$ثم تُعطى دالة الكمية عن طريق عكس${\displaystyle F}$باستخدام العلاقات المعروفة حول معكوس الدوال المركبة ، ينتج ما يلي:

${\displaystyle F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot {\big [}G^{-1}(q){\big ]}^{1/p},}$

مع${\displaystyle G^{-1}(q)}$حيث تمثل دالة الكمية لتوزيع جاما مع${\displaystyle \alpha =d/p,\,\beta =1}$.

• لو${\displaystyle d=p}$ثم يصبح توزيع جاما المعمم هو توزيع ويبول .
• لو${\displaystyle p=1}$يصبح توزيع غاما المعمم هو توزيع غاما .
• لو${\displaystyle p=d=1}$ثم يصبح التوزيع أسياً .
• لو${\displaystyle p=d=2}$ثم يصبح توزيع رايلي .
• لو${\displaystyle p=2}$و${\displaystyle d=2m}$ثم يصبح توزيع ناكاجامي .
• لو${\displaystyle p=2}$و${\displaystyle d=1}$ثم يصبح توزيعًا نصف طبيعي .

تُستخدم أحيانًا صيغ بديلة لهذا التوزيع؛ على سبيل المثال، مع الاستبدال α  =  d/p . ^{[ 3 ]} بالإضافة إلى ذلك، يمكن إضافة مُعامل إزاحة، بحيث يبدأ نطاق x من قيمة غير الصفر. ^{[ 3 ]} إذا رُفعت القيود المفروضة على إشارات a و d و p (مع بقاء α = d / p موجبة)، فإن هذا يُعطي توزيعًا يُسمى توزيع أموروزو ، نسبةً إلى عالم الرياضيات والاقتصاد الإيطالي لويجي أموروزو الذي وصفه عام 1925. ^{[ 4 ]}

إذا كان X له توزيع جاما معمّم كما هو مذكور أعلاه، فإن ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.}$

لنرمز إلى GG(a,d,p) بتوزيع غاما المعمم للمعاملات a و d و p . عندئذٍ، بمعلومية${\displaystyle c}$و${\displaystyle \alpha }$عددان حقيقيان موجبان، إذا${\displaystyle f\sim GG(a,d,p)}$، ثم ${\displaystyle cf\sim GG(ca,d,p)}$و ${\displaystyle f^{\alpha }\sim GG\left(a^{\alpha },{\frac {d}{\alpha }},{\frac {p}{\alpha }}\right)}$.

لو${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle f_{2}}$إذا كانت دالتا كثافة الاحتمال لتوزيعين غاما معممين، فإن تباعد كولباك-لايبير بينهما يُعطى بالعلاقة التالية:

$\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \psi (\cdot )}$هي دالة ديغاما . ^{[ 5 ]}

في لغة البرمجة R ، توجد بعض الحزم التي تتضمن دوالًا لتركيب وتوليد توزيعات غاما المعممة. تتيح حزمة gamlss في R تركيب وتوليد العديد من عائلات التوزيعات المختلفة، بما في ذلك توزيع غاما المعمم (family=GG). وتشمل الخيارات الأخرى في R، المُطبقة في حزمة flexsurv ، الدالة dgengamma ، مع إمكانية تحديد المعاملات.${\displaystyle \mu =\ln a+{\frac {\ln d-\ln p}{p}}}$،${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}}$،${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {p}{d}}}}$وفي حزمة ggamma مع المعلمات:${\displaystyle a=a}$،${\displaystyle b=p}$،${\displaystyle k=d/p}$.

في لغة البرمجة بايثون ، يتم تنفيذه في حزمة SciPy ، مع تحديد المعلمات:${\displaystyle c=p}$،${\displaystyle a=d/p}$، ومقياس 1.

• توزيع نصف t
• التوزيع الطبيعي المبتور
• التوزيع الطبيعي المطوي
• التوزيع الغاوسي المعدل
• التوزيع الطبيعي النصفي المعدل
• توزيع جاما الصحيح المعمم