التوزيع الغاوسي المعدل

في نظرية الاحتمالات ، يُعدّ التوزيع الغاوسي المُعدَّل تعديلًا للتوزيع الغاوسي عندما تُعاد قيم عناصره السالبة إلى الصفر (على غرار المقوم الإلكتروني ). وهو في جوهره مزيج من توزيع منفصل (قيمة ثابتة تساوي صفرًا) وتوزيع متصل ( توزيع غاوسي مُقتطع ذو فترات).${\displaystyle (0,\infty )}$) نتيجة للرقابة .

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع غاوسي مُعدَّل، حيث تكون المتغيرات العشوائية X التي لها هذا التوزيع مشتقة من التوزيع الطبيعي${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),}$يتم عرضها على النحو التالي: ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})}$، يتم تحديده بواسطة $${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})=\Phi {\left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)}\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).}$$

هنا،${\displaystyle \Phi (x)}$هي دالة التوزيع التراكمي (cdf) للتوزيع الطبيعي القياسي : $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\quad x\in \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle \delta (x)}$دالة ديراك دلتا$${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$$ و،${\displaystyle {\textrm {U}}(x)}$هي دالة الخطوة الوحدية : $${\displaystyle {\textrm {U}}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x>0.\end{cases}}}$$

بما أن التوزيع الطبيعي غير المصحح له متوسط${\displaystyle \mu }$وبما أنه عند تحويلها إلى التوزيع المصحح، فقد تم نقل بعض كتلة الاحتمال إلى قيمة أعلى (من القيم السالبة إلى الصفر)، فإن متوسط ​​التوزيع المصحح يكون أكبر من${\displaystyle \mu .}$

بما أن التوزيع المصحح يتشكل عن طريق تحريك جزء من كتلة الاحتمال نحو الجزء المتبقي منها، فإن التصحيح هو انكماش يحافظ على المتوسط ​​مصحوبًا بإزاحة صلبة للتوزيع تغير المتوسط، وبالتالي ينخفض ​​التباين ؛ لذلك يكون تباين التوزيع المصحح أقل من${\displaystyle \sigma ^{2}.}$

لتوليد القيم حسابيًا، يمكن للمرء استخدام

${\displaystyle s\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\quad x={\textrm {max}}(0,s),}$

وثم

${\displaystyle x\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2}).}$

يُعدّ التوزيع الغاوسي المُعدَّل شبه مترافق مع دالة الاحتمال الغاوسي، وقد طُبِّق مؤخرًا في تحليل العوامل ، أو تحديدًا في تحليل العوامل المُعدَّل (غير السالب). اقترح هارفا ^{[ 1 ]} خوارزمية تعلّم تبايني لنموذج العوامل المُعدَّل، حيث تتبع العوامل مزيجًا من التوزيع الغاوسي المُعدَّل؛ وفي وقت لاحق، اقترح مينغ ^{[ 2 ]} نموذجًا لانهائيًا للعوامل المُعدَّلة مقترنًا بحلّ أخذ عينات جيبس ​​الخاص به، حيث تتبع العوامل مزيجًا من عملية ديريشليه للتوزيع الغاوسي المُعدَّل، وطَبَّقه في علم الأحياء الحاسوبي لإعادة بناء شبكات تنظيم الجينات .

اقترح بالمر وآخرون ^{[ 3 ]} امتدادًا لتوزيع غاوس المصحح ، يسمح بالتصحيح بين حدود دنيا وعليا اختيارية. بالنسبة للحدود الدنيا والعليا${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$على التوالي، دالة التوزيع التراكمي،${\displaystyle F_{R}(x|\mu ,\sigma ^{2})}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle F_{R}(x|\mu ,\sigma ^{2})={\begin{cases}0,&x<a,\\\Phi (x|\mu ,\sigma ^{2}),&a\leq x<b,\\1,&x\geq b,\\\end{cases}}}$

أين${\displaystyle \Phi (x|\mu ,\sigma ^{2})}$دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي بمتوسط${\displaystyle \mu }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$يتم حساب المتوسط ​​والتباين للتوزيع المصحح عن طريق تحويل القيود أولاً لتؤثر على التوزيع الطبيعي القياسي:

${\displaystyle c={\frac {a-\mu }{\sigma }},\qquad d={\frac {b-\mu }{\sigma }}.}$

باستخدام القيود المحولة، والمتوسط ​​والتباين،${\displaystyle \mu _{R}}$و${\displaystyle \sigma _{R}^{2}}$على التوالي، يتم التعبير عنها كما يلي:

${\displaystyle \mu _{t}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{\left(-{\frac {c^{2}}{2}}\right)}-e^{\left(-{\frac {d^{2}}{2}}\right)}\right)+{\frac {c}{2}}\left(1+{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)+{\frac {d}{2}}\left(1-{\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)\right),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{t}^{2}&={\frac {\mu _{t}^{2}+1}{2}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)-{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(\left(d-2\mu _{t}\right)e^{\left(-{\frac {d^{2}}{2}}\right)}-\left(c-2\mu _{t}\right)e^{\left(-{\frac {c^{2}}{2}}\right)}\right)\\&+{\frac {\left(c-\mu _{t}\right)^{2}}{2}}\left(1+{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)+{\frac {\left(d-\mu _{t}\right)^{2}}{2}}\left(1-{\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)\right),\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mu _{R}=\mu +\sigma \mu _{t},}$

${\displaystyle \sigma _{R}^{2}=\sigma ^{2}\sigma _{t}^{2},}$

حيث تمثل erf دالة الخطأ . وقد استخدم بالمر وآخرون هذا التوزيع لنمذجة مستويات الموارد المادية، مثل كمية السائل في وعاء، والتي تكون محدودة بكل من 0 وسعة الوعاء.

• التوزيع الطبيعي المطوي
• التوزيع نصف الطبيعي
• توزيع نصف t
• التوزيع الطبيعي المبتور