توزيع لوغ-كوشي

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 11 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات، يُعرف توزيع لوغ-كوشي بأنه توزيع احتمالي لمتغير عشوائي يتبع لوغاريتمه توزيع كوشي . فإذا كان X متغيرًا عشوائيًا يتبع توزيع كوشي، فإن Y = exp ( X ) يتبع توزيع لوغ-كوشي؛ وبالمثل، إذا كان Y يتبع توزيع لوغ-كوشي، فإن X  =  log( Y ) يتبع توزيع كوشي. [ 1 ]

توصيف

يُعد توزيع لوغ-كوشي حالة خاصة من توزيع لوغ-ت حيث تكون معلمة درجات الحرية مساوية لـ 1. [ 2 ]

دالة كثافة الاحتمال

يتميز توزيع لوغ-كوشي بدالة كثافة احتمالية :

و(x؛μ،σ)=1xπσ[1+(ln⁡x-μσ)2]،  x>0=1xπ[σ(ln⁡x-μ)2+σ2]،  x>0{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,\sigma )&={\frac {1}{x\pi \sigma \left[1+\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]}},\ \ x>0\\&={1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right],\ \ x>0\end{aligned}}}

أينμ{\displaystyle \mu }هو عدد حقيقي وσ>0{\displaystyle \sigma >0}[ 1 ] [ 3 ] إذا​σ{\displaystyle \sigma }إذا كانت معلومة، فإن معامل المقياس هوهـμ{\displaystyle e^{\mu }}[ 1 ]​μ{\displaystyle \mu }وσ{\displaystyle \sigma }يتوافق مع معلمات الموقع ومعلمات المقياس لتوزيع كوشي المرتبط. [ 1 ] [ 4 ] يُعرّف بعض المؤلفينμ{\displaystyle \mu }وσ{\displaystyle \sigma }باعتبارها معلمات الموقع والمقياس، على التوالي، لتوزيع لوغ-كوشي. [ 4 ]

لμ=0{\displaystyle \mu =0}وσ=1{\displaystyle \sigma =1}، بما يتوافق مع توزيع كوشي القياسي، فإن دالة كثافة الاحتمال تختزل إلى: [ 5 ]

و(x؛0،1)=1xπ[1+(ln⁡x)2]،  x>0{\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{x\pi [1+(\ln x)^{2}]}},\ \ x>0}

دالة التوزيع التراكمي

دالة التوزيع التراكمي ( cdf ) عندماμ=0{\displaystyle \mu =0}وσ=1{\displaystyle \sigma =1}هو: [ 5 ]

F(x؛0،1)=12+1πدالة الظل العكسي⁡(ln⁡x)،  x>0{\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0}

وظيفة البقاء

دالة البقاء عندماμ=0{\displaystyle \mu =0}وσ=1{\displaystyle \sigma =1}هو: [ 5 ]

S(x؛0،1)=12-1πدالة الظل العكسي⁡(ln⁡x)،  x>0{\displaystyle S(x;0,1)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0}

معدل الخطر

معدل الخطر عندماμ=0{\displaystyle \mu =0}وσ=1{\displaystyle \sigma =1}هو: [ 5 ]

λ(x؛0،1)={1xπ[1+(ln⁡x)2][12-1πدالة الظل العكسي⁡(ln⁡x)]}-1،  x>0{\displaystyle \lambda (x;0,1)=\left\{{\frac {1}{x\pi \left[1+\left(\ln x\right)^{2}\right]}}\left[{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)\right]\right\}^{-1},\ \ x>0}

ينخفض ​​معدل الخطر في بداية التوزيع ونهايته، ولكن قد تكون هناك فترة يزداد فيها معدل الخطر. [ 5 ]

ملكيات

يُعدّ توزيع لوغ-كوشي مثالًا على التوزيعات ذات الذيل السميك . [ 6 ] ويُصنّفه بعض الباحثين على أنه توزيع "ذي ذيل سميك للغاية"، نظرًا لأن ذيله أثقل من ذيل توزيع باريتو السميك، أي أنه يتناقص لوغاريتميًا . [ 6 ] [ 7 ] وكما هو الحال مع توزيع كوشي، فإن جميع العزوم غير التافهة لتوزيع لوغ-كوشي غير محدودة. [ 5 ] والمتوسط ​​هو عزم ، لذا فإن توزيع لوغ-كوشي لا يمتلك متوسطًا أو انحرافًا معياريًا مُحددًا . [ 8 ] [ 9 ]

توزيع لوغ-كوشي قابل للقسمة بلا حدود لبعض المعاملات دون غيرها. [ 10 ] ومثل التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، وتوزيع لوغاريتم-t، وتوزيع لوغاريتم-ستودنت، وتوزيع ويبول ، يُعد توزيع لوغ-كوشي حالة خاصة من توزيع بيتا المعمم من النوع الثاني . [ 11 ] [ 12 ] في الواقع، يُعد توزيع لوغ-كوشي حالة خاصة من توزيع لوغاريتم-t، تمامًا كما يُعد توزيع كوشي حالة خاصة من توزيع ستودنت بدرجة حرية واحدة. [ 13 ] [ 14 ]

بما أن توزيع كوشي توزيع مستقر ، فإن توزيع لوغ-كوشي هو توزيع لوغاريتمي مستقر. [ 15 ] التوزيعات اللوغاريتمية المستقرة لها أقطاب عند x=0. [ 14 ]

معلمات التقدير

يُعد الوسيط للوغاريتمات الطبيعية لعينة ما مقدراً قوياً لـμ{\displaystyle \mu }[ 1 ] يُعد الانحراف المطلق الوسيط للوغاريتمات الطبيعية لعينة ما مُقدِّرًا قويًا لـσ{\displaystyle \sigma }[ 1 ]​

الاستخدامات

في الإحصاء البايزي ، يُمكن استخدام توزيع لوغ-كوشي لتقريب كثافة جيفريز -هالدين غير الصحيحة ، 1/k، والتي تُقترح أحيانًا كتوزيع مسبق لـ k حيث k مُعامل موجب يتم تقديره. [ 16 ] [ 17 ] يُمكن استخدام توزيع لوغ-كوشي لنمذجة بعض عمليات البقاء التي قد تظهر فيها قيم شاذة أو نتائج متطرفة. [ 3 ] [ 4 ] [ 18 ] من الأمثلة على العمليات التي قد يكون فيها توزيع لوغ-كوشي نموذجًا مناسبًا، الفترة الزمنية بين إصابة شخص ما بفيروس نقص المناعة البشرية وظهور أعراض المرض، والتي قد تكون طويلة جدًا لدى بعض الأشخاص. [ 4 ] كما تم اقتراحه كنموذج لأنماط وفرة الأنواع . [ 19 ]

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 أوليف، دي جيه (23 يونيو 2008). "الإحصاءات القوية التطبيقية" (ملف PDF) . جامعة جنوب إلينوي. ص  86. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 28 سبتمبر 2011. تم الاطلاع عليه في 18 أكتوبر 2011 .
  2. ↑ أولوسوندي، أكينلولو وأولوفينتواد، سيلفستر (يناير 2022). "بعض المشكلات الاستدلالية من توزيع لوغاريتم الطالب T وامتداده متعدد المتغيرات" . المجلة الكولومبية للإحصاء - الإحصاء التطبيقي . 45 (1): 209-229 . doi : 10.15446/rce.v45n1.90672 . تاريخ الاسترجاع: 1 أبريل 2022 .{{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  3. 1 2 ليندسي، جيه كيه (2004). التحليل الإحصائي للعمليات العشوائية في الزمن . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 33 ، 50، 56، 62، 145. ISBN  978-0-521-83741-5.
  4. 1 2 3 4 مود، سي جيه وسليمان، سي كيه (2000). العمليات العشوائية في علم الأوبئة: فيروس نقص المناعة البشرية/الإيدز، والأمراض المعدية الأخرى . وورلد ساينتيفيك. ص 29-37 . ISBN  978-981-02-4097-4.
  5. 1 2 3 4 5 6 مارشال، أ. و. وأولكين، إ. (2007). توزيعات الحياة: بنية العائلات غير البارامترية وشبه البارامترية والبارامترية . سبرينغر. ص 443-444 . ISBN  978-0-387-20333-1.
  6. 1 2 فالك، م.؛ هوسلر ، ج. وريس، ر. (2010). قوانين الأعداد الصغيرة: القيم المتطرفة والأحداث النادرة . سبرينغر. ص 80. ISBN  978-3-0348-0008-2.
  7. ↑ ألفيس، إم آي إف؛ دي هان، إل. ونيفيس، سي. (10 مارس 2006). "الاستدلال الإحصائي للتوزيعات ذات الذيول الثقيلة والثقيلة جدًا" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 23 يونيو 2007.
  8. ↑ "لحظة" . عالم الرياضيات . تم الاسترجاع في 19-10-2011 .
  9. ↑ وانغ، واي. "التجارة، رأس المال البشري، والآثار غير المباشرة للتكنولوجيا: تحليل على مستوى الصناعة". جامعة كارلتون: 14.{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
  10. ↑ بوندسون، ل. (2003). "حول مقياس ليفي لتوزيعات اللوغاريتم الطبيعي واللوغاريتم كوشي" . المنهجية والحوسبة في الاحتمالات التطبيقية : 243-256 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 25-04-2012 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-10-2011 .
  11. ↑ نايت، ج . وساتشيل، س. (2001). توزيعات العائد في التمويل . باتروورث-هاينمان. ص 153. ISBN  978-0-7506-4751-9.
  12. ↑ كيمب، م. (2009). اتساق السوق: معايرة النموذج في الأسواق غير الكاملة . وايلي. ISBN 978-0-470-77088-7.
  13. ↑ ماكدونالد، ج. ب. (1981). "قياس عدم المساواة في الدخل". في: تايلي، س.؛ باتيل، ج. ب.؛ بالديساري، ب. (محررون). التوزيعات الإحصائية في العمل العلمي: وقائع معهد الدراسات المتقدمة التابع لحلف الناتو . سبرينغر. ص 169. ISBN  978-90-277-1334-6.
  14. 1 2 كلايبر، سي. وكوتز، إس. (2003). التوزيعات الإحصائية للأحجام في الاقتصاد والعلوم الاكتوارية . وايلي. ص 101-102 ، 110. ISBN  978-0-471-15064-0.
  15. ↑ بانتون، د.ب. (مايو 1993). "قيم دالة التوزيع للتوزيعات اللوغاريتمية المستقرة" . الحوسبة والرياضيات مع التطبيقات . 25 (9): 17-24 . doi : 10.1016/0898-1221(93)90128-I .
  16. ↑ جود، آي جيه (1983). التفكير السليم: أسس الاحتمالات وتطبيقاتها . مطبعة جامعة مينيسوتا. ص 102. ISBN  978-0-8166-1142-3.
  17. ↑ تشين، م. (2010). آفاق اتخاذ القرارات الإحصائية والتحليل البايزي . سبرينغر. ص 12. ISBN  978-1-4419-6943-9.
  18. ↑ ليندسي، جيه كيه؛ جونز، بي. وجارفيس، بي. (سبتمبر 2001). "بعض القضايا الإحصائية في نمذجة بيانات الحرائك الدوائية". الإحصاء في الطب . 20 ( 17-18 ): 2775-278 . doi : 10.1002/sim.742 . PMID 11523082. S2CID 41887351 .  
  19. ↑ زو-يون، ي.؛ وآخرون . (يونيو 2005). "توزيعات لوغاريتمية كوشي، ولوغاريتمية سيك، ولوغاريتمية طبيعية لوفرة الأنواع في المجتمعات الحرجية". النمذجة البيئية . 184 ( 2-4 ): 329-340 . Bibcode : 2005EcMod.184..329Y . doi : 10.1016/j.ecolmodel.2004.10.011 .