توزيع لوغاريتمي t

في نظرية الاحتمالات، يُعرف توزيع لوغاريتم-t أو توزيع لوغاريتم-t للطالب بأنه توزيع احتمالي لمتغير عشوائي يتبع لوغاريتمه توزيع t للطالب . فإذا كان X متغيرًا عشوائيًا يتبع توزيع t للطالب، فإن Y = exp ( X ) يتبع توزيع لوغاريتم-t؛ وبالمثل، إذا كان Y يتبع توزيع لوغاريتم-t، فإن X  =  log( Y ) يتبع توزيع t للطالب. ^{[ 1 ]}

توزيع لوغاريتم الزمن له دالة كثافة احتمالية :

${\displaystyle p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{x\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\hat {\sigma }}\,}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {\ln x-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$،

أين${\displaystyle {\hat {\mu }}}$يمثل معامل الموقع لتوزيع t الأساسي (غير المعياري) للطالب،${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$يمثل معامل المقياس لتوزيع t للطالب الأساسي (غير المعياري)، و${\displaystyle \nu }$يمثل عدد درجات الحرية لتوزيع t للطالب الأساسي. ^{[ 1 ]} إذا${\displaystyle {\hat {\mu }}=0}$و${\displaystyle {\hat {\sigma }}=1}$ثم يكون التوزيع الأساسي هو توزيع t المعياري للطالب.

لو${\displaystyle \nu =1}$ إذن ، يكون التوزيع توزيعًا لوغاريتميًا من نوع كوشي . ^{[ 1 ]}${\displaystyle \nu }$عندما تقترب قيمة t من اللانهاية ، يقترب التوزيع من التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي . ^{[ 1 ] [ 2 ]} على الرغم من أن التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي له عزوم محدودة ، فإنه لأي درجات حرية محدودة، يكون المتوسط ​​والتباين وجميع العزوم العليا لتوزيع log-t لانهائيًا أو غير موجود. ^{[ 1 ]}

يُعدّ توزيع لوغاريتم t حالة خاصة من توزيع بيتا المعمم من النوع الثاني . ^{[ 1 ] [ 3 ] [ 4 ]} ويُعتبر توزيع لوغاريتم t مثالاً على توزيع احتمالي مُركّب بين التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي وتوزيع غاما المعكوس ، حيث يكون مُعامل التباين في التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي متغيرًا عشوائيًا مُوزّعًا وفقًا لتوزيع غاما المعكوس. ^{[ 3 ] [ 5 ]}

يُستخدم توزيع لوغاريتم t في مجال التمويل. ^{[ 3 ]} فعلى سبيل المثال، غالبًا ما يُظهر توزيع عوائد سوق الأسهم ذيولًا أكثر سمكًا من التوزيع الطبيعي ، وبالتالي يميل إلى التوافق مع توزيع t للطالب بشكل أفضل من التوزيع الطبيعي. في حين أن نموذج بلاك-شولز القائم على التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي يُستخدم عادةً لتسعير خيارات الأسهم ، إلا أن صيغ تسعير الخيارات القائمة على توزيع لوغاريتم t قد تكون بديلاً أفضل إذا كانت العوائد ذات ذيول سميكة. ^{[ 6 ]} يُعدّ كون توزيع لوغاريتم t ذا متوسط ​​لانهائي مشكلة عند استخدامه لتقييم الخيارات، ولكن توجد تقنيات للتغلب على هذا القيد، مثل اقتطاع دالة كثافة الاحتمال عند قيمة كبيرة معينة. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

يُستخدم توزيع لوغاريتم الزمن (log-t) أيضاً في علم المياه وفي تحليل بيانات انحسار السرطان . ^{[ 1 ] [ 9 ]}

على غرار التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، توجد أشكال متعددة المتغيرات لتوزيع لوغاريتم t. في هذه الحالة، يُستبدل مُعامل الموقع بمتجه μ ، ويُستبدل مُعامل المقياس بمصفوفة Σ . ^{[ 1 ]}