توزيع بيتا المعمم

يمكن إثبات أن العزم من الرتبة h يمكن التعبير عنه على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {E} _{GB}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,q)}{B(p,q)}}{}_{2}F_{1}{\begin{bmatrix}p+h/a,h/a;c\\p+q+h/a;\end{bmatrix}},}$

أين${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$يشير إلى سلسلة فرط هندسية (التي تتقارب لجميع قيم h إذا كانت c < 1، أو لجميع قيم h / a < q إذا كانت c = 1).

يتم تعريف بيتا المعممة من النوع الأول بواسطة دالة الكثافة الاحتمالية التالية:

${\displaystyle GB1(y;a,b,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}(1-(y/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)}}}$

ل${\displaystyle 0<y^{a}<b^{a}}$أين${\displaystyle b}$،${\displaystyle p}$، و${\displaystyle q}$نتائج إيجابية. من السهل التحقق من ذلك.

${\displaystyle GB1(y;a,b,p,q)=GB(y;a,b,c=0,p,q).}$

تُعطى عزوم GB1 بواسطة

${\displaystyle \operatorname {E} _{GB1}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,q)}{B(p,q)}}.}$

يشمل GB1 بيتا من النوع الأول (B1)، وجاما المعممة (GG)، وباريتو (PA) كحالات خاصة:

${\displaystyle B1(y;b,p,q)=GB1(y;a=1,b,p,q),}$

${\displaystyle GG(y;a,\beta ,p)=\lim _{q\to \infty }GB1(y;a,b=q^{1/a}\beta ,p,q),}$

${\displaystyle PA(y;b,p)=GB1(y;a=-1,b,p,q=1).}$

يتم تعريف GB2 بواسطة ملف PDF التالي:

${\displaystyle GB2(y;a,b,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+(y/b)^{a})^{p+q}}}}$

ل${\displaystyle 0<y<\infty }$وصفر فيما عدا ذلك. يمكن للمرء أن يتحقق من ذلك.

${\displaystyle GB2(y;a,b,p,q)=GB(y;a,b,c=1,p,q).}$

تُعطى عزوم GB2 بواسطة

${\displaystyle \operatorname {E} _{GB2}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,qh/a)}{B(p,q)}}.}$

يُعرف GB2 أيضًا باسم بيتا برايم المعمم (باتيل، بوسويل، راتناباريخي (1984))، ^{[ 2 ]} بيتا المحول (فينتر، 1983)، ^{[ 3 ]} F المعمم (كالفلايش وبرينتيس، 1980)، ^{[ 4 ]} وهو حالة خاصة (μ≡0) من توزيع فيلر-باريتو (أرنولد، 1983) ^{[ 5 ]} . يضم GB2 توزيعات شائعة مثل جاما المعمم (GG)، وبور من النوع 3، وبور من النوع 12 ، وداغوم ، واللوغاريتمي الطبيعي ، وويبول ، وجاما ، ولوماكس ، وإحصائية F ، وفيسك أو رايلي ، ومربع كاي ، ونصف الطبيعي ، ونصف t للطالب ، والأسي ، ولوغاريتم لابلاس غير المتماثل، ولوغاريتم لابلاس ، ودالة القوة ، واللوغاريتم اللوجستي . ^{[ 6 ]}

يتم تعريف عائلة التوزيعات بيتا (B) على النحو التالي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle B(y;b,c,p,q)={\frac {y^{p-1}(1-(1-c)(y/b))^{q-1}}{b^{p}B(p,q)(1+c(y/b))^{p+q}}}}$

ل${\displaystyle 0<y<b/(1-c)}$وصفر فيما عدا ذلك. وتتضح علاقتها بالبريطانية العظمى أدناه:

${\displaystyle B(y;b,c,p,q)=GB(y;a=1,b,c,p,q).}$

تشمل عائلة بيتا بيتا من النوع الأول والثاني ^{[ 7 ]} (B1 وB2، حيث يُشار إلى B2 أيضًا باسم بيتا الأولية )، والتي تتوافق مع c = 0 و c = 1 على التوالي.${\displaystyle c=0}$،${\displaystyle b=1}$ينتج عنه توزيع بيتا القياسي ذو المعلمتين .

يُعد توزيع جاما المعمم ( GG) حالة حدية لتوزيع جاما المعمم من النوع الثاني (GB2). ويتم تعريف دالة كثافة الاحتمال الخاصة به على النحو التالي: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle GG(y;a,\beta ,p)=\lim _{q\rightarrow \infty }GB2(y,a,b=q^{1/a}\beta ,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{ap}\Gamma (p)}}}$

مع${\displaystyle h}$اللحظات المعطاة بواسطة

${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{GG}^{h})={\frac {\beta ^{h}\Gamma (p+h/a)}{\Gamma (p)}}.}$

كما ذكرنا سابقًا، فإن شجرة عائلة التوزيع GB تصور بشكل مرئي الحالات الخاصة والحدودية (انظر McDonald و Xu (1995)).

يُعد توزيع باريتو ( PA) الحالة الحدية التالية لتوزيع غاما المعمم:

${\displaystyle PA(y;\beta ,\theta )=\lim _{a\rightarrow -\infty }GG(y;a,\beta ,p=-\theta /a)=\lim _{a\rightarrow -\infty }\left({\frac {\theta y^{-\theta -1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{-\theta }(-\theta /a)\Gamma (-\theta /a)}}\right)=}$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow -\infty }\left({\frac {\theta y^{-\theta -1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{-\theta }\Gamma (1-\theta /a)}}\right)={\frac {\theta y^{-\theta -1}}{\beta ^{-\theta }}}}$ل${\displaystyle \beta <y}$و${\displaystyle 0}$خلاف ذلك.

يمثل توزيع دالة القوة (P) الحالة الحدية التالية لتوزيع جاما المعمم:

${\displaystyle P(y;\beta ,\theta )=\lim _{a\rightarrow \infty }GG(y;a=\theta /p,\beta ,p)=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\mid {\frac {\theta }{p}}|y^{\theta -1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{\theta }\Gamma (p)}}=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{p\Gamma (p)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}=}$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{\Gamma (p+1)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{\Gamma ({\frac {\theta }{a}}+1)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}={\frac {\theta y^{\theta -1}}{\beta ^{\theta }}}}$ل${\displaystyle 0<y<\beta }$و${\displaystyle \theta >0}$.

يتم تعريف توزيع لوغاريتم لابلاس غير المتماثل (يشار إليه أيضًا باسم توزيع باريتو المزدوج ^{[ 9 ] ) على النحو التالي: [ 10 ]}

${\displaystyle ALL(y;b,\lambda _{1},\lambda _{2})=\lim _{a\rightarrow \infty }GB2(y;a,b,p=\lambda _{1}/a,q=\lambda _{2}/a)={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{y(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{\begin{cases}({\frac {y}{b}})^{\lambda _{1}}&{\mbox{for }}0<y<b\\({\frac {b}{y}})^{\lambda _{2}}&{\mbox{for }}y\geq b\end{cases}}}$

حيث${\displaystyle h}$تُعطى اللحظات من خلال

${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{ALL}^{h})={\frac {b^{h}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+h)(\lambda _{2}-h)}}.}$

متى${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}$وهذا يعادل توزيع لوغاريتم لابلاس .

باستخدام رموز مشابهة لما سبق، يمكن التعبير عن دالة توليد العزوم لـ EGB على النحو التالي:

${\displaystyle M_{EGB}(Z)={\frac {e^{\delta t}B(p+t\sigma ,q)}{B(p,q)}}{}_{2}F_{1}{\begin{bmatrix}p+t\sigma ,t\sigma ;c\\p+q+t\sigma$ ;\end{bmatrix}}.}

عندما كل${\displaystyle c_{i}}$إذا كانت قيمة MGB تساوي صفرًا، فإن دالة MGB تتبسط إلى بيتا المعممة متعددة المتغيرات من النوع الأول (MGB1)، والتي تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle MGB1(y;a,b,p,q)={\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})(1-\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{q-1}}{(\prod _{i=1}^{n}b_{i}^{a_{i}p_{i}})B(p_{1},...,p_{n},q)}}}$

أين${\displaystyle 0}$${\displaystyle <}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}}}$${\displaystyle <}$${\displaystyle 1}$.

في حالة كل${\displaystyle c_{i}}$إذا كانت قيمة MGB تساوي 1، فإنها تتبسط إلى بيتا المعممة متعددة المتغيرات من النوع الثاني (MGB2)، مع تعريف دالة كثافة الاحتمال أدناه:

${\displaystyle MGB2(y;a,b,p,q)={\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})}{(\prod _{i=1}^{n}b_{i}^{a_{i}p_{i}})B(p_{1},...,p_{n},q)(1+\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{{\bar {p}}+q}}}}$

متى${\displaystyle 0}$${\displaystyle <}$${\displaystyle y_{i}}$للجميع${\displaystyle y_{i}}$.

يمكن اشتقاق دالة كثافة الاحتمال لتوزيع جاما المعمم متعدد المتغيرات (MGG) من دالة كثافة الاحتمال لتوزيع جاما المعمم متعدد المتغيرات (MGB) عن طريق الاستبدال${\displaystyle b_{i}}$=${\displaystyle \beta _{i}q^{\frac {1}{a_{i}}}}$وباعتبار الحد كما${\displaystyle q}$${\displaystyle \to }$${\displaystyle \infty }$، مع تقريب ستيرلينغ لدالة غاما، مما ينتج عنه الدالة التالية:

${\displaystyle MGG(y;a,\beta ,p)=({\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})}{(\prod _{i=1}^{n}\beta _{i}^{a_{i}p_{i}})\Gamma (p_{i})}})e^{-\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{\beta _{i}}})^{a_{i}}}=\prod _{i=1}^{n}GG(y_{i};a_{i},\beta _{i},p_{i})}$

وهو ناتج عن متغيرات عشوائية غاما معممة موزعة بشكل مستقل ولكن ليس بالضرورة بشكل متطابق.

يمكن إنشاء دوال كثافة احتمالية مماثلة لمتغيرات أخرى في شجرة العائلة الموضحة أعلاه، وذلك ببساطة عن طريق وضع الحرف M أمام اسم كل دالة كثافة احتمالية، ثم إيجاد الحالات الحدية والخاصة المناسبة لتوزيع MGB وفقًا للقيود والحدود المحددة للتوزيع أحادي المتغير. وتشمل دوال كثافة الاحتمالية متعددة المتغيرات الإضافية في المراجع توزيع ديريشليه (الصيغة القياسية) الموضح في:${\displaystyle MGB1(y;a=1,b=1,p,q)}$، التوزيع بيتا المعكوس متعدد المتغيرات وتوزيع ديريشليه المعكوس (نوع ديريشليه 2) المعطى بواسطة${\displaystyle MGB2(y;a=1,b=1,p,q)}$وتوزيع بور متعدد المتغيرات المعطى بواسطة${\displaystyle MGB2(y;a,b,p,q=1)}$.

إن دوال الكثافة الحدية لـ MGB1 و MGB2، على التوالي، هي توزيعات بيتا المعممة من النوع الأول والثاني، ويتم تقديمها على النحو التالي:

${\displaystyle GB1(y_{i};a_{i},b_{i},p_{i},{\bar {p}}-p_{i}+q)={\frac {|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1}(1-({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{{\bar {p}}-p_{i}+q-1}}{b_{i}^{a_{i}p_{i}}B(p_{i},{\bar {p}}-p_{i}+q)}}}$

${\displaystyle GB2(y_{i};a_{i},b_{i},p_{i},q)={\frac {|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1}}{b_{i}^{a_{i}p_{i}}B(p_{i},q)(1+({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{p_{i}+q}}}}$

استُخدم نموذج GB2 والعديد من حالاته الخاصة والمحدودة على نطاق واسع كنماذج لتوزيع الدخل. للاطلاع على بعض الأمثلة المبكرة، انظر: Thurow (1970)، ^{[ 13 ]} Dagum (1977)، ^{[ 14 ]} Singh and Maddala (1976)، ^{[ 15 ]} وMcDonald (1984). ^{[ 6 ]} ويمكن إجراء تقديرات الاحتمال الأقصى بسهولة باستخدام بيانات فردية أو مجمعة أو مُرمّزة أعلى مستوى مع هذه التوزيعات.

يمكن التعبير عن مقاييس عدم المساواة، مثل مؤشر جيني (G) ومؤشر بيترا (P) ومؤشر ثيل (T) من حيث معلمات التوزيع، كما ورد في ماكدونالد ورانسوم (2008): ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}G=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\operatorname {E} (|Y-X|)=\left(P{\frac {1}{2\mu }}\right)\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }|x-y|f(x)f(y)\,dxdy\\=1-{\frac {\int _{0}^{\infty }(1-F(y))^{2}\,dy}{\int _{0}^{\infty }(1-F(y))\,dy}}\\P=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\operatorname {E} (|Y-\mu |)=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\int _{0}^{\infty }|y-\mu |f(y)\,dy\\T=\operatorname {E} (\ln(Y/\mu )^{Y/\mu })=\int _{0}^{\infty }(y/\mu )\ln(y/\mu )f(y)\,dy\end{aligned}}}$

دالة المخاطرة ، h(s)، حيث f(s) هي دالة كثافة الاحتمال وF(s) هي دالة التوزيع التراكمي المقابلة، تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle h(s)={\frac {f(s)}{1-F(s)}}}$

تُعدّ دوال المخاطر مفيدة في العديد من التطبيقات، مثل نمذجة مدة البطالة، ووقت فشل المنتجات، ومتوسط ​​العمر المتوقع. على سبيل المثال، إذا رمزنا لطول العمر بـ s، فإن h(s) هو معدل الوفاة عند العمر s، بافتراض أن الفرد قد عاش حتى العمر s. قد يكون شكل دالة المخاطر لبيانات وفيات البشر كما يلي: انخفاض معدل الوفيات في الأشهر الأولى من العمر، ثم فترة من معدل وفيات ثابت نسبيًا، وأخيرًا ازدياد احتمالية الوفاة مع التقدم في العمر.

تُتيح الحالات الخاصة لتوزيع بيتا المعمم مرونةً أكبر في نمذجة شكل دالة المخاطر، والتي قد تتطلب أشكالًا على هيئة "∪" أو "∩"، أو خطوطًا متزايدة تمامًا (يرمز لها بـ I) أو متناقصة تمامًا (يرمز لها بـ D). يكون توزيع غاما المعمم على هيئة "∪" عندما يكون a>1 و p<1/a، وعلى هيئة "∩" عندما يكون a<1 و p>1/a، وعلى هيئة I عندما يكون a>1 و p>1/a، وعلى هيئة D عندما يكون a<1 و p>1/a. ^{[ 17 ]} يُلخص ذلك في الشكل أدناه. ^{[ 18 ] [ 19 ]}