توزيع بواسون المختلط

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

يُعدّ توزيع بواسون المختلط توزيعًا احتماليًا منفصلاً أحادي المتغير في الإحصاء العشوائي. وينتج عن افتراض أن التوزيع الشرطي لمتغير عشوائي، بمعلومية قيمة معامل المعدل، هو توزيع بواسون ، وأن معامل المعدل نفسه يُعتبر متغيرًا عشوائيًا. لذا، فهو حالة خاصة من التوزيع الاحتمالي المركب . يمكن إيجاد توزيعات بواسون المختلطة في الرياضيات الاكتوارية كنهج عام لتوزيع عدد المطالبات، كما تُدرس أيضًا كنموذج وبائي . [ 1 ] يجب عدم الخلط بينه وبين توزيع بواسون المركب أو عملية بواسون المركبة . [ 2 ]

تعريف

المتغير العشوائي X يحقق توزيع بواسون المختلط بكثافة π ( λ ) إذا كان له توزيع الاحتمال [ 3 ]

P⁡(X=ك)=∫0∞λكك!هـ-λπ(λ)دλ.{\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda .}

إذا رمزنا لاحتمالات توزيع بواسون بـ qλ ( k ) ، فإن

P⁡(X=ك)=∫0∞qλ(ك)π(λ)دλ.{\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda .}

ملكيات

فيما يلي، لنفترضμπ=∫0∞λπ(λ)دλ{\displaystyle \mu _{\pi }=\int _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}ليكن القيمة المتوقعة للكثافةπ(λ){\displaystyle \pi (\lambda )\,}وσπ2=∫0∞(λ-μπ)2π(λ)دλ{\displaystyle \sigma _{\pi }^{2}=\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}ليكن تباين الكثافة.

القيمة المتوقعة

القيمة المتوقعة لتوزيع بواسون المختلط هي

هـ⁡(X)=μπ.{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }.}

التباين

بالنسبة للتباين ، نحصل على [ 3 ]

متغير⁡(X)=μπ+σπ2.{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.}

الانحراف

يمكن تمثيل الانحراف على النحو التالي :

v⁡(X)=(μπ+σπ2)-3/2[∫0∞(λ-μπ)3π(λ)دλ+μπ].{\displaystyle \operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.}

الدالة المميزة

تأخذ الدالة المميزة الشكل التالي:

φX(s)=مπ(هـأناs-1).{\displaystyle \varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1).\,}

أينمπ{\displaystyle M_{\pi }}هي دالة توليد العزوم للكثافة.

دالة توليد الاحتمالات

بالنسبة لدالة توليد الاحتمالات ، نحصل على [ 3 ]

مX(s)=مπ(s-1).{\displaystyle m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1).\,}

دالة توليد العزوم

دالة توليد العزوم لتوزيع بواسون المختلط هي

مX(s)=مπ(هـs-1).{\displaystyle M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1).\,}

أمثلة

نظرية — إن تركيب توزيع بواسون مع معامل معدل موزع وفقًا لتوزيع جاما ينتج عنه توزيع ذي الحدين السالب . [ 3 ]

دليل

يتركπ(λ)=(ص1-ص)رΓ(ر)λر-1هـ-ص1-صλ{\displaystyle \pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }}كثافة منΓ⁡(ر،ص1-ص){\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left(r,{\frac {p}{1-p}}\right)}متغير عشوائي موزع.

P⁡(X=ك)=1ك!∫0∞λكهـ-λ(ص1-ص)رΓ(ر)λر-1هـ-ص1-صλدλ=صر(1-ص)-رΓ(ر)ك!∫0∞λك+ر-1هـ-λ11-صدλ=صر(1-ص)-رΓ(ر)ك!(1-ص)ك+ر∫0∞λك+ر-1هـ-λدλ⏟=Γ(ر+ك)=Γ(ر+ك)Γ(ر)ك!(1-ص)كصر{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,d\lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda {\frac {1}{1-p}}}\,d\lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k+r}\underbrace {\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda }\,d\lambda } _{=\Gamma (r+k)}\\&={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k}p^{r}\end{aligned}}}

وبالتالي نحصل علىX∼نيغب⁡(ر،ص).{\displaystyle X\sim \operatorname {NegB} (r,p).}

نظرية - إن تركيب توزيع بواسون مع معامل معدل موزع وفقًا لتوزيع أسي ينتج عنه توزيع هندسي .

دليل

يتركπ(λ)=1βهـ-λβ{\displaystyle \pi (\lambda )={\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}}كثافة منخبرة⁡(1β){\displaystyle \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{\beta }}\right)}متغير عشوائي موزع. باستخدام التكامل بالتجزئة k مرة ينتج عنه: P⁡(X=ك)=1ك!∫0∞λكهـ-λ1βهـ-λβدλ=1ك!β∫0∞λكهـ-λ(1+ββ)دλ=1ك!β⋅ك!(β1+β)ك∫0∞هـ-λ(1+ββ)دλ=(β1+β)ك(11+β){\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}\,d\lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,d\lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\cdot k!\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,d\lambda \\&=\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)\end{aligned}}} وبالتالي نحصل علىX∼جيهـo(11+β).{\displaystyle X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)} .}

جدول توزيعات بواسون المختلطة

توزيع الخلطتوزيع بواسون المختلط [ 4 ]
ديراكبواسون
جاما ، إرلانجالتوزيع الثنائي السالب
النمو الأسيهندسي
معكوس غاوسيسيتشل
بواسوننيمان
معكوس غاوسي معمّممعكوس غاوسي معمّم بواسون
غاما المعممةتوزيع غاما المعمم لبواسون
باريتو المعممباريتو المعمم وفقًا لتوزيع بواسون
غاما المعكوسةغاما المعكوسة لبواسون
التوزيع اللوغاريتمي الطبيعيتوزيع بواسون اللوغاريتمي الطبيعي
لوماكسبواسون-لوماكس
باريتوبواسون-باريتو
عائلة توزيعات بيرسونعائلة بواسون-بيرسون
عادي مبتورالتوزيع الطبيعي المقطوع بتوزيع بواسون
زي مُوحدتوزيع بواسون المنتظم
جاما المزاحةديلابورت
بيتا بقيم معلمات محددةعيد ميلاد المسيح

مراجع

  1. ↑ ويلموت، جوردون إي.؛ لين، إكس. شيلدون (2001)، "توزيعات بواسون المختلطة" ، تقريبات لوندبيرج للتوزيعات المركبة مع تطبيقات التأمين ، سلسلة محاضرات في الإحصاء، المجلد  156، نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك، الصفحات 37-49 ، doi : 10.1007/978-1-4613-0111-0_3 ، ISBN  978-0-387-95135-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 2022-07-08
  2. ↑ ويلموت، جورد (1986). "توزيعات بواسون المركبة المختلطة" . نشرة ASTIN . 16 (ملحق 1): ص59- ص79. doi : 10.1017/S051503610001165X . ISSN 0515-0361 . 
  3. 1 2 3 4 ويلموت، جورد (29-08-2014). "توزيعات بواسون المركبة المختلطة" . نشرة ASTIN . 16 : 5-7 . doi : 10.1017/S051503610001165X . S2CID 17737506 . 
  4. ↑ كارليس، ديميتريس؛ زيكالاكي، إيفدوكيا (2005). " توزيعات بواسون المختلطة" . المجلة الإحصائية الدولية . 73 (1): 35-58 . doi : 10.1111/j.1751-5823.2005.tb00250.x . ISSN 0306-7734 . JSTOR 25472639. S2CID 53637483 .   

للمزيد من القراءة

  • جرانديل، جان (1997). عمليات بواسون المختلطة . لندن: تشابمان وهول. ISBN 0-412-78700-8.
  • بريتون، توم (2019). نماذج الأوبئة العشوائية مع الاستدلال . سبرينغر. doi : 10.1007/978-3-030-30900-8 .