المتوسط ​​العام

في الإحصاء ، يُعرف المتوسط ​​العام أو المتوسط ​​المجمع أو المعدل العام بأنه المتوسط ​​الإجمالي للقيم في مجموعة من الأرقام، بغض النظر عن كيفية تجميعها. ^{[ 1 ]} تُستخدم صفة "العام" أو "المجمع" للتأكيد، لتمييزه عن أي من المتوسطات الجماعية ، وهي المتوسطات المحسوبة ضمن مجموعة فرعية معينة من القيم.

في بعض النماذج الإحصائية، مثل تلك المستخدمة في تحليل التباين ، يمكن أن يشير مصطلح المتوسط ​​العام أو الإجمالي أو الكلي إلى معلمة ، يُشار إليها عادةً بـ${\displaystyle \mu }$^{[ 2 ]} وهو يصف تأثيرًا مشتركًا بين جميع الملاحظات. ويمكن اعتباره "متوسطًا" عامًا بمعنى القيمة المتوقعة في ظل الافتراضات المناسبة. ولن نتناول هذا المعنى لمصطلح "المتوسط ​​العام" هنا.

لنفترض أن هناك ثلاث مجموعات من الأرقام: المجموعة أ تحتوي على 2، 3، 7؛ المجموعة ب تحتوي على 6، 7، 12، 4؛ المجموعة ج تحتوي على 1، 3.

المتوسط ​​العام لجميع الأرقام = (2+3+7+6+7+12+4+1+3)/9 = 5.

متوسطات المجموعات هي (2 + 3 + 7)/3 = 4 للمجموعة أ، و(6 + 7 + 12 + 4)/4 = 7.25 للمجموعة ب، و(1 + 3)/2 = 2 للمجموعة ج. لاحظ أن متوسط ​​متوسطات المجموعات لا يساوي المتوسط ​​العام، كما هو موضح أدناه .

لنفترض أننا نرغب في تحديد الولايات الأمريكية التي تضم أطول الرجال. لتحقيق ذلك، نقيس أطوال عينة مناسبة من الرجال في كل ولاية، ثم نحسب المتوسط ​​العام لأطوال جميع الرجال في العينة. تُعطي مقارنة متوسطات الولايات بالمتوسط ​​الوطني مؤشرًا على الولايات التي يكون فيها متوسط ​​الطول مرتفعًا أو منخفضًا بشكل غير معتاد. (يتطلب تحديد ما إذا كانت الولايات تختلف بالفعل، وما إذا كانت ولاية معينة تضم رجالًا طوال القامة أو قصارها بشكل غير معتاد، تحديدًا ذا دلالة إحصائية ، تحليل التباين . يعتمد الحساب في هذه الحالة على تباينات المجموعات المنفصلة والتباين المجمع للبيانات).

لتمثيل المتوسطات جبريًا، غالبًا ما يُرمز إلى عناصر مجموعة البيانات المجمعة بـ${\displaystyle x_{ij}}$حيث يشير i إلى المجموعة و j إلى نقطة البيانات داخل المجموعة. وبالمثل، يُرمز إلى متوسط ​​المجموعة i بـ${\displaystyle {\bar {x}}_{i\cdot }}$، بينما${\displaystyle {\bar {x}}_{\cdot \cdot }}$يرمز إلى المتوسط ​​العام. ^{[ ملاحظة 1 ]} يُعطى المتوسط ​​العام بمجموع مزدوج :

${\displaystyle {\bar {x}}_{\cdot \cdot }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{n_{i}}x_{ij},}$

حيث يمثل g عدد المجموعات، و _nᵢ عدد المشاهدات (الأعداد) في المجموعة i ، و N هو العدد الإجمالي للمشاهدات، أي

${\displaystyle N=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{g}.}$

وبالمثل، يُعطى متوسط ​​المجموعة i بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\bar {x}}_{i\cdot }={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}x_{ij}.}$

عند كتابة هذا المجموع، يكون${\displaystyle {\bar {x}}_{i\cdot }={\frac {1}{n_{i}}}(x_{i1}+x_{i2}+\cdots +x_{in_{i}}).}$

يمكن حساب المتوسط ​​العام من متوسطات المجموعات بواسطة

${\displaystyle {\bar {x}}_{\cdot \cdot }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{g}n_{i}{\bar {x}}_{i\cdot }}$.

يمكن اعتبار هذا بمثابة متوسط ​​مرجح لمتوسطات المجموعات، حيث يكون الوزن المخصص للمتوسط ​​رقم i هو${\displaystyle n_{i}/N}$بشكل عام، لا يُمثل المتوسط ​​العام مجرد متوسط ​​لمتوسطات المجموعات الفردية. على سبيل المثال، في المثال الافتتاحي أعلاه ، فإن المتوسط ​​(غير المرجح) لمتوسطات المجموعات الثلاث هو (4 + 7.25 + 2)/3 = 4.4166...، بينما المتوسط ​​العام هو 5.

مع ذلك، توجد حالة واحدة يمكن فيها حساب المتوسط ​​العام كمتوسط ​​بسيط لمتوسطات المجموعات، وهي عندما تكون جميع المجموعات متساوية في الحجم، أي عندما${\displaystyle n_{1}=n_{2}=\cdots =n_{g}.}$ وهذا يتبع بسهولة من الصيغة المذكورة أعلاه.

مثال: لنفترض أن البيانات تتكون من ثلاث مجموعات متساوية الحجم: المجموعة أ تحتوي على 2، 6، 7، 11، 4؛ المجموعة ب تحتوي على 4، 6، 8، 14، 8؛ المجموعة ج تحتوي على 8، 7، 4، 1، 5.

متوسط ​​المجموعة أ = (2+6+7+11+4)/5 = 6،

متوسط ​​المجموعة ب = (4+6+8+14+8)/5 = 8،

متوسط ​​المجموعة ج = (8+7+4+1+5)/5 = 5،

لذلك، فإن المتوسط ​​العام لجميع الأرقام = (6+8+5)/3 = 6.333...، كما يمكن حسابه عن طريق حساب متوسط ​​جميع القيم الـ 15 المجمعة معًا.

ولتجنب أي لبس محتمل، لا يُستخدم مصطلح "المتوسط ​​العام" مطلقًا للإشارة إلى متوسط ​​متوسطات المجموعات الفردية.

• التباين المجمع