توزيع ذي الحدين السالب الموسع

في علم الاحتمالات والإحصاء ، يُعدّ التوزيع ذو الحدين السالب الموسّع توزيعًا احتماليًا منفصلاً يُوسّع التوزيع ذو الحدين السالب . وهو نسخة مُقتطعة من التوزيع ذي الحدين السالب ^{[ 1 ]} الذي دُرست طرق تقديره. ^{[ 2 ]}

في سياق العلوم الاكتوارية ، ظهر التوزيع بصيغته العامة في ورقة بحثية لك. هيس، أ. ليوالد، وك. د. شميدت ^{[ 3 ]} ، حيث وصفوا جميع التوزيعات التي يعمل معها تكرار بانجر الموسع . أما في حالة m = 1 ، فقد ناقش ويلموت ^{[ 4 ]} التوزيع سابقًا، ووضعه هـ. يو. جيربر ^{[ 5 ]} ضمن عائلة مُعَلمة مع التوزيع اللوغاريتمي والتوزيع ذي الحدين السالب.

بالنسبة لعدد طبيعي m ≥ 1 ومعاملات حقيقية p و r حيث 0 < p ≤ 1 و – m < r < – m + 1 ، فإن دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع ExtNegBin( m , r , p ) تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle f(k;m,r,p)=0\qquad {\text{ for }}k\in \{0,1,\ldots ,m-1\}}$

و

${\displaystyle f(k;m,r,p)={\frac {{k+r-1 \choose k}p^{k}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}p^{j}}}\quad {\text{لـ }}k\in {\mathbb {N} }{\text{ مع }}k\geq m,}$

أين

${\displaystyle {k+r-1 \choose k}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}=(-1)^{k}\,{-r \choose k}\qquad \qquad (1)}$

يمثل معامل ذي الحدين (المعمم) و Γ يرمز إلى دالة جاما .

باستخدام حقيقة أن f ( .; m , r , ps ) لـ s ∈ (0, 1 ] هي أيضًا دالة كتلة احتمالية، فإنه يترتب على ذلك أن دالة توليد الاحتمالات معطاة بـ

$\begin{aligned}\varphi(s)&=\sum_{k=m}^{\infty}f(k;m,r,p)s^{k}\\&={\frac{(1-ps)^{-r}-\sum_{j=0}^{m-1}{\binom{j+r-1}{j}}(ps)^{j}}{(1-p)^{-r}-\sum_{j=0}^{m-1}{\binom{j+r-1}{j}}p^{j}}}\qquad \text{لـ }}|s|\leq \frac{1}{p}}.\end{aligned}}}$

في الحالة المهمة m = 1 ، وبالتالي r ∈ (–1, 0) ، يتبسط هذا إلى

${\displaystyle \varphi (s)={\frac {1-(1-ps)^{-r}}{1-(1-p)^{-r}}}\qquad {\text{لـ }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.}$