التكرار في بانجر

خوارزمية بانجر التكرارية هي خوارزمية لحساب تقريب التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مركب${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$ حيث كلاهما${\displaystyle N\,}$و${\displaystyle X_{i}\,}$هي متغيرات عشوائية ومن أنواع خاصة. في الحالات الأكثر عمومية، يكون توزيع S توزيعًا مركبًا . وقد طُرحت الصيغة التكرارية للحالات الخاصة المدروسة في ورقة بحثية ^{[ 1 ]} لهاري بانجر (أستاذ فخري متميز، جامعة واترلو ^{[ 2 ]} ). وهي تُستخدم بكثرة في العلوم الاكتوارية (انظر أيضًا المخاطر النظامية ).

نحن مهتمون بالمتغير العشوائي المركب${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$أين${\displaystyle N\,}$و${\displaystyle X_{i}\,}$استيفاء الشروط المسبقة التالية.

تُعطي الخوارزمية الآن استدعاءً تكراريًا لحساب${\displaystyle g_{k}=P[S=hk]\,}$.

القيمة الابتدائية هي${\displaystyle g_{0}=W_{N}(f_{0})\,}$مع الحالات الخاصة

${\displaystyle g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b)\quad {\text{ إذا }}\quad a=0,\,}$

و

${\displaystyle g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}\quad {\text{ لـ }}\quad a\neq 0,\,}$

ثم تابع مع

${\displaystyle g_{k}={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{kj}.\,}$

يوضح المثال التالي الكثافة التقريبية لـ${\displaystyle \scriptstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$أين${\displaystyle \scriptstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)\,}$و${\displaystyle \scriptstyle X\,\sim \,{\text{Frechet}}(1.7,1)}$بعرض الشبكة h = 0.04. (انظر توزيع فريشيه .)

كما لوحظ، قد تنشأ مشكلة عند بدء عملية الاستدعاء الذاتي. وقد اقترح غيغان وحساني (2009) حلاً للتعامل مع هذه المشكلة. ^{[ 5 ]}

• التكرار في بانجر والتوزيعات التي يمكن استخدامه معها