توزيع بيتا ذو الحدين السالب

في نظرية الاحتمالات ، يُعرف توزيع بيتا ذو الحدين السالب بأنه التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي منفصل ${\displaystyle X}$يساوي عدد حالات الفشل اللازمة للحصول على${\displaystyle r}$النجاحات في سلسلة من تجارب برنولي المستقلة . الاحتمال${\displaystyle p}$يظل معدل النجاح في كل تجربة ثابتًا ضمن أي تجربة معينة، ولكنه يختلف بين التجارب المختلفة وفقًا لتوزيع بيتا . وبالتالي، فإن التوزيع هو توزيع احتمالي مركب .

يُعرف هذا التوزيع أيضًا باسم توزيع ماركوف-بوليا العكسي وتوزيع وارينغ المعمم ^{[ 1 ]} أو يُختصر ببساطة إلى توزيع BNB . ويُطلق على شكل مُزاح من هذا التوزيع اسم توزيع بيتا-باسكال . ^{[ 1 ]}

إذا كانت معلمات توزيع بيتا${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$وإذا

${\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),}$

أين

${\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}$

ثم التوزيع الهامشي لـ${\displaystyle X}$(أي التوزيع التنبؤي اللاحق ) هو توزيع بيتا ذو الحدين السالب:

${\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta ).}$

في ما سبق،${\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)}$هو التوزيع ذو الحدين السالب و${\displaystyle {\textrm {B}}(\alpha ,\beta )}$هو توزيع بيتا .

يدل على${\displaystyle f_{X|p}(k|q),f_{p}(q|\alpha ,\beta )}$وباستخدام كثافات التوزيعات ذات الحدين السالبة وتوزيعات بيتا على التوالي، نحصل على دالة الكتلة الاحتمالية${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)}$ توزيع BNB عن طريق التهميش:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(k|\alpha ,\beta ,r)\;=&\;\int _{0}^{1}f_{X|p}(k|r,q)\cdot f_{p}(q|\alpha ,\beta )\mathrm {d} q\\=&\;\int _{0}^{1}{\binom {k+r-1}{k}}(1-q)^{k}q^{r}\cdot {\frac {q^{\alpha -1}(1-q)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\mathrm {d} q\\=&\;{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\binom {k+r-1}{k}}\int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q\end{aligned}}}$

مع ملاحظة أن قيمة التكامل تساوي:

${\displaystyle \int _{0}^{1}q^{\alpha +r-1}(1-q)^{\beta +k-1}\mathrm {d} q={\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)}{\Gamma (\alpha +\beta +k+r)}}}$

يمكننا التوصل إلى الصيغ التالية من خلال عمليات حسابية بسيطة نسبياً.

لو${\displaystyle r}$إذا كان عددًا صحيحًا، فيمكن كتابة دالة الكتلة الاحتمالية بدلالة دالة بيتا .

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

وبشكل أعم، يمكن كتابة دالة الكتلة الاحتمالية

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$

أو

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}$.

يُعد التوزيع الهندسي بيتا حالة خاصة مهمة من توزيع بيتا ذي الحدين السالب، ويحدث لـ${\displaystyle r=1}$في هذه الحالة، تتبسط دالة الكتلة الاحتمالية إلى

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} (\alpha +1,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

يتم استخدام هذا التوزيع في بعض نماذج "اشتر حتى تموت" (BTYD).

علاوة على ذلك، عندما${\displaystyle \beta =1}$يختزل التوزيع الهندسي بيتا إلى توزيع يول-سيمون . ومع ذلك، من الشائع تعريف توزيع يول-سيمون بدلالة نسخة مُزاحة من التوزيع الهندسي بيتا. على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle X\sim BG(\alpha ,1)}$ثم${\displaystyle X+1\sim YS(\alpha )}$.

في حالة وجود المعايير الثلاثة${\displaystyle r,\alpha }$و${\displaystyle \beta }$إذا كانت أعدادًا صحيحة موجبة، فيمكن أيضًا تفسير توزيع بيتا ذي الحدين السالب بنموذج الجرة - أو بشكل أكثر تحديدًا نموذج جرة بوليا الأساسي . لنفترض جرة تحتوي في البداية على${\displaystyle \alpha }$الكرات الحمراء (لون التوقف) و${\displaystyle \beta }$كرات زرقاء. في كل خطوة من خطوات النموذج، تُسحب كرة عشوائيًا من الجرة وتُعاد إلى مكانها، بالإضافة إلى كرة أخرى من نفس اللون. تُكرر العملية مرارًا وتكرارًا حتى${\displaystyle r}$يتم سحب كرات حمراء اللون. المتغير العشوائي${\displaystyle X}$يتم توزيع عمليات سحب الكرات الزرقاء المرصودة وفقًا لـ${\displaystyle \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta )}$لاحظ أنه في نهاية التجربة، تحتوي الجرة دائمًا على العدد الثابت${\displaystyle r+\alpha }$من الكرات الحمراء التي تحتوي على الرقم العشوائي${\displaystyle X+\beta }$كرات زرقاء.

بموجب خاصية عدم قابلية التحديد،${\displaystyle X}$يمكن توليدها بشكل مكافئ باستخدام الجرة التي تحتوي في البداية على${\displaystyle \alpha }$الكرات الحمراء (لون التوقف) و${\displaystyle r}$الخصيتان الزرقاوان والتوقف عندما${\displaystyle \beta }$لوحظ وجود كرات حمراء.

• التوزيع ذو الحدين السالب
• توزيع ديريشليه متعدد الحدود السالب

• جونسون، إن إل؛ كوتز، إس؛ كيمب، إيه دبليو (1993) التوزيعات المنفصلة أحادية المتغير ، الطبعة الثانية، وايلي، رقم ISBN 0-471-54897-9 (القسم 6.2.3)
• كيمب ، سي دي؛ كيمب، إيه دبليو (1956) "التوزيعات الهندسية الفائقة المعممة"، مجلة الجمعية الإحصائية الملكية ، السلسلة ب، 18، 202-211
• وانغ، تشاوليانغ (2011) "توزيع ذي الحدين السالب المختلط مع تطبيق"، مجلة التخطيط والاستدلال الإحصائي ، 141 (3)، 1153-1160 doi : 10.1016/j.jspi.2010.09.020

• رسم بياني تفاعلي: علاقات التوزيع أحادية المتغير