توزيع ديريشليه متعدد الحدود السالب

يُعد توزيع ديريشليه توزيعًا مترافقًا مع التوزيع متعدد الحدود السالب. وتؤدي هذه الحقيقة إلى توزيع مركب قابل للمعالجة التحليلية . بالنسبة لمتجه عشوائي لعدد الفئات${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{m})}$، موزعة وفقًا لتوزيع متعدد الحدود السالب ، يتم الحصول على التوزيع المركب عن طريق التكامل على التوزيع لـ p والذي يمكن اعتباره متجهًا عشوائيًا يتبع توزيع ديريشليه:

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})=\int _{\mathbf {p} }\mathrm {NegMult} (\mathbf {x} \mid x_{0},\mathbf {p} )\mathrm {Dir} (\mathbf {p} \mid \alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }}){\textrm {d}}\mathbf {p} }$

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\Gamma \left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right)}{\Gamma (x_{0})\prod _{i=1}^{m}x_{i}!}}{\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }}_{+})}}\int _{\mathbf {p} }\prod _{i=0}^{m}p_{i}^{x_{i}+\alpha _{i}-1}{\textrm {d}}\mathbf {p} }$

مما ينتج عنه الصيغة التالية:

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\Gamma \left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right)}{\Gamma (x_{0})\prod _{i=1}^{m}x_{i}!}}{\frac {{\mathrm {B} }(\mathbf {x_{+}} +{\boldsymbol {\alpha }}_{+})}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }}_{+})}}}$

أين${\displaystyle \mathbf {x_{+}} }$و${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{+}}$هم${\displaystyle m+1}$المتجهات ذات الأبعاد التي تم إنشاؤها عن طريق إلحاق القيم العددية${\displaystyle x_{0}}$و${\displaystyle \alpha _{0}}$إلى${\displaystyle m}$المتجهات متعددة الأبعاد${\displaystyle \mathbf {x} }$و${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ على التوالي و${\displaystyle \mathrm {B} }$هي الصيغة متعددة المتغيرات لدالة بيتا . يمكننا كتابة هذه المعادلة صراحةً على النحو التالي:

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})=x_{0}{\frac {\Gamma (\sum _{i=0}^{m}x_{i})\Gamma (\sum _{i=0}^{m}\alpha _{i})}{\Gamma (\sum _{i=0}^{m}(x_{i}+\alpha _{i}))}}\prod _{i=0}^{m}{\frac {\Gamma (x_{i}+\alpha _{i})}{\Gamma (x_{i}+1)\Gamma (\alpha _{i})}}.}$

توجد صيغ بديلة. أحد التمثيلات الملائمة ^{[ 1 ]} هو

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\Gamma (x_{\bullet })}{\Gamma (x_{0})\prod _{i=1}^{m}\Gamma (x_{i}+1)}}\times {\frac {\Gamma (\alpha _{\bullet })}{\prod _{i=0}^{m}\Gamma (\alpha _{i})}}\times {\frac {\prod _{i=0}^{m}\Gamma (x_{i}+\alpha _{i})}{\Gamma (x_{\bullet }+\alpha _{\bullet })}}}$

أين${\displaystyle x_{\bullet }=x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{m}}$و${\displaystyle \alpha _{\bullet }=\alpha _{0}+\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{m}}$.

ويمكن كتابة هذا أيضًا

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} \mid x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\mathrm {B} (x_{\bullet },\alpha _{\bullet })}{\mathrm {B} (x_{0},\alpha _{0})}}\prod _{i=1}^{m}{\frac {\Gamma (x_{i}+\alpha _{i})}{x_{i}!\Gamma (\alpha _{i})}}.}$

للحصول على التوزيع الهامشي لمجموعة فرعية من المتغيرات العشوائية متعددة الحدود السالبة من نوع ديريشليه، يكفي حذف المتغيرات غير ذات الصلة.${\displaystyle \alpha _{i}}$المتغيرات (التي يرغب المرء في استبعادها) من${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$المتجه. التوزيع المشترك للمتغيرات العشوائية المتبقية هو${\displaystyle \mathrm {DNM} (x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha _{(-)}}})}$أين${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha _{(-)}}}}$هو المتجه بعد إزالة${\displaystyle \alpha _{i}}$يقال إن التوزيعات الهامشية أحادية المتغير تتبع التوزيع الثنائي السالب بيتا .

إذا تم تقسيم x ذي الأبعاد m على النحو التالي

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}\\\mathbf {x} ^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}q\times 1\\(m-q)\times 1\end{bmatrix}}}$

وبناءً على ذلك ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}^{(1)}\\{\boldsymbol {\alpha }}^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}q\times 1\\(m-q)\times 1\end{bmatrix}}}$

ثم التوزيع الشرطي لـ${\displaystyle \mathbf {X} ^{(1)}}$على${\displaystyle \mathbf {X} ^{(2)}=\mathbf {x} ^{(2)}}$يكون${\displaystyle \mathrm {DNM} (x_{0}^{\prime },\alpha _{0}^{\prime },{\boldsymbol {\alpha }}^{(1)})}$أين

${\displaystyle x_{0}^{\prime }=x_{0}+\sum _{i=1}^{m-q}x_{i}^{(2)}}$

و

${\displaystyle \alpha _{0}^{\prime }=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{m-q}\alpha _{i}^{(2)}}$.

إنه،

${\displaystyle \Pr(\mathbf {x} ^{(1)}\mid \mathbf {x} ^{(2)},x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\mathrm {B} (x_{\bullet },\alpha _{\bullet })}{\mathrm {B} (x_{0}^{\prime },\alpha _{0}^{\prime })}}\prod _{i=1}^{q}{\frac {\Gamma (x_{i}^{(1)}+\alpha _{i}^{(1)})}{(x_{i}^{(1)}!)\Gamma (\alpha _{i}^{(1)})}}}$

لو

${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {DNM} (x_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m})}$

ثم، إذا تم حذف المتغيرات العشوائية ذات المؤشرات الموجبة i و j من المتجه واستبدالها بمجموعها،

${\displaystyle X'=(X_{1},\ldots ,X_{i}+X_{j},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {DNM} \left(x_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{i}+\alpha _{j},\ldots ,\alpha _{m}\right).}$

ل${\displaystyle \alpha _{0}>2}$عناصر مصفوفة الارتباط هي

${\displaystyle \rho (X_{i},X_{i})=1.}$

${\displaystyle \rho (X_{i},X_{j})={\frac {\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {var} (X_{i})\operatorname {var} (X_{j})}}}={\sqrt {\frac {\alpha _{i}\alpha _{j}}{(\alpha _{0}+\alpha _{i}-1)(\alpha _{0}+\alpha _{j}-1)}}}.}$

يُعد توزيع ديريشليه متعدد الحدود السالب توزيعًا ذو ذيل سميك . وليس له متوسط ​​محدود لـ${\displaystyle \alpha _{0}\leq 1}$ولها مصفوفة تباين لا نهائية لـ${\displaystyle \alpha _{0}\leq 2}$لذلك، فإن دالة توليد العزوم غير موجودة.

في حالة عندما${\displaystyle m+2}$حدود${\displaystyle x_{0},\alpha _{0}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$إذا كانت أعدادًا صحيحة موجبة، فيمكن أيضًا تبرير متعددة الحدود السالبة لـ Dirichlet بنموذج الجرة - أو بشكل أكثر تحديدًا نموذج جرة Pólya الأساسي . لنفترض جرة تحتوي في البداية على${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}{\alpha _{i}}}$كرات من${\displaystyle m+1}$ألوان متنوعة تشمل${\displaystyle \alpha _{0}}$الكرات الحمراء (لون التوقف). المتجه${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$يُعطي العدد النسبي للكرات الأخرى من مختلف الأنواع${\displaystyle m}$الألوان غير الحمراء. في كل خطوة من خطوات النموذج، تُسحب كرة عشوائيًا من الجرة وتُعاد إلى مكانها، مع كرة إضافية من نفس اللون. تُكرر العملية مرارًا وتكرارًا حتى${\displaystyle x_{0}}$يتم رسم كرات حمراء اللون. المتجه العشوائي${\displaystyle \mathbf {X} }$من السحوبات الملحوظة للآخر${\displaystyle m}$يتم توزيع الألوان غير الحمراء وفقًا لـ${\displaystyle \mathrm {DNM} (x_{0},\alpha _{0},{\boldsymbol {\alpha }})}$لاحظ أنه في نهاية التجربة، تحتوي الجرة دائمًا على العدد الثابت${\displaystyle x_{0}+\alpha _{0}}$من الكرات الحمراء التي تحتوي على الرقم العشوائي${\displaystyle \mathbf {X} +{\boldsymbol {\alpha }}}$من الآخر${\displaystyle m}$الألوان.