سلسلة زمنية

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

السلاسل الزمنية: بيانات عشوائية بالإضافة إلى اتجاه، مع خط أفضل مطابقة وفلاتر مختلفة مطبقة

في الرياضيات ، تُعرَّف السلسلة الزمنية بأنها تسلسل من نقاط البيانات مُفهرسة أو مُدرجة أو مُمثلة بيانيًا بترتيب زمني. في أغلب الأحيان، تتكون السلسلة الزمنية من ملاحظات مُسجلة في نقاط زمنية متتالية متساوية التباعد. وبالتالي، فهي تُمثل شكلاً من أشكال البيانات الزمنية المنفصلة . قد تصف السلسلة الزمنية قياسات جُمعت على مدى ثوانٍ أو أيام أو سنوات أو حتى قرون. تشمل الأمثلة الشائعة ارتفاعات المد والجزر ، وعدد البقع الشمسية ، وقراءات درجات الحرارة اليومية، وقيم إغلاق مؤشرات سوق الأسهم مثل مؤشر داو جونز الصناعي .

تُستخدم مخططات السلاسل الزمنية (وهي نوع من المخططات الخطية الزمنية ) غالبًا لتمثيل السلاسل الزمنية، مما يُساعد على تحديد الأنماط مثل الاتجاهات والتأثيرات الموسمية والتقلبات غير المنتظمة. وتُستخدم السلاسل الزمنية على نطاق واسع في الإحصاء ، والعلوم الاكتوارية ، ومعالجة الإشارات ، والتعرف على الأنماط ، والاقتصاد القياسي ، والتمويل الرياضي ، والتنبؤ بالطقس ، والتنبؤ بالزلازل ، وتخطيط كهربية الدماغ ، وهندسة التحكم ، وعلم الفلك ، وهندسة الاتصالات ، والعديد من المجالات الأخرى في العلوم والهندسة التطبيقية التي تتضمن قياسات زمنية.

يشمل تحليل السلاسل الزمنية أساليب تحليل بيانات السلاسل الزمنية لاستخلاص إحصاءات ذات دلالة وخصائص أخرى للبيانات. أما التنبؤ بالسلاسل الزمنية فهو استخدام نموذج للتنبؤ بالقيم المستقبلية بناءً على القيم المرصودة سابقًا. وعمومًا، تُنمذج بيانات السلاسل الزمنية كعملية عشوائية . وبينما يُستخدم تحليل الانحدار غالبًا لاختبار العلاقات بين سلسلة زمنية واحدة أو أكثر، فإن هذا النوع من التحليل لا يُسمى عادةً "تحليل السلاسل الزمنية"، الذي يشير تحديدًا إلى العلاقات بين نقاط زمنية مختلفة ضمن سلسلة واحدة.

تتميز بيانات السلاسل الزمنية بترتيب زمني طبيعي. وهذا ما يميز تحليل السلاسل الزمنية عن الدراسات المقطعية ، حيث لا يوجد ترتيب طبيعي للملاحظات (مثل تفسير أجور الأفراد بالرجوع إلى مستوياتهم التعليمية، حيث يمكن إدخال بيانات الأفراد بأي ترتيب). كما يختلف تحليل السلاسل الزمنية عن تحليل البيانات المكانية، حيث ترتبط الملاحظات عادةً بالمواقع الجغرافية (مثل تفسير أسعار المنازل حسب الموقع بالإضافة إلى خصائصها الذاتية). ويعكس النموذج العشوائي للسلسلة الزمنية عمومًا حقيقة أن الملاحظات المتقاربة زمنيًا تكون أكثر ارتباطًا من الملاحظات المتباعدة. علاوة على ذلك، غالبًا ما تستفيد نماذج السلاسل الزمنية من الترتيب الزمني أحادي الاتجاه، بحيث تُعبّر قيم فترة زمنية معينة عن كونها مشتقة بطريقة ما من القيم السابقة، وليس من القيم المستقبلية (انظر: قابلية عكس الزمن ).

يمكن تطبيق تحليل السلاسل الزمنية على البيانات الحقيقية المستمرة، أو البيانات الرقمية المنفصلة ، ​​أو البيانات الرمزية المنفصلة (أي تسلسلات الأحرف، مثل الحروف والكلمات في اللغة الإنجليزية [ 1 ] ).

أساليب التحليل

يمكن تقسيم أساليب تحليل السلاسل الزمنية إلى فئتين: أساليب المجال الترددي وأساليب المجال الزمني . تشمل الأولى التحليل الطيفي وتحليل الموجات الصغيرة ، بينما تشمل الثانية تحليل الارتباط الذاتي وتحليل الارتباط المتبادل . في المجال الزمني، يمكن إجراء الارتباط والتحليل بطريقة مشابهة للمرشح باستخدام الارتباط المُقاس ، مما يقلل الحاجة إلى العمل في المجال الترددي.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن تقسيم تقنيات تحليل السلاسل الزمنية إلى أساليب بارامترية وغير بارامترية . تفترض الأساليب البارامترية أن العملية العشوائية الثابتة الأساسية لها بنية معينة يمكن وصفها باستخدام عدد قليل من المعلمات (على سبيل المثال، باستخدام نموذج الانحدار الذاتي أو نموذج المتوسط ​​المتحرك ). في هذه الأساليب، تتمثل المهمة في تقدير معلمات النموذج الذي يصف العملية العشوائية. في المقابل، تقوم الأساليب غير البارامترية بتقدير التباين أو طيف العملية بشكل صريح دون افتراض أن للعملية أي بنية محددة.

يمكن أيضًا تقسيم أساليب تحليل السلاسل الزمنية إلى خطية وغير خطية ، وأحادية المتغير ومتعددة المتغيرات .

بيانات اللوحة

تُعدّ السلاسل الزمنية أحد أنواع بيانات اللوحات . تُصنّف بيانات اللوحات عمومًا ضمن مجموعات البيانات متعددة الأبعاد، بينما تُصنّف بيانات السلاسل الزمنية ضمن بيانات اللوحات أحادية البُعد (كما هو الحال في بيانات المقاطع العرضية ). قد تُظهر مجموعة البيانات خصائص كلٍّ من بيانات اللوحات وبيانات السلاسل الزمنية. إحدى طرق التمييز بينهما هي تحديد ما يُميّز سجل بيانات عن غيره. إذا كان حقل البيانات الزمنية هو الإجابة، فإنّ هذه المجموعة تُصنّف ضمن بيانات السلاسل الزمنية. أما إذا تطلّب تحديد سجل فريد حقل بيانات زمنية ومعرّفًا إضافيًا غير مرتبط بالوقت (مثل رقم الطالب، أو رمز السهم، أو رمز الدولة)، فإنّها تُصنّف ضمن بيانات اللوحات. وإذا كان التمييز يكمن في المعرّف غير الزمني، فإنّ مجموعة البيانات تُصنّف ضمن بيانات المقاطع العرضية.

تحليل

تتوفر عدة أنواع من التحفيز وتحليل البيانات للسلاسل الزمنية، وهي مناسبة لأغراض مختلفة.

تحفيز

في سياق الإحصاء ، والاقتصاد القياسي ، والتمويل الكمي ، وعلم الزلازل ، والأرصاد الجوية ، والجيوفيزياء، يتمثل الهدف الرئيسي لتحليل السلاسل الزمنية في التنبؤ . أما في سياق معالجة الإشارات ، وهندسة التحكم ، وهندسة الاتصالات، فيُستخدم للكشف عن الإشارات. وتشمل التطبيقات الأخرى استخراج البيانات ، والتعرف على الأنماط ، والتعلم الآلي ، حيث يُمكن استخدام تحليل السلاسل الزمنية للتجميع ، [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] والتصنيف ، [ 5 ] والاستعلام حسب المحتوى، [ 6 ] والكشف عن الحالات الشاذة ، بالإضافة إلى التنبؤ . [ 7 ]

التحليل الاستكشافي

سلسلة زمنية لوفيات السل في الولايات المتحدة 1954-2021

إحدى الطرق البسيطة لتحليل سلسلة زمنية منتظمة هي استخدام مخطط خطي يدوياً . يُظهر الرسم البياني وفيات السل في الولايات المتحدة [ 8 ] ، بالإضافة إلى التغير السنوي والنسبة المئوية للتغير من سنة إلى أخرى. انخفض إجمالي عدد الوفيات سنوياً حتى منتصف الثمانينيات، ثم شهد ارتفاعات متقطعة، غالباً ما كانت نسبية - ولكن ليس مطلقة - كبيرة.

كشفت دراسة أجريت على محللي بيانات الشركات عن تحديين رئيسيين في تحليل السلاسل الزمنية الاستكشافي: اكتشاف شكل الأنماط المهمة، وإيجاد تفسير لهذه الأنماط. [ 9 ] ويمكن للأدوات المرئية التي تمثل بيانات السلاسل الزمنية على شكل مصفوفات خرائط حرارية أن تساعد في التغلب على هذين التحديين.

التقدير والترشيح والتنعيم

قد يعتمد هذا النهج على التحليل التوافقي وترشيح الإشارات في مجال التردد باستخدام تحويل فورييه ، وتقدير الكثافة الطيفية . وقد تسارع تطويره بشكل ملحوظ خلال الحرب العالمية الثانية بفضل جهود عالم الرياضيات نوربرت وينر ، ومهندسي الكهرباء رودولف إي. كالمان ، ودينيس غابور، وغيرهم، وذلك لترشيح الإشارات من الضوضاء والتنبؤ بقيم الإشارة عند نقطة زمنية محددة.

يمكن تحقيق تأثير مماثل في المجال الزمني، كما هو الحال في مرشح كالمان ؛ انظر الترشيح والتنعيم لمزيد من التقنيات.

وتشمل التقنيات الأخرى ذات الصلة ما يلي:

ملاءمة المنحنيات

تُعرف عملية ملاءمة المنحنيات [ 12 ] [ 13 ] بأنها عملية إنشاء منحنى ، أو دالة رياضية ، تُطابق سلسلة من نقاط البيانات على أفضل وجه ، [ 14 ] مع إمكانية وجود قيود. [ 15 ] [ 16 ] قد تتضمن ملاءمة المنحنيات الاستيفاء ، [ 17 ] [ 18 ] حيث يُشترط مطابقة دقيقة للبيانات، أو التنعيم ، [ 19 ] [ 20 ] حيث تُنشأ دالة "ناعمة" تُطابق البيانات تقريبًا. ومن المواضيع ذات الصلة تحليل الانحدار ، [ 21 ] [ 22 ] الذي يُركز بشكل أكبر على مسائل الاستدلال الإحصائي ، مثل مقدار عدم اليقين الموجود في منحنى مُلائم لبيانات مُلاحظة مع أخطاء عشوائية. يُمكن استخدام المنحنيات المُلائمة كوسيلة مساعدة لتصور البيانات، [ 23 ] [ 24 ] لاستنتاج قيم دالة في حال عدم توفر بيانات، [ 25 ] ولتلخيص العلاقات بين متغيرين أو أكثر. [ 26 ] يشير الاستقراء إلى استخدام منحنى ملائم يتجاوز نطاق البيانات المرصودة، [ 27 ] ويخضع لدرجة من عدم اليقين [ 28 ] لأنه قد يعكس الطريقة المستخدمة لإنشاء المنحنى بقدر ما يعكس البيانات المرصودة.

معادلات النمو

بالنسبة للعمليات التي من المتوقع أن تنمو بشكل عام في الحجم، يمكن ملاءمة أحد المنحنيات في الرسم البياني (والعديد من المنحنيات الأخرى) عن طريق تقدير معلماتها.

يتضمن بناء السلاسل الزمنية الاقتصادية تقدير بعض المكونات لتواريخ محددة عن طريق الاستيفاء بين قيم ("معايير مرجعية") لتواريخ سابقة ولاحقة. الاستيفاء هو تقدير كمية مجهولة بين كميتين معلومتين (بيانات تاريخية)، أو استخلاص استنتاجات حول المعلومات المفقودة من المعلومات المتاحة ("قراءة ما بين السطور"). [ 29 ] يُعدّ الاستيفاء مفيدًا عندما تكون البيانات المحيطة بالبيانات المفقودة متاحة، ويكون اتجاهها وموسميتها ودوراتها طويلة الأجل معروفة. غالبًا ما يتم ذلك باستخدام سلسلة ذات صلة معروفة لجميع التواريخ ذات الصلة. [ 30 ] بدلاً من ذلك، يُستخدم الاستيفاء متعدد الحدود أو استيفاء الدوال التكعيبية، حيث يتم تركيب دوال متعددة الحدود مجزأة في فترات زمنية بحيث تتناسب بسلاسة معًا. ثمة مشكلة أخرى وثيقة الصلة بالاستيفاء، وهي تقريب دالة معقدة بدالة بسيطة (تُسمى أيضًا الانحدار ). الفرق الرئيسي بين الانحدار والاستيفاء هو أن الانحدار متعدد الحدود يُعطي متعدد حدود واحد يُنمذج مجموعة البيانات بأكملها. ومع ذلك، فإن الاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية ينتج عنه دالة متصلة جزئياً تتكون من العديد من كثيرات الحدود لنمذجة مجموعة البيانات.

الاستقراء هو عملية تقدير قيمة متغير ما، خارج نطاق الملاحظة الأصلي، بناءً على علاقته بمتغير آخر. وهو يشبه الاستيفاء ، الذي ينتج عنه تقديرات بين الملاحظات المعروفة، إلا أن الاستقراء أكثر عرضة لعدم اليقين ، ويزيد من احتمالية الحصول على نتائج غير ذات معنى.

تقريب الدالة

بشكل عام، تتطلب مسألة تقريب الدوال اختيار دالة من بين فئة محددة جيدًا تُطابق (تُقارب) دالة الهدف بطريقة خاصة بالمهمة. يمكن التمييز بين فئتين رئيسيتين من مسائل تقريب الدوال: أولًا، بالنسبة لدوال الهدف المعروفة، تُعد نظرية التقريب فرعًا من التحليل العددي يبحث في كيفية تقريب دوال معينة معروفة (مثل الدوال الخاصة ) بواسطة فئة محددة من الدوال (مثل كثيرات الحدود أو الدوال الكسرية ) التي غالبًا ما تتمتع بخصائص مرغوبة (حساب غير مكلف، استمرارية، قيم صحيحة ونهايات، إلخ).

ثانيًا، قد تكون دالة الهدف، ولنسمها g ، غير معروفة؛ فبدلًا من صيغة صريحة، تُقدَّم فقط مجموعة من النقاط (سلسلة زمنية) على الصورة ( x , g ( x )). وبناءً على بنية مجال ومجال g المقابل ، يمكن تطبيق عدة تقنيات لتقريب g . على سبيل المثال، إذا كانت g عملية على الأعداد الحقيقية ، فيمكن استخدام تقنيات الاستيفاء والاستقراء وتحليل الانحدار ومطابقة المنحنيات . أما إذا كان المجال المقابل (المدى أو مجموعة الهدف) لـ g مجموعة منتهية، فإننا نتعامل مع مشكلة تصنيف . وتتمثل إحدى المشكلات ذات الصلة بتقريب السلاسل الزمنية عبر الإنترنت [ 31 ] في تلخيص البيانات في عملية واحدة وبناء تمثيل تقريبي يدعم مجموعة متنوعة من استعلامات السلاسل الزمنية مع حدود لخطأ أسوأ الحالات.

إلى حد ما، تلقت المشكلات المختلفة ( الانحدار ، والتصنيف ، وتقريب اللياقة ) معالجة موحدة في نظرية التعلم الإحصائي ، حيث يتم النظر إليها على أنها مشكلات تعلم خاضعة للإشراف .

التنبؤ والتوقع

في علم الإحصاء ، يُعدّ التنبؤ جزءًا من الاستدلال الإحصائي . يُعرف أحد مناهج هذا الاستدلال بالاستدلال التنبؤي ، ولكن يمكن إجراء التنبؤ ضمن أيٍّ من مناهج الاستدلال الإحصائي المتعددة. في الواقع، يُعرَّف علم الإحصاء بأنه وسيلة لنقل المعرفة حول عينة من مجتمع إحصائي إلى المجتمع بأكمله، وإلى مجتمعات أخرى ذات صلة، وهو ما يختلف عن التنبؤ عبر الزمن. عندما تُنقل المعلومات عبر الزمن، غالبًا إلى نقاط زمنية محددة، تُعرف هذه العملية بالتنبؤ .

  • نماذج إحصائية متكاملة لأغراض المحاكاة العشوائية ، وذلك لإنشاء نسخ بديلة من السلاسل الزمنية، تمثل ما قد يحدث خلال فترات زمنية غير محددة في المستقبل.
  • نماذج إحصائية بسيطة أو كاملة لوصف النتيجة المحتملة للسلسلة الزمنية في المستقبل القريب، بالنظر إلى معرفة أحدث النتائج (التنبؤ).
  • عادة ما يتم التنبؤ بالسلاسل الزمنية باستخدام حزم البرامج الإحصائية الآلية ولغات البرمجة، مثل جوليا ، وبايثون ، و R ، و SAS ، و SPSS وغيرها الكثير.
  • يمكن إجراء التنبؤ على البيانات واسعة النطاق باستخدام Apache Spark من خلال مكتبة Spark-TS، وهي حزمة خارجية. [ 32 ]

تصنيف

إسناد نمط السلاسل الزمنية إلى فئة معينة، على سبيل المثال تحديد كلمة بناءً على سلسلة من حركات اليد في لغة الإشارة .

التجزئة

تقسيم السلاسل الزمنية إلى سلسلة من المقاطع. غالبًا ما يمكن تمثيل السلاسل الزمنية كسلسلة من المقاطع الفردية، لكل منها خصائصها المميزة. على سبيل المثال، يمكن تقسيم الإشارة الصوتية من مكالمة جماعية إلى أجزاء تتوافق مع الأوقات التي تحدث فيها كل شخص. في تجزئة السلاسل الزمنية، يكمن الهدف في تحديد نقاط حدود المقاطع في السلسلة الزمنية، وتوصيف الخصائص الديناميكية المرتبطة بكل مقطع. يمكن معالجة هذه المشكلة باستخدام تقنية كشف نقاط التغير ، أو عن طريق نمذجة السلسلة الزمنية كنظام أكثر تعقيدًا، مثل نظام ماركوف الخطي القافز.

التجميع

يمكن تجميع بيانات السلاسل الزمنية، ولكن يجب توخي الحذر عند النظر في تجميع التسلسلات الفرعية. [ 33 ] [ 34 ] يمكن تقسيم تجميع السلاسل الزمنية إلى

  • تجميع السلاسل الزمنية الكاملة (سلاسل زمنية متعددة لإيجاد مجموعة لها) [ 35 ]
  • تجميع السلاسل الزمنية الفرعية (سلسلة زمنية واحدة، مقسمة إلى أجزاء باستخدام النوافذ المنزلقة)
  • تجميع النقاط الزمنية

تجميع السلاسل الزمنية المتتابعة

أدى تجميع السلاسل الزمنية المتتابعة إلى ظهور مجموعات غير مستقرة (عشوائية) نتيجةً لاستخلاص الميزات باستخدام التجزئة مع النوافذ المنزلقة. [ 36 ] وقد وُجد أن مراكز المجموعات (متوسط ​​السلسلة الزمنية في المجموعة - وهي أيضًا سلسلة زمنية) تتبع نمطًا جيبيًا مُزاحًا بشكل عشوائي (بغض النظر عن مجموعة البيانات، حتى في حالات المشي العشوائي ). وهذا يعني أن مراكز المجموعات المُكتشفة لا تُمثل مجموعة البيانات، لأنها دائمًا ما تكون موجات جيبية غير تمثيلية.

نماذج

النماذج الكلاسيكية (AR، ARMA، ARIMA، والاختلافات المعروفة)

تتخذ نماذج بيانات السلاسل الزمنية أشكالًا متعددة، وتمثل عمليات عشوائية مختلفة . عند نمذجة التغيرات في مستوى عملية ما، تبرز ثلاث فئات رئيسية ذات أهمية عملية، وهي: نماذج الانحدار الذاتي (AR)، والنماذج التكاملية (I)، ونماذج المتوسط ​​المتحرك (MA). تعتمد هذه الفئات الثلاث خطيًا على نقاط البيانات السابقة. [ 37 ] ينتج عن دمج هذه الأفكار نماذج الانحدار الذاتي للمتوسط ​​المتحرك (ARMA) ونماذج الانحدار الذاتي للمتوسط ​​المتحرك التكاملي (ARIMA). أما نموذج الانحدار الذاتي للمتوسط ​​المتحرك التكاملي الجزئي (ARFIMA) فهو تعميم للنماذج الثلاثة السابقة. ومن التعميمات المهمة الأخرى نموذج الانحدار الذاتي المتغير زمنيًا (TVAR)، حيث يُسمح لمعاملات الانحدار الذاتي بالتغير مع مرور الوقت، مما يُمكّن النموذج من رصد الديناميكيات المتطورة أو غير المستقرة. تتوفر امتدادات لهذه الفئات للتعامل مع البيانات المتجهة تحت عنوان نماذج السلاسل الزمنية متعددة المتغيرات، وأحيانًا تُضاف الأحرف "V" في بداية الاختصارات للدلالة على "المتجه"، كما في VAR للانحدار الذاتي المتجهي . وتتوفر مجموعة إضافية من امتدادات هذه النماذج للاستخدام عندما تكون السلسلة الزمنية المرصودة مدفوعة بسلسلة زمنية "إجبارية" (قد لا يكون لها تأثير سببي على السلسلة المرصودة): ويكمن الفرق عن الحالة متعددة المتغيرات في أن السلسلة الإجبارية قد تكون حتمية أو خاضعة لسيطرة الباحث. في هذه النماذج، تُضاف الأحرف "X" في النهاية للدلالة على "الخارجي".

نماذج الانحدار الذاتي المتغير مع الزمن (TVAR)

تُعدّ نماذج الانحدار الذاتي المتغير مع الزمن (TVAR) مفيدةً للغاية لتحليل السلاسل الزمنية غير المستقرة، حيث تتطور الديناميكيات الأساسية بمرور الوقت بطرق معقدة، لا تقتصر على أشكال التغير التقليدية كالاتجاهات أو الأنماط الموسمية. على عكس نماذج الانحدار الذاتي التقليدية ذات المعاملات الثابتة، تسمح نماذج TVAR بتغير معاملات الانحدار الذاتي كدوال للزمن، وعادةً ما تُمثَّل من خلال توسعات دوال أساسية يُحدد المستخدم شكلها وتعقيدها، مما يتيح نمذجةً مرنةً للغاية للسلوك المتغير مع الزمن، وهو ما يمكّنها من رصد أنماط غير مستقرة محددة تُظهرها البيانات. هذه المرونة تجعلها مناسبةً تمامًا لنمذجة التغيرات الهيكلية، أو تحولات النظام، أو التطورات التدريجية في سلوك النظام. تُستخدم نماذج السلاسل الزمنية TVAR على نطاق واسع في مجالات مثل معالجة الإشارات، [ 38 ] [ 39 ] والاقتصاد، [ 40 ] والتمويل، [ 41 ] ومراقبة الموثوقية والحالة ، [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] والاتصالات، [ 45 ] [ 46 ] وعلم الأعصاب، [ 47 ] وعلوم المناخ، [ 48 ] والهيدرولوجيا، [ 49 ] حيث تُظهر السلاسل الزمنية غالبًا ديناميكيات لا تستطيع النماذج الخطية التقليدية تمثيلها بشكل كافٍ. يتضمن تقدير نماذج TVAR عادةً طرقًا مثل التنعيم باستخدام النواة، [ 50 ] والمربعات الصغرى المتكررة، [ 51 ] أو ترشيح كالمان. [ 52 ]

النماذج غير الخطية

يُعدّ الاعتماد غير الخطي لمستوى سلسلة زمنية على نقاط البيانات السابقة ذا أهمية، ويعود ذلك جزئيًا إلى إمكانية إنتاج سلسلة زمنية فوضوية . مع ذلك، والأهم من ذلك، تُشير الدراسات التجريبية إلى ميزة استخدام التنبؤات المُستمدة من النماذج غير الخطية، مقارنةً بتلك المُستمدة من النماذج الخطية، كما هو الحال في نماذج الانحدار الذاتي الخارجي غير الخطية . للمزيد من المراجع حول تحليل السلاسل الزمنية غير الخطية: (كانتز وشرايبر)، [ 53 ] و(أباربانيل)، [ 54 ].

من بين أنواع نماذج السلاسل الزمنية غير الخطية الأخرى، توجد نماذج لتمثيل تغيرات التباين عبر الزمن ( التغاير التبايني ). تمثل هذه النماذج التغاير التبايني الشرطي الانحداري الذاتي (ARCH)، وتشمل مجموعة واسعة من التمثيلات ( GARCH ، TARCH، EGARCH، FIGARCH، CGARCH، إلخ). هنا، ترتبط تغيرات التباين، أو يُتنبأ بها، بالقيم السابقة الحديثة للسلسلة المرصودة. وهذا على عكس التمثيلات الأخرى الممكنة للتباين المتغير محليًا، حيث يمكن نمذجة التباين على أنه مدفوع بعملية منفصلة متغيرة زمنيًا، كما هو الحال في النموذج العشوائي المزدوج .

مناهج النمذجة الأخرى

في دراسة حديثة حول التحليلات "غير المعتمدة على النموذج" (وهو مصطلح يُستخدم غالبًا للإشارة إلى التحليلات التي لا تعتمد على نمذجة تطور العمليات بمرور الوقت باستخدام تعبير رياضي بارامتري)، حظيت الطرق القائمة على تحويل المويجات (مثل المويجات الثابتة محليًا والشبكات العصبية المُحللة بالمويجات) بشعبية واسعة. [ 55 ] تعمل تقنيات التحليل متعدد المقاييس (التي يُشار إليها غالبًا بالتحليل متعدد الدقة) على تحليل سلسلة زمنية معينة، في محاولة لتوضيح التبعية الزمنية على مستويات متعددة. انظر أيضًا تقنيات التحويل متعدد الكسور ماركوف (MSMF) لنمذجة تطور التقلبات.

نموذج ماركوف المخفي (HMM) هو نموذج إحصائي لماركوف، حيث يُفترض أن النظام قيد الدراسة عبارة عن عملية ماركوف ذات حالات غير مُلاحظة (مخفية). يُمكن اعتبار نموذج ماركوف المخفي أبسط شبكة بايزية ديناميكية . تُستخدم نماذج ماركوف المخفية على نطاق واسع في التعرف على الكلام ، لترجمة سلسلة زمنية من الكلمات المنطوقة إلى نص.

يتم تجميع العديد من هذه النماذج في حزمة بايثون sktime .

الترميز

تُستخدم عدة رموز مختلفة لتحليل السلاسل الزمنية. أحد الرموز الشائعة لتحديد سلسلة زمنية X مُفهرسة بالأعداد الطبيعية هو:

X = ( X 1 , X 2 , ...) .

وهناك طريقة أخرى شائعة للترميز هي

Y = ( Y t : t ∈ T ) ,

حيث T هي مجموعة الفهارس .

شروط

هناك مجموعتان من الشروط التي يتم في ظلها بناء جزء كبير من النظرية:

تُشير خاصية الإرجودية إلى الثبات، ولكن العكس ليس بالضرورة صحيحًا. يُصنف الثبات عادةً إلى ثبات صارم وثبات واسع النطاق أو ثبات من الدرجة الثانية . يمكن تطوير النماذج والتطبيقات في ظل كل من هذه الشروط، مع العلم أن النماذج في الحالة الأخيرة قد تُعتبر مُحددة جزئيًا فقط.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن تطبيق تحليل السلاسل الزمنية سواء كانت السلاسل مستقرة موسمياً أو غير مستقرة. ويمكن معالجة الحالات التي تتغير فيها سعات مكونات التردد مع مرور الوقت باستخدام تحليل الزمن والتردد، الذي يستخدم تمثيلاً زمنياً-ترددياً للسلسلة الزمنية أو الإشارة. [ 56 ]

أدوات

تشمل الأدوات المستخدمة في تحليل بيانات السلاسل الزمنية ما يلي:

مقاسات

المقاييس أو الميزات الخاصة بالسلاسل الزمنية التي يمكن استخدامها لتصنيف السلاسل الزمنية أو تحليل الانحدار : [ 60 ]

التصور

يمكن تمثيل السلاسل الزمنية بيانيًا باستخدام نوعين من المخططات: المخططات المتداخلة والمخططات المنفصلة. تعرض المخططات المتداخلة جميع السلاسل الزمنية على نفس التخطيط، بينما تعرض المخططات المنفصلة السلاسل الزمنية على تخطيطات مختلفة (لكنها محاذية لغرض المقارنة) [ 64 ].

الرسوم البيانية المتداخلة

مخططات منفصلة

تاريخ

كان جيفونز أول من درس السلاسل الزمنية. [ 65 ] في كتابه، قام بدراسة عدد من السلاسل الزمنية المالية الأسبوعية بين عامي 1825 و1860 شاملةً. وشملت هذه السلاسل الزمنية حالات الإفلاس، وتداول العملة، وأسعار الخصم.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ لين، جيسيكا؛ كيو، إيمون؛ لوناردي، ستيفانو؛ تشيو، بيل (2003). "تمثيل رمزي للسلاسل الزمنية، مع آثار على خوارزميات البث المباشر". وقائع ورشة عمل ACM SIGMOD الثامنة حول قضايا البحث في استخراج البيانات واكتشاف المعرفة (ملف PDF) . نيويورك: مطبعة ACM. الصفحات 2-11. CiteSeerX 10.1.1.14.5597 . doi : 10.1145 / 882082.882086 . ISBN   978-1-4503-7422-4. S2CID 6084733 . 
  2. ↑ وارن لياو، ت. (نوفمبر 2005). "تجميع بيانات السلاسل الزمنية - دراسة استقصائية". التعرف على الأنماط . 38 (11): 1857-1874 . Bibcode : 2005PatRe..38.1857W . doi : 10.1016/j.patcog.2005.01.025 . S2CID 8973749 . 
  3. ↑ أغابوزورجي، سعيد؛ سيد شيرخورشيدي، علي؛ يينغ واه، تيه (أكتوبر 2015). "تجميع السلاسل الزمنية - مراجعة لعقد من الزمن". نظم المعلومات . 53 : 16-38 . doi : 10.1016/j.is.2015.04.007 . S2CID 158707 . 
  4. ↑ لي، أيمين؛ سيكي، شيونغ؛ جون هواي، لي (أبريل 2023). "AngClust: التجميع القائم على ميزات الزاوية لملفات تعريف التعبير الجيني لسلاسل زمنية قصيرة". معاملات IEEE/ACM في علم الأحياء الحاسوبي والمعلوماتية الحيوية . 20 (2): 1574-1580 . Bibcode : 2023ITCBB..20.1574L . doi : 10.1109/TCBB.2022.3192306 . PMID 35853049 . 
  5. ↑ كيوغ، إيمون؛ كاسيتي، شروتي (2002). "حول الحاجة إلى معايير قياسية لاستخراج البيانات من السلاسل الزمنية: دراسة استقصائية وتوضيح تجريبي". وقائع المؤتمر الدولي الثامن لجمعية ACM SIGKDD حول اكتشاف المعرفة واستخراج البيانات . الصفحات 102-111 . doi : 10.1145/775047.775062 . ISBN  1-58113-567-X.
  6. ↑ أغراوال، راكيش؛ فالوتسوس، كريستوس؛ سوامي، أرون (1993). "بحث فعال عن التشابه في قواعد بيانات التسلسل". أسس تنظيم البيانات والخوارزميات . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 730. الصفحات 69-84 . doi : 10.1007/3-540-57301-1_5 . ISBN   978-3-540-57301-2. S2CID 16748451 . 
  7. ↑ تشين، كاثي دبليو إس؛ تشيو، إل إم (4 سبتمبر 2021). "التنبؤ بسلاسل زمنية ترتيبية لمؤشر جودة الهواء" . إنتروبي . 23 ( 9): 1167. Bibcode : 2021Entrp..23.1167C . doi : 10.3390/e23091167 . PMC 8469594. PMID 34573792 .  
  8. ↑ "الجدول 1 | حالات السل المبلغ عنها في الولايات المتحدة 2022 | البيانات والإحصاءات | السل | مراكز السيطرة على الأمراض والوقاية منها" . 27 أغسطس 2024.
  9. ↑ ساركار، أدفايت؛ سبوت، مارتن؛ بلاكويل، آلان ف.؛ جامنيك، ماتيجا (2016). "الاكتشاف البصري والتفسير القائم على النموذج لأنماط السلاسل الزمنية" . ندوة IEEE لعام 2016 حول اللغات المرئية والحوسبة المتمحورة حول الإنسان (VL/HCC) . الصفحات 78-86 . doi : 10.1109/vlhcc.2016.7739668 . ISBN  978-1-5090-0252-8. S2CID 9787931 . 
  10. ↑ بلومفيلد، بيتر (1976). تحليل فورييه للسلاسل الزمنية: مقدمة . وايلي. ISBN 978-0-471-08256-9.
  11. ↑ شومواي، روبرت هـ. (1988). التحليل الإحصائي التطبيقي للسلاسل الزمنية . برنتيس هول. ISBN 978-0-13-041500-4.
  12. ↑ أرلينغهاوس، ساندرا (1994). دليل عملي لتركيب المنحنيات . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-0-8493-0143-8.
  13. ↑ كولب، ويليام م. (1984). ملاءمة المنحنيات للآلات الحاسبة القابلة للبرمجة . سينتك. ISBN 978-0-943494-02-9.
  14. ↑ هالي، إس إس؛ راو، كيه في (1992). تقنيات متقدمة لتحليل السكان . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 165. ISBN  978-0-306-43997-1تتحقق الوظائف إذا كان لدينا توافق جيد إلى متوسط ​​مع البيانات المرصودة .
  15. ↑ سيلفر، نيت (2012). الإشارة والضوضاء: لماذا تفشل الكثير من التوقعات بينما تنجح بعضها . دار بنغوين للنشر. ISBN 978-1-59420-411-1.
  16. ↑ بايل، دوريان (1999). إعداد البيانات لاستخراج البيانات . مورغان كوفمان. ISBN 978-1-55860-529-9.
  17. ↑ الطرق العددية في الهندسة باستخدام برنامج MATLAB. بقلم جان كيوسالاس . الصفحة 24.
  18. ↑ كيوسالاس، جان (2013). الأساليب العددية في الهندسة باستخدام بايثون 3. مطبعة جامعة كامبريدج. ص 21. ISBN  978-1-139-62058-1.
  19. ↑ غيست، فيليب جورج (2012). الطرق العددية لمطابقة المنحنيات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 349. ISBN  978-1-107-64695-7.
  20. ↑ انظر أيضًا: مُلَطِّف
  21. ↑ موتولسكي، هارفي؛ كريستوبولوس، آرثر (2004). ملاءمة النماذج للبيانات البيولوجية باستخدام الانحدار الخطي وغير الخطي: دليل عملي لملاءمة المنحنيات . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-803834-4.
  22. ↑ تحليل الانحدار بقلم رودولف ج. فرويند، ويليام ج. ويلسون، بينغ سا. الصفحة 269.
  23. ↑ داود، حنيتا؛ ساجايان، فيجانث؛ يحيى، نورهانا؛ نجواتي، وان (2009). "نمذجة الموجات الكهرومغناطيسية باستخدام التقنيات الإحصائية والرقمية". المعلوماتية المرئية: الربط بين البحث والتطبيق . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 5857. الصفحات 686-695 . doi : 10.1007/978-3-642-05036-7_65 . ISBN   978-3-642-05035-0.
  24. ↑ هاوزر، جون ر. (2009). الأساليب العددية للنماذج الهندسية غير الخطية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 227. ISBN  978-1-4020-9920-5.
  25. ↑ ويليام، دادلي، محرر (1976). "مطيافية النوى والذرات". مطيافية . طرق في الفيزياء التجريبية. المجلد 13. الصفحات 115-346 [150]. doi : 10.1016/S0076-695X(08)60643-2 . ​​ISBN   978-0-12-475913-8.
  26. ↑ سالكيند، نيل ج. (2010). موسوعة تصميم البحوث . سيج. ص 266. ISBN  978-1-4129-6127-1.
  27. ↑ كلوسترمان، ريتشارد إي. (1990). تقنيات تحليل وتخطيط المجتمعات . دار نشر روومان وليتلفيلد. ص 1. ISBN  978-0-7425-7440-3.
  28. ↑ يو، تشارلز إي. (مارس 1996). مقدمة في المخاطر وعدم اليقين في تقييم الاستثمارات البيئية (تقرير). فيلق مهندسي الجيش الأمريكي. ص 69. DTIC ADA316839 . 
  29. ↑ هامينغ، ريتشارد (2012). الأساليب العددية للعلماء والمهندسين . شركة كورير. ISBN 978-0-486-13482-6.
  30. ↑ فريدمان، ميلتون (ديسمبر 1962). "استيفاء السلاسل الزمنية بواسطة السلاسل المرتبطة". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 57 (300): 729-757 . doi : 10.1080/01621459.1962.10500812 .
  31. ↑ غاندي، سوراب؛ فوشيني، لوكا؛ سوري، سوبهاش (2010). "تقريب فعال من حيث المساحة لبيانات السلاسل الزمنية عبر الإنترنت: التدفقات، وفقدان الذاكرة، والترتيب غير المنتظم". المؤتمر الدولي السادس والعشرون لهندسة البيانات (ICDE 2010) لعام 2010. الصفحات 924-935 . doi : 10.1109/ICDE.2010.5447930 . ISBN  978-1-4244-5445-7. S2CID 16072352 . 
  32. ↑ رايزا، ساندي (18 مارس 2020). "تحليل السلاسل الزمنية باستخدام سبارك" (شرائح عرض تقديمي في قمة سبارك الشرقية 2016) . داتابريكس . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 يناير 2021 .
  33. ↑ زولهافاريه، سيد جمال؛ أغابوزورجي، سعيد؛ تيه، يينغ واه (2014). "مراجعة لتجميع السلاسل الزمنية المتتابعة" . مجلة العالم العلمي . 2014 312521. doi : 10.1155/2014/312521 . PMC 4130317. PMID 25140332 .  
  34. ↑ لي، أيمين؛ سيكي، شيونغ؛ جون هواي، لي (أبريل 2023). "AngClust: التجميع القائم على ميزات الزاوية لملفات تعريف التعبير الجيني لسلاسل زمنية قصيرة". معاملات IEEE/ACM في علم الأحياء الحاسوبي والمعلوماتية الحيوية . 20 (2): 1574-1580 . Bibcode : 2023ITCBB..20.1574L . doi : 10.1109/TCBB.2022.3192306 . PMID 35853049 . 
  35. ↑ نيكولتشيف، يفغيني؛ إيلين، ديمتري؛ تشيرفياكوف، ألكسندر (2026). "الثوابت الهندسية: نظرية للتطبيق على السلاسل الزمنية المالية" . التناظر . 18 1176. doi : 10.3390/sym18071176 .
  36. ↑ كيوغ، إيمون؛ لين، جيسيكا (أغسطس 2005). "تجميع التسلسلات الفرعية للسلاسل الزمنية لا معنى له: الآثار المترتبة على البحوث السابقة والمستقبلية". نظم المعرفة والمعلومات . 8 (2): 154-177 . doi : 10.1007/s10115-004-0172-7 .
  37. ↑ جيرشنفيلد، ن. (1999). طبيعة النمذجة الرياضية . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 205-208 . ISBN  978-0-521-57095-4.
  38. ↑ باتيستا دي سوزا، دوغلاس؛ كون، إدواردو فينيسيوس؛ سيارا، روي (يناير 2019). "نموذج انحدار ذاتي متغير زمنيًا لتوصيف العمليات غير المستقرة". رسائل معالجة الإشارات IEEE . 26 (1): 134-138 . Bibcode : 2019ISPL...26..134B . doi : 10.1109/LSP.2018.2880086 .
  39. ↑ كاي، ستيفن (أبريل 2008). "كاشف جديد لعدم الاستقرار" . معاملات IEEE في معالجة الإشارات . 56 (4): 1440-1451 . Bibcode : 2008ITSP...56.1440K . doi : 10.1109/TSP.2007.909346 .
  40. ↑ عنايتي، شريفة؛ إرياوان، نور (31 ديسمبر 2024). “نماذج الانحدار الذاتي المتغيرة بمرور الوقت للتنبؤ الاقتصادي” . ماتيماتيكا : 131-142 . دوى : 10.11113/matematika.v40.n3.1654 .
  41. ↑ جيا، تشي شوان؛ لي، وانغ؛ جيانغ، يون لونغ؛ ليو، شينغ شن (9 يوليو 2025). "استخدام خوارزميات التصغير لتحسين نماذج الانحدار الذاتي المتغيرة مع الزمن وتطبيقاتها في التمويل" . الرياضيات . 13 (14): 2230. doi : 10.3390/math13142230 .
  42. ↑ سوزا، دوغلاس بابتيستا دي؛ لياو، برونو بايس (5 نوفمبر 2024). "توسيع نطاق بيانات السلاسل الزمنية متعددة المتغيرات للمستشعرات باستخدام نماذج الانحدار الذاتي وتطبيقها على التنبؤ بالأعطال". المؤتمر السنوي لجمعية إدارة أصول الأنظمة . 16 (1). arXiv : 2410.16419 . doi : 10.36001/phmconf.2024.v16i1.4145 .
  43. ↑ سوزا، دوغلاس بابتيستا دي؛ لياو، برونو بايس (26 أكتوبر 2023). "زيادة بيانات السلاسل الزمنية للمستشعرات باستخدام العمليات الانحدارية الذاتية المتغيرة مع الزمن" . المؤتمر السنوي لجمعية إدارة صحة السكان . 15 (1). doi : 10.36001/phmconf.2023.v15i1.3565 .
  44. ↑ لي، هوانغ؛ ييمينغ، وانغ؛ جيانفنغ، كو؛ هاو، رين (2020). "منهجية تشخيص الأعطال القائمة على إشارات المراقبة غير المستقرة من خلال استخراج الميزات ذات التوزيع الاحتمالي غير المعروف" . IEEE Access . 8 : 59821–59836 . Bibcode : 2020IEEEA...859821L . doi : 10.1109/ACCESS.2020.2978112 .
  45. ↑ وانغ، شيهان؛ تشين، تاو؛ وانغ، هونغجيان (17 مارس 2023). "خوارزمية تشكيل الحزمة القائمة على IDBD لتحسين أداء رادار المصفوفة الطورية في البيئات غير المستقرة" . مجلة Sensors . 23 (6): 3211. Bibcode : 2023Senso..23.3211W . doi : 10.3390/s23063211 . PMC 10052024. PMID 36991922 .  
  46. ↑ وو، شياوروي؛ وو، تشونلينغ؛ دينغ، باي (23 فبراير 2023). "التنبؤ بمعدل فقدان الحزم في الشبكات غير المستقرة بناءً على متواليات الانحدار الذاتي المتغيرة مع الزمن" . الإلكترونيات . 12 (5): 1103. doi : 10.3390/electronics12051103 .
  47. ↑ غوتيريز، د.؛ سالازار-فاراس، ر. (أغسطس 2011). "تصنيف إشارات تخطيط كهربية الدماغ باستخدام نماذج الانحدار الذاتي المتغيرة زمنيًا والأنماط المكانية الشائعة". المؤتمر الدولي السنوي لعام 2011 لجمعية مهندسي الكهرباء والإلكترونيات في الهندسة الطبية والبيولوجية . الصفحات 6585-6588 . doi : 10.1109/IEMBS.2011.6091624 . ISBN  978-1-4577-1589-1PMID 22255848​​ 
  48. ↑ ديوداتو، نازارينو؛ دي سالفو، كريستينا؛ بيلوتشي، جياني (18 مارس 2025). "نموذج توليدي متغير زمنيًا مدفوع بالمناخ لتحسين التنبؤات العشرية لقوة العواصف في البحر الأبيض المتوسط" . مجلة اتصالات الأرض والبيئة . 6 (1): 212. رمز Bibcode : 2025ComEE...6..212D . doi : 10.1038/s43247-025-02196-2 .
  49. ↑ غو، تيانلي؛ سونغ، سونغ باي؛ يان، ياتينغ (1 أكتوبر 2022). "نموذج انحدار ذاتي متغير زمنيًا للتنبؤ بعمق المياه الجوفية". مجلة علم المياه . 613 128394. Bibcode : 2022JHyd..61328394G . doi : 10.1016/j.jhydrol.2022.128394 .
  50. ↑ تشانغ، تينغ؛ وو، وي بياو (1 يونيو 2012). "استدلال نماذج الانحدار المتغيرة مع الزمن". حوليات الإحصاء . 40 (3). arXiv : 1208.3552 . doi : 10.1214/12-AOS1010 .
  51. ↑ تشو، واي جيه؛ تشان، إس سي؛ تشانغ، زد جي؛ تسوي، كيه إم (مايو 2012). "خوارزمية تكرارية جديدة لتقدير نموذج الانحدار الذاتي المتغير زمنيًا (TVAR) وتطبيقها على تحليل الكلام". ندوة IEEE الدولية للدوائر والأنظمة 2012. الصفحات 1026-1029 . doi : 10.1109/ISCAS.2012.6271402 . ISBN  978-1-4673-0219-7.
  52. ↑ تشانغ، زد جي؛ تشان، إس سي؛ تشين، إكس. (ديسمبر 2013). "طريقة تكرارية جديدة قائمة على مرشح كالمان لقياس وتتبع الطيف المتغير زمنيًا للإشارات غير المستقرة". المؤتمر الدولي التاسع لعام 2013 حول المعلومات والاتصالات ومعالجة الإشارات . الصفحات 1-4 . doi : 10.1109/ICICS.2013.6782838 . ISBN  978-1-4799-0434-1.
  53. ↑ كانتز، هولجر؛ توماس، شرايبر (2004). تحليل السلاسل الزمنية غير الخطية . لندن: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-52902-0.
  54. ↑ أباربانيل، هنري (25 نوفمبر 1997). تحليل البيانات الفوضوية المرصودة . نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-98372-1.
  55. ↑ توماس، ر.؛ لي، ز.؛ لوبيز-سانشيز، ج.م.؛ ليو، ب.؛ سينغلتون، أ. (يونيو 2016). "استخدام أدوات الموجات الصغيرة لتحليل التغيرات الموسمية من بيانات السلاسل الزمنية لتقنية InSAR: دراسة حالة لانزلاق هوانغتوبو الأرضي" . الانزلاقات الأرضية . 13 (3): 437-450 . Bibcode : 2016Lands..13..437T . doi : 10.1007/s10346-015-0589-y . hdl : 10045/62160 . ISSN 1612-510X . 
  56. ↑ بوشاش، ب. (محرر)، (2003) تحليل ومعالجة الإشارات الزمنية الترددية: مرجع شامل ، إلسيفير ساينس، أكسفورد، 2003، رقم ISBN 0-08-044335-4
  57. ↑ نيكوليتش، دانكو؛ موريسان، راؤول سي؛ فينغ، ويجيا؛ سينغر، وولف (مارس 2012). "تحليل الارتباط المُقاس: طريقة أفضل لحساب مخطط الارتباط المتبادل". المجلة الأوروبية لعلم الأعصاب . 35 (5): 742-762 . doi : 10.1111/j.1460-9568.2011.07987.x . PMID 22324876. S2CID 4694570 .  
  58. ↑ لي، أيمين؛ سيكي، شيونغ؛ جون هواي، لي (أبريل 2023). "AngClust: التجميع القائم على ميزات الزاوية لملفات تعريف التعبير الجيني لسلاسل زمنية قصيرة". معاملات IEEE/ACM في علم الأحياء الحاسوبي والمعلوماتية الحيوية . 20 (2): 1574-1580 . Bibcode : 2023ITCBB..20.1574L . doi : 10.1109/TCBB.2022.3192306 . PMID 35853049 . 
  59. 1 2 ساكو، هـ.؛ تشيبا، س. (فبراير 1978). "تحسين خوارزمية البرمجة الديناميكية للتعرف على الكلمات المنطوقة". معاملات IEEE في الصوتيات والكلام ومعالجة الإشارات . 26 (1): 43-49 . doi : 10.1109/TASSP.1978.1163055 . S2CID 17900407 . 
  60. ↑ مورمان، فلوريان؛ أندريهجاك، رالف ج.؛ إلجر، كريستيان إي.؛ لينرتز، كلاوس (2007). "التنبؤ بالنوبات: الطريق الطويل والمتعرج" . الدماغ . 130 (2): 314-333 . doi : 10.1093/brain/awl241 . PMID 17008335 . 
  61. ↑ لاند، بروس؛ إلياس، داميان. "قياس 'تعقيد' السلاسل الزمنية" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2015-01-03.
  62. ↑ تشيفيريف، إيليا؛ كورميليتسين، أندريه (2016). "مقدمة في طريقة التوقيع في التعلم الآلي". arXiv : 1603.03788 [ stat.ML ].
  63. ↑ روبيلا، جي إي بي؛ ناج، دي إيه؛ هانت، سي إيه (2003). "مقاييس التشابه للمقارنة الآلية بين نتائج التجارب الحاسوبية والمخبرية". وقائع المؤتمر الدولي السنوي الخامس والعشرين لجمعية مهندسي الكهرباء والإلكترونيات في الطب وعلم الأحياء (رقم تصنيف IEEE: 03CH37439) . الصفحات 2933-2936 . doi : 10.1109/IEMBS.2003.1280532 . ISBN  978-0-7803-7789-9. S2CID 17798157 . 
  64. ↑ تومينسكي، كريستيان؛ أيغنر، وولفغانغ. "متصفح تايم فيز: دراسة بصرية لتقنيات التصور للبيانات الزمنية" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 12 فبراير 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 يونيو 2014 .
  65. ↑ دبليو إس جيفونز. تحقيقات في العملة والتمويل. ماكميلان، لندن، 1884

للمزيد من القراءة