توزيع حاصل ضرب متغيرين عشوائيين

نكتب أولاً دالة التوزيع التراكمي لـ${\displaystyle Z}$ابدأ بتعريفه

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z}(z)&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mathbb {P} (Z\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z,X\geq 0)+\mathbb {P} (XY\leq) z,X\leq 0)\\&=\mathbb {P} (Y\leq z/X,X\geq 0)+\mathbb {P} (Y\geq z/X,X\leq 0)\\&=\int _{0}^{\infty }f_{X}(x)\int _{-\infty }^{z/x}f_{Y}(y)\,dy\,dx+\int _{-\infty }^{0}f_{X}(x)\int _{z/x}^{\infty }f_{Y}(y)\,dy\,dx\end{aligned}}}$

نجد دالة كثافة الاحتمال المطلوبة عن طريق اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى${\displaystyle z}$بما أن على الجانب الأيمن، ${\displaystyle z}$يظهر فقط في حدود التكامل، ويمكن حساب المشتقة بسهولة باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة السلسلة . (لاحظ الإشارة السالبة المطلوبة عندما يظهر المتغير في الحد الأدنى للتكامل).

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{0}^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{x}}\,dx-\int _{-\infty }^{0}f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx+\int _{-\infty }^{0}f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx.\end{aligned}}}$

حيث تُستخدم القيمة المطلقة لدمج الحدين بسهولة. ^{[ 3 ]}

يبدأ برهان أسرع وأكثر إيجازًا بنفس خطوة كتابة التوزيع التراكمي لـ${\displaystyle Z}$بدءاً من تعريفها:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z}(z)&{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \ \mathbb {P} (Z\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(y)u(z-xy)\,dy\,dx\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle u(\cdot )}$هي دالة هيفسايد المتدرجة وتعمل على تحديد منطقة التكامل بقيم .${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$مُرضٍ${\displaystyle xy\leq z}$.

نجد دالة كثافة الاحتمال المطلوبة عن طريق اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى${\displaystyle z}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(y)\delta (z-xy)\,dy\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\left[\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(y)\delta (z-xy)\,dy\right]\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx.\end{aligned}}}$

حيث نستفيد من خصائص الترجمة والقياس لدالة ديراك دلتا${\displaystyle \delta }$.

يوضح الشكل أدناه وصفًا أكثر وضوحًا للإجراء. دالة كثافة الاحتمال المشتركة${\displaystyle f_{X}(x)f_{Y}(y)}$موجود في${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$مستوى وقوس ثابت${\displaystyle z}$تظهر القيمة كخط مظلل. لإيجاد الاحتمال الهامشي${\displaystyle f_{Z}(z)}$ على هذا القوس، قم بالتكامل على زيادات المساحة${\displaystyle dx\,dy\;f(x,y)}$على هذا الخط المحيطي.

بدءاً من${\displaystyle y={\frac {z}{x}}}$لدينا ${\displaystyle dy=-{\frac {z}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {y}{x}}\,dx}$إذن، الزيادة في الاحتمالية هي${\displaystyle \delta p=f(x,y)\,dx\,|dy|=f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {y}{|x|}}\,dx\,dx}$. منذ${\displaystyle z=yx}$يشير إلى${\displaystyle dz=y\,dx}$يمكننا ربط الزيادة في الاحتمالية بـ${\displaystyle z}$الزيادة، أي${\displaystyle \delta p=f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx\,dz}$ثم التكامل على${\displaystyle x}$، ينتج${\displaystyle f_{Z}(z)=\int f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx}$.

يترك${\displaystyle X\sim f(x)}$لتكن عينة عشوائية مسحوبة من توزيع احتمالي${\displaystyle f_{x}(x)}$. التوسع${\displaystyle X}$بواسطة${\displaystyle \theta }$يقوم بتوليد عينة من توزيع مُقاس${\displaystyle \theta X\sim {\frac {1}{|\theta |}}f_{X}\left({\frac {x}{\theta }}\right)}$والتي يمكن كتابتها كتوزيع شرطي ${\displaystyle g_{x}(x|\theta )={\frac {1}{|\theta |}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta }}\right)}$.

تأجير${\displaystyle \theta }$ليكن متغيرًا عشوائيًا بدالة كثافة احتمالية${\displaystyle f_{\theta }(\theta )}$يصبح توزيع العينة المُقاسة${\displaystyle f_{X}(\theta x)=g_{X}(x\mid \theta )f_{\theta }(\theta )}$والتكامل الخارجي${\displaystyle \theta }$نحصل${\displaystyle h_{x}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }g_{X}(x|\theta )f_{\theta }(\theta )d\theta }$لذا${\displaystyle \theta X}$يتم استخلاصها من هذا التوزيع${\displaystyle \theta X\sim h_{X}(x)}$ومع ذلك، فإن استبدال تعريف${\displaystyle g}$لدينا أيضًا ${\displaystyle h_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{|\theta |}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta }}\right)f_{\theta }(\theta )\,d\theta }$والذي له نفس شكل توزيع المنتج المذكور أعلاه. وبالتالي فإن التوزيع الاحتمالي الخلفي البايزي${\displaystyle h_{X}(x)}$هو توزيع حاصل ضرب عينتين عشوائيتين مستقلتين${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle X}$.

في حالة كون أحد المتغيرات منفصلاً، لنفترض${\displaystyle \theta }$ احتمالية${\displaystyle P_{i}}$على مستويات${\displaystyle \theta _{i}}$مع${\displaystyle \sum _{i}P_{i}=1}$الكثافة الشرطية هي${\displaystyle f_{X}(x\mid \theta _{i})={\frac {1}{|\theta _{i}|}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta _{i}}}\right)}$. لذلك ${\displaystyle f_{X}(\theta x)=\sum _{i}{\frac {P_{i}}{|\theta _{i}|}}f_{X}\left({\frac {x}{\theta _{i}}}\right)}$.

إن توزيع حاصل ضرب متغيرين عشوائيين يتبعان التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي هو توزيع لوغاريتمي طبيعي أيضًا. وهذه حالة خاصة من مجموعة نتائج أعمّ، حيث يمكن كتابة لوغاريتم حاصل الضرب كمجموع لوغاريتمات. وبالتالي، في الحالات التي يمكن فيها إيجاد نتيجة بسيطة في قائمة عمليات الالتفاف لتوزيعات الاحتمالات ، حيث تكون التوزيعات المراد التفافها هي لوغاريتمات مكونات حاصل الضرب، يمكن تحويل النتيجة للحصول على توزيع حاصل الضرب. مع ذلك، فإن هذا الأسلوب مفيد فقط عندما تكون لوغاريتمات مكونات حاصل الضرب ضمن بعض العائلات القياسية للتوزيعات.

يترك${\displaystyle Z}$ليكن ناتج متغيرين مستقلين${\displaystyle Z=X_{1}X_{2}}$كل منها موزعة بشكل منتظم على الفترة [0،1]، وربما تكون نتيجة لتحويل اقتران . كما ذُكر في "التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية" أعلاه، فإن عمليات التفاف دالة كثافة الاحتمال في المجال اللوغاريتمي تُقابل حاصل ضرب قيم العينة في المجال الأصلي. وبالتالي، فإن إجراء التحويل${\displaystyle u=\ln(x)}$بحيث${\displaystyle p_{U}(u)\,|du|=p_{X}(x)\,|dx|}$يتم توزيع كل متغير بشكل مستقل على u كما يلي

${\displaystyle p_{U}(u)={\frac {p_{X}(x)}{|du/dx|}}={\frac {1}{x^{-1}}}=e^{u},\;\;-\infty <u\leq 0}$.

والتفاف التوزيعين هو الالتفاف الذاتي

${\displaystyle c(y)=\int _{u=0}^{y}e^{u}e^{y-u}du=-\int _{u=y}^{0}e^{y}du=-ye^{y},\;\;-\infty <y\leq 0}$

ثم أعد تحويل المتغير إلى${\displaystyle z=e^{y}}$مما ينتج عنه التوزيع

${\displaystyle c_{2}(z)=c_{Y}(y)/|dz/dy|={\frac {-ye^{y}}{e^{y}}}=-y=\ln(1/z)}$على الفترة [0,1]

بالنسبة لحاصل ضرب  عينات مستقلة متعددة (> 2)، يكون مسار الدالة المميزة هو الأفضل. إذا عرّفنا${\displaystyle {\tilde {y}}=-y}$ثم${\displaystyle c({\tilde {y}})}$أعلاه هو توزيع جاما ذو شكل 1 ومعامل مقياس 1، ${\displaystyle c({\tilde {y}})={\tilde {y}}e^{-{\tilde {y}}}}$ ، ومعامل التباين المعروف له هو${\displaystyle (1-it)^{-1}}$. لاحظ أن${\displaystyle |d{\tilde {y}}|=|dy|}$إذن فإن مصفوفة جاكوبي للتحويل هي الوحدة.

التفاف${\displaystyle n}$عينات مستقلة من${\displaystyle {\tilde {Y}}}$وبالتالي لديه CF${\displaystyle (1-it)^{-n}}$وهو ما يُعرف بأنه عامل التوصيف لتوزيع جاما ذي الشكل${\displaystyle n}$:

${\displaystyle c_{n}({\tilde {y}})=\Gamma (n)^{-1}{\tilde {y}}^{(n-1)}e^{-{\tilde {y}}}=\Gamma (n)^{-1}(-y)^{(n-1)}e^{y}}$.

قم بإجراء التحويل العكسي${\displaystyle z=e^{y}}$ لاستخراج دالة كثافة الاحتمال لحاصل ضرب n عينة:

${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {c_{n}(y)}{|dz/dy|}}=\Gamma (n)^{-1}{\Big (}-\log z{\Big )}^{n-1}e^{y}/e^{y}={\frac {{\Big (}-\log z{\Big )}^{n-1}}{(n-1)!\;\;\;}}\;\;\;0<z\leq 1}$

الاستنتاج التالي، الأكثر تقليدية، من موقع Stackexchange ^{[ 7 ]} يتوافق مع هذه النتيجة. أولاً، لنفترض${\displaystyle Z_{2}=X_{1}X_{2}}$دالة التوزيع التراكمي الخاصة بها هي

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z_{2}}(z)=\Pr {\Big [}Z_{2}\leq z{\Big ]}&=\int _{x=0}^{1}\Pr {\Big [}X_{2}\leq {\frac {z}{x}}{\Big ]}f_{X_{1}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{z}1dx+\int _{x=z}^{1}{\frac {z}{x}}\,dx\\&=z-z\log z,\;\;0<z\leq 1\end{aligned}}}$

كثافة${\displaystyle z_{2}{\text{ is then }}f(z_{2})=-\log(z_{2})}$

بضرب الناتج في عينة مستقلة ثالثة نحصل على دالة التوزيع

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z_{3}}(z)=\Pr {\Big [}Z_{3}\leq z{\Big ]}&=\int _{x=0}^{1}\Pr {\Big [}X_{3}\leq {\frac {z}{x}}{\Big ]}f_{Z_{2}}(x)\,dx\\&=-\int _{x=0}^{z}\log(x)\,dx-\int _{x=z}^{1}{\frac {z}{x}}\log(x)\,dx\\&=-z{\Big (}\log(z)-1{\Big )}+{\frac {1}{2}}z\log ^{2}(z)\end{aligned}}}$

بأخذ المشتقة ينتج ${\displaystyle f_{Z_{3}}(z)={\frac {1}{2}}\log ^{2}(z),\;\;0<z\leq 1.}$

يفترض كاتب المذكرة أنه، بشكل عام، ${\displaystyle f_{Z_{n}}(z)={\frac {(-\log z)^{n-1}}{(n-1)!\;\;\;}},\;\;0<z\leq 1}$

يوضح الشكل طبيعة التكاملات المذكورة أعلاه. تمثل مساحة المنطقة المحددة داخل المربع الواحدي وأسفل الخط z = xy دالة التوزيع التراكمي لـ z. وتنقسم هذه المنطقة إلى جزأين. الأول هو للنطاق 0 < x < z، حيث تكون الزيادة في المساحة في الفتحة الرأسية مساوية لـ dx . أما الجزء الثاني فيقع أسفل الخط xy ، ويبلغ ارتفاعه y = z/x ، ومساحته المتزايدة dx = z/x .

يتبع حاصل ضرب عينتين طبيعيتين مستقلتين دالة بيسل المعدلة . ليكن${\displaystyle x,y}$أن تكون عينات مستقلة من توزيع طبيعي (0،1) و${\displaystyle z=xy}$. ثم

${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {K_{0}(|z|)}{\pi }},\;\;\;-\infty <z<+\infty }$

يمكن تحديد تباين هذا التوزيع، من حيث المبدأ، عن طريق التكامل المحدد من Gradsheyn و Ryzhik، ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\mu }K_{\nu }(ax)\,dx=2^{\mu -1}a^{-\mu -1}\Gamma {\Big (}{\frac {1+\mu +\nu }{2}}{\Big )}\Gamma {\Big (}{\frac {1+\mu -\nu }{2}}{\Big )},\;\;a>0,\;\nu +1\pm \mu >0}$

هكذا ${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {z^{2}K_{0}(|z|)}{\pi }}\,dz={\frac {4}{\pi }}\;\Gamma ^{2}{\Big (}{\frac {3}{2}}{\Big )}=1}$

ثمة نتيجة أبسط بكثير، وردت في قسم سابق، وهي أن تباين حاصل ضرب عينتين مستقلتين متوسطهما صفر يساوي حاصل ضرب تبايناتهما. وبما أن تباين كل عينة طبيعية يساوي واحدًا، فإن تباين حاصل الضرب يساوي واحدًا أيضًا.

غالباً ما يُخلط بين حاصل ضرب عينتين غاوسيتين وحاصل ضرب دالتين كثافة احتمالية غاوسيتين. ينتج عن الأخير ببساطة توزيع غاوسي ثنائي المتغيرات.

تناول ناداراجاها وبوغاني مؤخرًا حالة ناتج عينات التوزيع الطبيعي المترابطة. ^{[ 9 ]} ليكن${\displaystyle X{\text{, }}Y}$متغيرات ذات متوسط ​​صفري، وتباين يساوي واحدًا، وموزعة توزيعًا طبيعيًا بمعامل ارتباط${\displaystyle \rho {\text{ and let }}Z=XY}$

ثم

${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left({\frac {\rho z}{1-\rho ^{2}}}\right)K_{0}\left({\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\right)}$

المتوسط ​​والتباين : بالنسبة للمتوسط ​​لدينا${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\rho }$انطلاقًا من تعريف معامل الارتباط، يمكن إيجاد التباين بتحويل متغيرين غير مرتبطين U و V ، لهما تباين يساوي واحدًا ومتوسط ​​يساوي صفرًا. لنفترض

${\displaystyle X=U,\;\;Y=\rho U+{\sqrt {(1-\rho ^{2})}}V}$

إذن ، X و Y متغيران ذوا تباين موحد ومعامل ارتباط${\displaystyle \rho }$و

${\displaystyle (XY)^{2}=U^{2}{\bigg (}\rho U+{\sqrt {(1-\rho ^{2})}}V{\bigg )}^{2}=U^{2}{\bigg (}\rho ^{2}U^{2}+2\rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}UV+(1-\rho ^{2})V^{2}{\bigg )}}$

بإزالة الحدود ذات القوى الفردية، والتي من الواضح أن توقعاتها تساوي صفرًا، نحصل على

${\displaystyle \operatorname {E} [(XY)^{2}]=\rho ^{2}\operatorname {E} [U^{4}]+(1-\rho ^{2})\operatorname {E} [U^{2}]\operatorname {E} [V^{2}]=3\rho ^{2}+(1-\rho ^{2})=1+2\rho ^{2}}$

منذ${\displaystyle (\operatorname {E} [Z])^{2}=\rho ^{2}}$لدينا

${\displaystyle \operatorname {Var} (Z)=\operatorname {E} [Z^{2}]-(\operatorname {E} [Z])^{2}=1+2\rho ^{2}-\rho ^{2}=1+\rho ^{2}}$

خط التقارب للارتباط العالي: في حالة الارتباط العالي،${\displaystyle \rho \rightarrow 1}$يتقارب الناتج على مربع عينة واحدة. في هذه الحالة${\displaystyle K_{0}}$الخط المقارب هو${\displaystyle K_{0}(x)\rightarrow {\sqrt {\tfrac {\pi }{2x}}}e^{-x}{\text{ in the limit as }}x={\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\rightarrow \infty }$ و

${\displaystyle {\begin{aligned}p(z)&\rightarrow {\frac {1}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left({\frac {\rho z}{1-\rho ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {\pi (1-\rho ^{2})}{2z}}}\exp \left(-{\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp {\Bigg (}{\frac {-|z|+\rho z}{(1-\rho )(1+\rho )}}{\Bigg )}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp {\Bigg (}{\frac {-z}{1+\rho }}{\Bigg )},\;\;z>0\\&\rightarrow {\frac {1}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}){\sqrt {2z}}}}e^{-{\tfrac {z}{2}}},\;\;{\text{ as }}\rho \rightarrow 1\\\end{aligned}}}$

وهو توزيع كاي تربيع بدرجة حرية واحدة.

عينات متعددة مترابطة . كما يوضح ناداراجاها وآخرون أنه إذا${\displaystyle Z_{1},Z_{2},..Z_{n}{\text{ are }}n}$متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع تم أخذ عينات منها${\displaystyle f_{Z}(z)}$و${\displaystyle {\bar {Z}}={\tfrac {1}{n}}\sum Z_{i}}$هل هذا هو متوسطهم إذن؟

${\displaystyle f_{\bar {Z}}(z)={\frac {n^{n/2}2^{-n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}|z|^{n/2-1}\exp \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}z\right){W}_{0,{\frac {1-n}{2}}}(|z|),\;\;-\infty <z<\infty .}$

حيث W هي دالة ويتاكر بينما${\displaystyle \beta ={\frac {n}{1-\rho }},\;\;\gamma ={\frac {n}{1+\rho }}}$.

استخدام الهوية${\displaystyle W_{0,\nu }(x)={\sqrt {\frac {x}{\pi }}}K_{\nu }(x/2),\;\;x\geq 0}$انظر على سبيل المثال إلى تجميع DLMF. يمكن تبسيط هذا التعبير إلى حد ما إلى المعادلة (13.13.9)، ^{[ 10 ]}

${\displaystyle f_{\bar {z}}(z)={\frac {n^{n/2}2^{-n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}|z|^{n/2-1}\exp \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}z\right){\sqrt {{\frac {\beta +\gamma }{\pi }}|z|}}\;K_{\frac {1-n}{2}}\left({\frac {\beta +\gamma }{2}}|z|\right),\;\;-\infty <z<\infty .}$

يُعطي ملف كثافة الاحتمال التوزيع الهامشي للتغاير الطبيعي ثنائي المتغيرات للعينة، وهي نتيجة مُوضحة أيضًا في مقالة توزيع ويشارت. ويمكن إيجاد التوزيع التقريبي لمعامل الارتباط باستخدام تحويل فيشر .

عينات متعددة غير مركزية مترابطة . تم اشتقاق توزيع ناتج العينات الطبيعية غير المركزية المترابطة بواسطة كوي وآخرون ^{[ 11 ]} ويأخذ شكل سلسلة لانهائية من دوال بيسل المعدلة من النوع الأول.

لحظات ناتجة عن عينات طبيعية مركزية مترابطة

بالنسبة للتوزيع الطبيعي المركزي N(0,1)، تكون العزوم هي

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}]={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{p}\exp(-{\tfrac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}})\,dx={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}}$

أين${\displaystyle n!!}$يرمز إلى المضروب المزدوج .

لو${\displaystyle X,Y\sim {\text{Norm}}(0,1)}$إذا كانت المتغيرات مترابطة مركزياً، وهي أبسط حالة ثنائية المتغيرات لمسألة العزم الطبيعي متعدد المتغيرات التي وصفها كان، ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]={\begin{cases}0&{\text{if }}p+q{\text{ is odd,}}\\{\frac {p!q!}{2^{\tfrac {p+q}{2}}}}\sum _{k=0}^{t}{\frac {(2\rho )^{2k}}{{\Big (}{\frac {p}{2}}-k{\Big )}!\;{\Big (}{\frac {q}{2}}-k{\Big )}!\;(2k)!}}&{\text{if }}p{\text{ and }}q{\text{ are even}}\\{\frac {p!q!}{2^{\tfrac {p+q}{2}}}}\sum _{k=0}^{t}{\frac {(2\rho )^{2k+1}}{{\Big (}{\frac {p-1}{2}}-k{\Big )}!\;{\Big (}{\frac {q-1}{2}}-k{\Big )}!\;(2k+1)!}}&{\text{if }}p{\text{ and }}q{\text{ are odd}}\end{cases}}}$

أين

${\displaystyle \rho }$هو معامل الارتباط و${\displaystyle t=\min([p,q]/2)}$

[بحاجة إلى مراجعة]

تم اشتقاق توزيع ناتج العينات الطبيعية غير المركزية المرتبطة بواسطة Cui et al. ^{[ 11 ]} ويأخذ شكل سلسلة لانهائية.

تُشابه توزيعات المنتجات هذه إلى حد ما توزيع ويشارت . وهذا الأخير هو التوزيع المشترك للعناصر الأربعة (في الواقع ثلاثة عناصر مستقلة فقط) لمصفوفة التغاير العيني .${\displaystyle x_{t},y_{t}}$إذا كانت العينات مأخوذة من سلسلة زمنية ثنائية المتغيرات ، فإن${\displaystyle W=\sum _{t=1}^{K}{\dbinom {x_{t}}{y_{t}}}{\dbinom {x_{t}}{y_{t}}}^{T}}$هي مصفوفة ويشارت ذات K درجة حرية. تمثل توزيعات الضرب أعلاه التوزيع غير المشروط لمجموع K > 1 عينة من${\displaystyle W_{2,1}}$.