معادلة شرودنغر

عادةً ما تُقدّم المقررات التمهيدية في الفيزياء أو الكيمياء معادلة شرودنغر بطريقة لا يمكن فهمها إلا بمعرفة مفاهيم ورموز حساب التفاضل والتكامل الأساسي ، وخاصةً المشتقات بالنسبة للمكان والزمان. ومن الحالات الخاصة لمعادلة شرودنغر التي يمكن صياغتها بهذه المصطلحات، معادلة شرودنغر في فضاء الموضع لجسيم واحد غير نسبي في بُعد واحد. $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\right]\Psi (x,t).}$$ هنا،${\displaystyle \Psi (x,t)}$هي دالة موجية، وهي دالة تُسند عددًا مركبًا لكل نقطة${\displaystyle x}$في كل وقت${\displaystyle t}$المعلمة${\displaystyle m}$هي كتلة الجسيم، و${\displaystyle V(x,t)}$هي دالة طاقة الوضع التي تمثل البيئة التي يوجد فيها الجسيم. ^{[ 6 ] : 74} الثابت${\displaystyle i}$هي الوحدة التخيلية ، و${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل ، ووحداته هي الفعل ( الطاقة مضروبة في الزمن). ^{[ 6 ] : 10}

وبالتوسع إلى ما هو أبعد من هذه الحالة البسيطة، فإن الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم التي طورها بول ديراك ^{[ 7 ]} ، وديفيد هيلبرت ^{[ 8 ]،} وجون فون نيومان ^{[ 9 ]} ، وهيرمان فايل ^{[ 10 ]} تُعرّف حالة نظام ميكانيكي الكم على أنها متجه.${\displaystyle |\psi \rangle }$ينتمي إلى فضاء هيلبرت المركب القابل للفصل${\displaystyle {\mathcal {H}}}$يُفترض أن هذا المتجه مُعَيَّرٌ تحت الضرب الداخلي لفضاء هيلبرت، أي أنه في تدوين ديراك يخضع لـ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$تعتمد الطبيعة الدقيقة لفضاء هيلبرت هذا على النظام  - على سبيل المثال، لوصف الموضع والزخم، فإن فضاء هيلبرت هو فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي${\displaystyle L^{2}}$بينما فضاء هيلبرت لدوران بروتون واحد هو فضاء متجهي معقد ثنائي الأبعاد${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$مع الناتج الداخلي المعتاد. ^{[ 6 ] : 322}

تُمثَّل الكميات الفيزيائية المهمة - كالموقع والزخم والطاقة والدوران - بواسطة متغيرات قابلة للرصد ، وهي مؤثرات ذاتية الترافق تعمل على فضاء هيلبرت. يمكن أن تكون دالة الموجة متجهًا ذاتيًا لمتغير قابل للرصد، وفي هذه الحالة تُسمى حالة ذاتية ، وتُقابل القيمة الذاتية المرتبطة بها قيمة المتغير القابل للرصد في تلك الحالة الذاتية. وبشكل أعم، تكون الحالة الكمومية عبارة عن توليفة خطية من الحالات الذاتية، تُعرف بالتراكب الكمومي . عند قياس متغير قابل للرصد، تكون النتيجة إحدى قيمه الذاتية باحتمالية تُحددها قاعدة بورن : في أبسط الحالات، تكون القيمة الذاتية${\displaystyle \lambda }$غير منحلة، والاحتمالية معطاة بواسطة${\displaystyle |\langle \lambda |\psi \rangle |^{2}}$، أين${\displaystyle |\لامدا \rangle }$هو متجهها الذاتي المرتبط. وبشكل أعم، تكون القيمة الذاتية منعدمة، ويُعطى الاحتمال بواسطة${\displaystyle \langle \psi |P_{\lambda }|\psi \rangle }$، أين${\displaystyle P_{\lambda }}$هو المسقط على فضاءه الذاتي المرتبط به. ^{[ ملاحظة 1 ]}

تُعدّ حالة الزخم الذاتية موجة أحادية اللون تمامًا ذات امتداد لانهائي، وهي غير قابلة للتكامل التربيعي. وبالمثل، تُعدّ حالة الموضع الذاتية توزيع ديراك دلتا ، وهي غير قابلة للتكامل التربيعي، وليست دالة من الناحية الفنية. وبالتالي، لا يمكن لأي منهما أن ينتمي إلى فضاء هيلبرت الخاص بالجسيم. يُطلق الفيزيائيون أحيانًا على هذه الحالات الذاتية، المُكوّنة من عناصر خارج فضاء هيلبرت، اسم " المتجهات الذاتية المُعمّمة ". تُستخدم هذه المتجهات لتسهيل الحسابات، ولا تُمثّل حالات فيزيائية. ^{[ 11 ] [ 12 ] : 100-105.} ومن ثم، فإن دالة الموجة في فضاء الموضع${\displaystyle \Psi (x,t)}$يمكن كتابة التعبير المستخدم أعلاه كحاصل ضرب داخلي لمتجه حالة يعتمد على الزمن${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$باستخدام "حالات ذاتية للموضع" غير فيزيائية ولكنها ملائمة${\displaystyle |x\rangle }$: $${\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x|\Psi (t)\rangle .}$$

يعتمد شكل معادلة شرودنغر على الحالة الفيزيائية. وأكثر أشكالها عموميةً هي معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن، والتي تصف نظامًا يتطور مع الزمن: ^{[ 13 ] : 143}

أين${\displaystyle t}$حان الوقت،${\displaystyle \vert \Psi (t)\rangle }$هو متجه الحالة للنظام الكمومي (${\displaystyle \Psi }$(حيث أن الحرف اليوناني بسي )، و${\displaystyle {\hat {H}}}$هو متغير قابل للملاحظة، وهو عامل هاميلتوني .

يشير مصطلح "معادلة شرودنغر" إلى كلٍّ من المعادلة العامة والصيغة غير النسبية الخاصة بها. وتُعدّ المعادلة العامة شائعة الاستخدام في ميكانيكا الكم، بدءًا من معادلة ديراك وصولًا إلى نظرية الحقل الكمومي ، وذلك من خلال إدخال تعابير متنوعة للهاميلتوني. أما الصيغة غير النسبية الخاصة فهي تقريب يُعطي نتائج دقيقة في كثير من الحالات، ولكن إلى حدٍّ معين فقط (انظر ميكانيكا الكم النسبية ونظرية الحقل الكمومي النسبية ).

لتطبيق معادلة شرودنغر، اكتب الهاميلتوني للنظام، مع مراعاة طاقات الحركة والوضع للجسيمات المكونة للنظام، ثم أدخله في معادلة شرودنغر. تُحل المعادلة التفاضلية الجزئية الناتجة لإيجاد دالة الموجة، التي تحتوي على معلومات حول النظام. عمليًا، يُؤخذ مربع القيمة المطلقة لدالة الموجة عند كل نقطة لتعريف دالة كثافة الاحتمال . ^{[ 6 ] : 78} على سبيل المثال، إذا كانت لدينا دالة موجة في فضاء الموضع${\displaystyle \Psi (x,t)}$كما ذكرنا سابقاً، لدينا $${\displaystyle \Pr(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}.}$$

تتنبأ معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن، والموصوفة أعلاه، بإمكانية تكوين موجات مستقرة من خلال الدوال الموجية ، وتُسمى هذه الموجات بالحالات المستقرة . وتكتسب هذه الحالات أهمية خاصة، إذ أن دراستها بشكل منفرد تُسهّل لاحقًا مهمة حل معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن لأي حالة. كما يمكن وصف الحالات المستقرة بصيغة أبسط من معادلة شرودنغر، وهي معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن.

أين${\displaystyle E}$هي طاقة النظام. ^{[ 6 ] : 134} يُستخدم هذا فقط عندما لا يعتمد الهاميلتوني نفسه على الزمن بشكل صريح. مع ذلك، حتى في هذه الحالة، تعتمد دالة الموجة الكلية على الزمن كما هو موضح في قسم الخطية أدناه. بلغة الجبر الخطي ، هذه المعادلة هي معادلة قيم ذاتية . لذلك، فإن دالة الموجة هي دالة ذاتية لمؤثر الهاميلتوني مع قيمة (قيم) ذاتية مقابلة.${\displaystyle E}$.

معادلة شرودنغر هي معادلة تفاضلية خطية ، مما يعني أنه إذا كان متجهان للحالة${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$و${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$إذا كانت الحلول هي حلول، فإن أي تركيبة خطية هي كذلك.$${\displaystyle |\psi \rangle =a|\psi _{1}\rangle +b|\psi _{2}\rangle }$$ من متجهي الحالة حيث a و b أي عددين مركبين. ^{[ 14 ] : 25} علاوة على ذلك، يمكن تعميم المجموع لأي عدد من متجهات الحالة. تسمح هذه الخاصية بأن تكون تراكبات الحالات الكمومية حلولًا لمعادلة شرودنغر. وبشكل أعم، يمكن إيجاد حل عام لمعادلة شرودنغر بأخذ مجموع مرجح على أساس من الحالات. أحد الخيارات الشائعة هو أساس حالات الطاقة الذاتية، وهي حلول لمعادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن. في هذا الأساس، متجه حالة معتمد على الزمن${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$يمكن كتابتها كتركيبة خطية $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}A_{n}e^{{-iE_{n}t}/\hbar }|\psi _{E_{n}}\rangle ,}$$ أين${\displaystyle A_{n}}$هي أعداد مركبة والمتجهات${\displaystyle |\psi _{E_{n}}\rangle }$هي حلول للمعادلة غير المعتمدة على الزمن${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{E_{n}}\rangle =E_{n}|\psi _{E_{n}}\rangle }$.

حمل الهاميلتوني${\displaystyle {\hat {H}}}$ثابت، معادلة شرودنغر لها الحل ^{[ 13 ]}$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .}$$ المشغل${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$يُعرف باسم عامل التطور الزمني، وهو عامل وحدوي : إذ يحافظ على الضرب الداخلي بين المتجهات في فضاء هيلبرت. ^{[ 14 ]} تُعدّ الوحدة سمة عامة للتطور الزمني في ظل معادلة شرودنغر. إذا كانت الحالة الابتدائية${\displaystyle |\Psi (0)\rangle }$ثم الدولة في وقت لاحق${\displaystyle t}$سيتم تقديمها بواسطة $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\Psi (0)\rangle }$$ بالنسبة لبعض المشغلات الوحدوية${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$على العكس من ذلك، لنفترض أن${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$هي عائلة متصلة من المؤثرات الوحدوية المُعَلمة بواسطة${\displaystyle t}$دون الإخلال بعمومية الحل ، ^{[ 15 ]} يمكن اختيار المعلمات بحيث${\displaystyle {\hat {U}}(0)}$هو عامل الهوية وذلك${\displaystyle {\hat {U}}(t/N)^{N}={\hat {U}}(t)}$لأي${\displaystyle N>0}$. ثم${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$يعتمد ذلك على المعلمة${\displaystyle t}$بطريقة تجعل $${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {G}}t}}$$ بالنسبة لبعض المؤثرات الذاتية المرافقة${\displaystyle {\hat {G}}}$، الذي يُطلق عليه مولد الأسرة${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$الهاميلتوني هو مولد من هذا النوع (حتى عامل ثابت بلانك الذي يُساوي 1 في الوحدات الطبيعية ). ولإثبات أن المولد هيرميتي، لاحظ أنه مع${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)\approx {\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t}$لدينا $${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)^{\dagger }{\hat {U}}(\delta t)\approx ({\hat {U}}(0)^{\dagger }+i{\hat {G}}^{\dagger }\delta t)({\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t)=I+i\delta t({\hat {G}}^{\dagger }-{\hat {G}})+O(\delta t^{2}),}$$لذا${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$تكون وحدوية فقط إذا كانت مشتقتها، من الدرجة الأولى، هيرميتية. ^{[ 16 ]}

غالبًا ما تُعرض معادلة شرودنغر باستخدام كميات تتغير كدوال للموضع، ولكن كمعادلة مؤثر متجهي، فإن لها تمثيلًا صحيحًا في أي أساس كامل اختياري للحالات في فضاء هيلبرت . وكما ذُكر سابقًا، تُستخدم أيضًا "الأسس" التي تقع خارج فضاء هيلبرت الفيزيائي لأغراض حسابية. ويتضح ذلك من خلال معادلات شرودنغر في فضاء الموضع وفضاء الزخم لجسيم غير نسبي عديم اللف المغزلي. ^{[ 12 ] : 182} فضاء هيلبرت لمثل هذا الجسيم هو فضاء الدوال المركبة القابلة للتكامل التربيعي على الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، وهاملتونيانه هو مجموع حد طاقة حركية تربيعي في مؤثر الزخم وحد طاقة كامنة. $${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle =\left({\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+{\hat {V}}\right)|\Psi (t)\rangle .}$$ كتابة${\displaystyle \mathbf {r} }$بالنسبة لمتجه موضع ثلاثي الأبعاد و${\displaystyle \mathbf {p} }$بالنسبة لمتجه الزخم ثلاثي الأبعاد، فإن معادلة شرودنغر في فضاء الموضع هي $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$ يتضمن نظيره في فضاء الزخم تحويلات فورييه للدالة الموجية والجهد: $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial} {\partial t}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)+(2\pi \hbar )^{-3/2}\int d^{3}\mathbf {p} '\,{\tilde {V}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} '){\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ',t).}$$ الوظائف${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$و${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)}$مشتقة من${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$بواسطة $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Psi (t)\rangle ,}$$$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} |\Psi (t)\rangle ,}$$ أين${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$و${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle }$لا تنتمي إلى فضاء هيلبرت نفسه، ولكن لها منتجات داخلية محددة جيدًا مع جميع عناصر ذلك الفضاء.

عند حصرها من ثلاثة أبعاد إلى بُعد واحد، تصبح معادلة فضاء الموضع هي الشكل الأول لمعادلة شرودنغر المذكورة أعلاه . ويمكن فهم العلاقة بين الموضع والزخم في ميكانيكا الكم في بُعد واحد. في التكميم الكلاسيكي ، تكون المتغيرات الكلاسيكية${\displaystyle x}$و${\displaystyle p}$تتم ترقيتها إلى مؤثرات ذاتية الترافق${\displaystyle {\hat {x}}}$و${\displaystyle {\hat {p}}}$التي تحقق علاقة التبادل الأساسية$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$ وهذا يعني أن ^{[ 12 ] : 190}$${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\Psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x),}$$ إذن، تأثير عامل الزخم${\displaystyle {\hat {p}}}$في تمثيل فضاء الموضع هو${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$. هكذا،${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$يصبح مشتقًا ثانيًا ، وفي ثلاثة أبعاد، يصبح المشتق الثاني هو لابلاس${\displaystyle \nabla ^{2}}$.

تشير علاقة التبادل الأساسية أيضًا إلى أن مؤثرَي الموضع والزخم مترافقان في تحويل فورييه. ونتيجةً لذلك، يمكن تحويل الدوال المعرفة أصلاً بدلالة اعتمادها على الموضع إلى دوال للزخم باستخدام تحويل فورييه. ^{[ 6 ] : 103-104.} في فيزياء الحالة الصلبة ، غالبًا ما تُكتب معادلة شرودنغر بدلالة دوال الزخم، حيث تضمن نظرية بلوخ اقتران جهد الشبكة البلورية الدورية.${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p)}$مع${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p+\hbar K)}$بالنسبة لمتجهات الشبكة المقلوبة المنفصلة فقط${\displaystyle K}$وهذا يُسهّل حلّ معادلة شرودنغر في فضاء الزخم عند كل نقطة في منطقة بريلوين بشكل مستقل عن النقاط الأخرى في منطقة بريلوين. ^{[ 17 ] : 138}

تتوافق معادلة شرودنغر مع مبدأ حفظ الاحتمالية المحلية . ^{[ 12 ] : 238} كما تضمن بقاء الدالة الموجية المعيارية معيارية بعد تطورها الزمني. في ميكانيكا المصفوفات، يعني هذا أن مؤثر التطور الزمني هو مؤثر وحدوي . ^{[ 18 ]} على عكس معادلة كلاين-غوردون، على سبيل المثال، فمع أن الضرب الداخلي المُعاد تعريفه للدالة الموجية قد يكون مستقلاً عن الزمن، فإن التكامل الحجمي الكلي لمربع القيمة المطلقة للدالة الموجية ليس بالضرورة مستقلاً عن الزمن. ^{[ 19 ]}

تُصاغ معادلة الاستمرارية للاحتمالية في ميكانيكا الكم غير النسبية على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$أين $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$ هو التيار الاحتمالي أو التدفق الاحتمالي (التدفق لكل وحدة مساحة).

إذا تم تمثيل الدالة الموجية على النحو التالي${\displaystyle \textstyle \psi ({\bf {x}},t)={\sqrt {\rho ({\bf {x}},t)}}\exp \left({\frac {i}{\hbar }}S({\bf {x}},t)\right)}$، حيث${\displaystyle S(\mathbf {x} ,t)}$إذا كانت دالة حقيقية تمثل الطور المركب للدالة الموجية، فإن تدفق الاحتمالية يُحسب على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\rho \nabla S}{m}}.}$$لذا، يُقال إن التغير المكاني لطور دالة الموجة يُحدد تدفق احتمالية دالة الموجة. على الرغم من أن العامل${\textstyle {\nabla S}/{m}}$يبدو أنه يلعب دور السرعة، لكنه لا يمثل السرعة عند نقطة ما لأن القياس المتزامن للموقع والسرعة ينتهك مبدأ عدم اليقين . ^{[ 18 ]}

إذا لم يكن الهاميلتوني دالة صريحة للزمن، فإن معادلة شرودنغر تصبح كالتالي: $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$يعتمد المؤثر على الجانب الأيسر على الزمن فقط، بينما يعتمد المؤثر على الجانب الأيمن على المكان فقط. حل المعادلة بفصل المتغيرات يعني البحث عن حل على شكل حاصل ضرب الأجزاء المكانية والزمانية ^{[ 20 ] .}$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\tau (t),}$$ أين${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$هي دالة لجميع الإحداثيات المكانية للجسيمات التي تشكل النظام فقط، و${\displaystyle \tau (t)}$هي دالة للزمن فقط. باستبدال هذا التعبير بـ${\displaystyle \Psi }$يُظهر التحويل إلى الجانب الأيسر المعتمد على الزمن أن${\displaystyle \tau (t)}$هو عامل طوري: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{Et/\hbar }}.}$$ يُطلق على هذا النوع من الحلول اسم الحل الثابت، لأن الاعتماد الزمني الوحيد فيه هو عامل طور يُلغى عند حساب كثافة الاحتمال باستخدام قاعدة بورن. ^{[ 13 ] : 143 وما بعدها}

يحل الجزء المكاني من دالة الموجة الكاملة المعادلة ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[EV(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=0,}$$ حيث الطاقة${\displaystyle E}$يظهر في عامل الطور.

ينطبق هذا على أي عدد من الجسيمات في أي عدد من الأبعاد (في جهد غير معتمد على الزمن): حلول الموجات المستقرة للمعادلة غير المعتمدة على الزمن هي حالات ذات طاقة محددة، بدلاً من توزيع احتمالي لطاقات مختلفة. في الفيزياء، تُسمى هذه الموجات المستقرة " حالات ثابتة " أو " حالات طاقة ذاتية "؛ وفي الكيمياء تُسمى " مدارات ذرية " أو " مدارات جزيئية ". تُغير تراكبات حالات الطاقة الذاتية خصائصها وفقًا للأطوار النسبية بين مستويات الطاقة. تُشكل حالات الطاقة الذاتية أساسًا: يمكن كتابة أي دالة موجية كمجموع على حالات الطاقة المنفصلة أو كتكامل على حالات الطاقة المتصلة، أو بشكل أعم كتكامل على مقياس. هذا مثال على نظرية الطيف ، وفي فضاء حالة محدود الأبعاد، هو مجرد بيان لاكتمال المتجهات الذاتية لمصفوفة هيرميتية .

يمكن أن يكون فصل المتغيرات طريقة مفيدة أيضًا لمعادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن. على سبيل المثال، اعتمادًا على تناظر المسألة، يمكن فصل المحاور الديكارتية ، كما في$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\psi _{z}(z),}$$ أو قد يتم فصل الإحداثيات القطرية والزاوية :$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{r}(r)\psi _{\theta }(\theta )\psi _{\phi }(\phi ).}$$

يُعد الجسيم الموجود في صندوق طاقة كامنة أحادي البعد أبسط مثال رياضي حيث تؤدي القيود إلى تكميم مستويات الطاقة. يُعرَّف الصندوق بأنه ذو طاقة كامنة صفرية داخل منطقة معينة وطاقة كامنة لانهائية خارجها . ^{[ 12 ] : 77-78.} بالنسبة للحالة أحادية البعد في${\displaystyle x}$في هذا الاتجاه، يمكن كتابة معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن على النحو التالي $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}{\vphantom {\psi }}}{2m{\vphantom {x^{2}}}}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$$

باستخدام المؤثر التفاضلي المعرف بواسطة $${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$$ المعادلة السابقة تذكرنا بنظير الطاقة الحركية الكلاسيكي ، $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$$ مع الدولة${\displaystyle \psi }$في هذه الحالة، امتلاك الطاقة${\displaystyle E}$متزامنة مع الطاقة الحركية للجسيم.

الحلول العامة لمعادلة شرودنغر للجسيم الموجود في صندوق هي $${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$$ أو، من صيغة أويلر ، $${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).}$$

تحدد الجدران المحتملة اللانهائية للصندوق قيم${\displaystyle C,D,}$و${\displaystyle k}$في${\displaystyle x=0}$و${\displaystyle x=L}$أين${\displaystyle \psi }$يجب أن تكون القيمة صفرًا. وبالتالي، عند${\displaystyle x=0}$، $${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$$ و${\displaystyle D=0}$. في${\displaystyle x=L}$، $${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$$ في أي${\displaystyle C}$لا يمكن أن تكون القيمة صفرًا لأن ذلك سيتعارض مع الفرضية القائلة بأن${\displaystyle \psi }$له معيار 1. لذلك، بما أن${\displaystyle \sin(kL)=0}$،${\displaystyle kL}$يجب أن يكون مضاعفًا صحيحًا لـ${\displaystyle \pi }$، $${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$$

هذا القيد على${\displaystyle k}$وهذا يعني وجود قيد على مستويات الطاقة، مما ينتج عنه $${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

يُعدّ البئر الكامن المحدود تعميمًا لمسألة البئر الكامن اللانهائي، حيث يُمثّل آبارًا كامنة ذات عمق محدود. وتُعتبر مسألة البئر الكامن المحدود أكثر تعقيدًا من الناحية الرياضية من مسألة الجسيم اللانهائي في صندوق، إذ لا تُثبّت دالة الموجة عند الصفر عند جدران البئر. بل يجب أن تُحقّق دالة الموجة شروطًا رياضية حدودية أكثر تعقيدًا، نظرًا لأنها لا تساوي الصفر في المناطق خارج البئر. ومن المسائل الأخرى ذات الصلة مسألة الحاجز الكامن المستطيل ، الذي يُقدّم نموذجًا لتأثير النفق الكمومي ، الذي يلعب دورًا هامًا في أداء التقنيات الحديثة، مثل ذاكرة الفلاش ومجهر المسح النفقي .

معادلة شرودنغر لهذه الحالة هي $${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m{\vphantom {x^{2}}}}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1}{2{\vphantom {x^{2}}}}}m\omega ^{2}x^{2}\psi ,}$$ أين${\displaystyle x}$الإزاحة و${\displaystyle \omega }$التردد الزاوي. علاوة على ذلك، يمكن استخدامه لوصف مجموعة واسعة من الأنظمة الأخرى تقريبًا، بما في ذلك الذرات والجزيئات المهتزة ، ^{[ 22 ]} والذرات أو الأيونات في الشبكات، ^{[ 23 ]} وتقريب الجهود الأخرى بالقرب من نقاط التوازن. كما أنه أساس طرق الاضطراب في ميكانيكا الكم.

الحلول في فضاء الموضع هي $$\displaystyle \psi_n(x)=\sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}}}\ \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}}\right)^{1/4}\e^{-\frac{m\omega x^{2}}{2\hbar}}}\{\mathcal{H}}_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}}x\right),}$$ أين${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$والوظائف${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$هي كثيرات حدود هيرميت من الرتبة${\displaystyle n}$يمكن توليد مجموعة الحلول بواسطة $$\displaystyle \psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}}\left(\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}}\right)^{n}\left(x-\frac{\hbar}{m\omega}}{\frac{d}{dx}}\right)^{n}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}}\right)^{\frac{1}{4}}e^{\frac{-m\omega x^{2}}{2\hbar}}.}$$

القيم الذاتية هي $${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

القضية${\displaystyle n=0}$تُسمى الحالة الأرضية ، وتُسمى طاقتها طاقة النقطة الصفرية ، والدالة الموجية هي دالة غاوسية . ^{[ 24 ]}

يُجسّد المذبذب التوافقي، كالجسيم الموجود في صندوق، السمة العامة لمعادلة شرودنغر، وهي أن طاقات الحالات الذاتية المقيدة تُجزّأ إلى أجزاء منفصلة. ^{[ 12 ] : 352}

معادلة شرودنغر للإلكترون في ذرة الهيدروجين (أو ذرة شبيهة بالهيدروجين) هي $${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi }$$ أين${\displaystyle q}$هي شحنة الإلكترون،${\displaystyle \mathbf {r} }$هو موضع الإلكترون بالنسبة للنواة،${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$يمثل مقدار الموضع النسبي، أما الحد المحتمل فيعود إلى تفاعل كولوم ، حيث${\displaystyle \varepsilon _{0}}$هي سماحية الفراغ و $${\displaystyle \mu ={\frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}}$$الكتلة المختزلة لجسمين لنواة الهيدروجين ( بروتون واحد فقط ) من كتلة${\displaystyle m_{p}}$والإلكترون ذو الكتلة${\displaystyle m_{q}}$تظهر الإشارة السالبة في حد الجهد لأن البروتون والإلكترون يحملان شحنتين متعاكستين. تُستخدم الكتلة المختزلة بدلاً من كتلة الإلكترون لأن الإلكترون والبروتون يدوران معًا حول مركز كتلة مشترك، مما يُشكل مسألة جسمين. حركة الإلكترون هي محل الاهتمام الرئيسي هنا، لذا فإن مسألة الجسم الواحد المكافئة هي حركة الإلكترون باستخدام الكتلة المختزلة.

يمكن حل معادلة شرودنغر لذرة الهيدروجين بفصل المتغيرات. ^{[ 25 ]} في هذه الحالة، تُعد الإحداثيات القطبية الكروية هي الأنسب. وبالتالي، $${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)\ Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=R(r)\ \Theta (\theta )\ \Phi (\varphi ),}$$ حيث R هي دوال شعاعية و${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$هي توافقيات كروية من الدرجة${\displaystyle \ell }$والطلب${\displaystyle m}$هذه هي الذرة الوحيدة التي تم حل معادلة شرودنغر لها بدقة. تتطلب الذرات متعددة الإلكترونات طرقًا تقريبية. عائلة الحلول هي: ^{[ 26 ]}$${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$ أين

• ${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}}$هو نصف قطر بور ،
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )}$هي كثيرات حدود لاغير المعممة من الدرجة${\displaystyle n-\ell -1}$،
• ${\displaystyle n,\ell ,m}$تمثل هذه الأرقام الكمومية الرئيسية ، والسمتية ، والمغناطيسية على التوالي، والتي تأخذ القيم التالية:${\displaystyle n=1,2,3,\dots ,}$${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1,}$${\displaystyle m=-\ell ,\dots ,\ell .}$

لا يُمكن عادةً حلّ معادلة شرودنغر بدقة في الحالات ذات الأهمية الفيزيائية. ولذلك، تُستخلص حلول تقريبية باستخدام تقنيات مثل الطرق التباينية وتقريب WKB . ومن الشائع أيضاً التعامل مع المسألة محل الاهتمام كتعديل بسيط لمسألة يُمكن حلّها بدقة، وهي طريقة تُعرف بنظرية الاضطراب .

بدأت محاولات الجمع بين فيزياء الكم والنسبية الخاصة ببناء معادلات موجية نسبية من علاقة الطاقة والزخم النسبية$${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2},}$$ بدلاً من معادلات الطاقة غير النسبية. تُعد معادلة كلاين-غوردون ومعادلة ديراك مثالين على هذه المعادلات. معادلة كلاين-غوردون، $${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi +\nabla ^{2}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,}$$ كانت هذه أول معادلة من نوعها يتم التوصل إليها، حتى قبل معادلة شرودنغر غير النسبية للجسيم الواحد، وهي تنطبق على الجسيمات الضخمة عديمة اللف المغزلي. تاريخيًا، توصل ديراك إلى معادلة ديراك من خلال البحث عن معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى في كل من الزمان والمكان، وهي خاصية مرغوبة في النظرية النسبية. وقد تطلب أخذ "الجذر التربيعي" للطرف الأيسر من معادلة كلاين-غوردون بهذه الطريقة تحليلها إلى حاصل ضرب مؤثرين، وهو ما كتبه ديراك باستخدام مصفوفات 4 × 4.${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\beta }$وبالتالي، أصبحت الدالة الموجية أيضًا دالة ذات أربعة مكونات، تخضع لمعادلة ديراك التي تُكتب في الفضاء الحر على النحو التالي: $${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$$

يأخذ هذا الشكل مرة أخرى صيغة معادلة شرودنغر، حيث يُعطى المشتق الزمني للدالة الموجية بواسطة مؤثر هاميلتوني يؤثر على الدالة الموجية. ويتطلب تضمين التأثيرات على الجسيم تعديل المؤثر الهاميلتوني. على سبيل المثال، هاميلتوني ديراك لجسيم كتلته m وشحنته الكهربائية q في مجال كهرومغناطيسي (موصوف بالجهدين الكهرومغناطيسيين φ و A ) هو: $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\varphi \right],}$$ حيث ^تمثل γ = ( γ₁ , γ₂ , γ₃ ) و γ₀ مصفوفات غاما ديراك المرتبطة بدوران الجسيم. معادلة ديراك صحيحة لجميع الجسيمات ذات الدوران ½ ، وحلولها عبارة عن حقول سبينور رباعية المكونات ^{، اثنان منها} يمثلان الجسيم والاثنان الآخران يمثلان الجسيم المضاد .

بالنسبة لمعادلة كلاين-غوردون، فإن الصيغة العامة لمعادلة شرودنغر غير ملائمة للاستخدام، وفي الواقع العملي، لا يُعبَّر عن الهاميلتوني بطريقة مماثلة لهاميلتوني ديراك. يمكن الحصول على معادلات الحقول الكمومية النسبية، التي تُعد معادلات كلاين-غوردون وديراك مثالين عليها، بطرق أخرى، مثل البدء من كثافة لاغرانجية واستخدام معادلات أويلر-لاغرانج للحقول، أو باستخدام نظرية تمثيل مجموعة لورنتز حيث يمكن استخدام تمثيلات معينة لتحديد معادلة جسيم حر ذي لف مغزلي (وكتلة) محددين.

بشكل عام، لا يقتصر الهاميلتوني الذي يُستبدل في معادلة شرودنغر العامة على كونه دالةً لمؤثرات الموضع والزخم (وربما الزمن)، بل يشمل أيضًا مصفوفات اللف المغزلي. كذلك، فإن حلول معادلة الموجة النسبية، لجسيم ذي كتلة ولُف مغزلي s ، هي حقول سبينور ذات قيم مركبة مكونة من 2( 2s + 1) .

كما صيغت في الأصل، فإن معادلة ديراك هي معادلة لجسيم كمومي واحد، تمامًا مثل معادلة شرودنغر للجسيم الواحد مع دالة موجية${\displaystyle \Psi (x,t)}$يُعدّ هذا الأمر محدود الفائدة في ميكانيكا الكم النسبية، حيث لا يكون عدد الجسيمات ثابتًا. ويمكن تفسير هذا التعقيد، بشكل تقريبي، بملاحظة أن تكافؤ الكتلة والطاقة يعني إمكانية خلق جسيمات مادية من الطاقة. ومن الطرق الشائعة لمعالجة هذه المسألة في نظرية الحقول الكمومية، إدخال فضاء هيلبرت حيث تُصنّف حالات الأساس وفقًا لعدد الجسيمات، وهو ما يُعرف بفضاء فوك . ويمكن بعد ذلك صياغة معادلة شرودنغر للحالات الكمومية على فضاء هيلبرت هذا. ^{[ 31 ]} ومع ذلك، ولأن معادلة شرودنغر تُحدّد محورًا زمنيًا مُفضّلًا، فإن ثبات لورنتز للنظرية لم يعد واضحًا، وبالتالي، غالبًا ما تُصاغ النظرية بطرق أخرى. ^{[ 36 ]}