مجهر المسح النفقي

أبسط نموذج للنفق الكمومي بين العينة وطرف مجهر المسح النفقي هو نموذج حاجز الجهد المستطيل . ^{[ 15 ] [ 5 ]} يسقط إلكترون طاقته E على حاجز طاقة ارتفاعه U ، في منطقة عرضها w . يُوصف سلوك الإلكترون في وجود جهد U ( z )، بافتراض الحالة أحادية البعد، بواسطة دوال موجية.${\displaystyle \psi (z)}$التي تحقق معادلة شرودنغر

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}{\frac {\partial ^{2}\psi (z)}{\partial z^{2}}}+U(z)\,\psi (z)=E\,\psi (z),}$

حيث ħ هو ثابت بلانك المختزل ، و z هو الموضع، و m _e هي كتلة الإلكترون . في مناطق الجهد الصفري على جانبي الحاجز، تأخذ الدالة الموجية الأشكال التالية:

${\displaystyle \psi _{L}(z)=e^{ikz}+r\,e^{-ikz}}$بالنسبة لـ z < 0،

${\displaystyle \psi _{R}(z)=t\,e^{ikz}}$لـ z > w ،

أين${\displaystyle k={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E}}}$داخل الحاجز، حيث E < U ، تكون الدالة الموجية عبارة عن تراكب لمصطلحين، يتلاشى كل منهما من جانب واحد من الحاجز:

${\displaystyle \psi _{B}(z)=\xi e^{-\kappa z}+\zeta e^{\kappa z}}$لـ 0 < z < w ،

أين${\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}(U-E)}}}$.

يُقدّم المعاملان r و t مقياسًا لمقدار موجة الإلكترون الساقط التي تنعكس أو تنفذ عبر الحاجز. أي، من إجمالي تيار الجسيمات الساقطة${\displaystyle j_{i}=\hbar k/m_{\text{e}}}$فقط${\displaystyle j_{t}=|t|^{2}\,j_{i}}$يتم نقلها، كما يتضح من تعبير التيار الاحتمالي

${\displaystyle j_{t}=-i{\frac {\hbar }{2m_{\text{e}}}}\left\{\psi _{R}^{*}{\frac {\partial }{\partial z}}\psi _{R}-\psi _{R}{\frac {\partial }{\partial z}}\psi _{R}^{*}\right\},}$

والذي يُقيّم إلى${\displaystyle j_{t}={\tfrac {\hbar k}{m_{\text{e}}}}\vert t\vert ^{2}}$يُستخلص معامل النقل من شرط الاستمرارية على الأجزاء الثلاثة للدالة الموجية ومشتقاتها عند z = 0 و z = w (الاشتقاق المفصل موجود في مقالة حاجز الجهد المستطيل ). وهذا يعطي${\displaystyle |t|^{2}={\big [}1+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon ^{-1}(1-\varepsilon )^{-1}\sinh ^{2}\kappa w{\big ]}^{-1},}$أين${\displaystyle \varepsilon =E/U}$ويمكن تبسيط التعبير أكثر على النحو التالي:

في تجارب المجهر النفقي الماسح (STM)، يكون ارتفاع الحاجز النموذجي في حدود دالة شغل سطح المادة W ، والتي تتراوح قيمتها لمعظم المعادن بين 4 و6  إلكترون فولت. ^{[ 15 ]} دالة الشغل هي الحد الأدنى من الطاقة اللازمة لنقل إلكترون من مستوى طاقة مشغول، وأعلاها مستوى فيرمي (للمعادن عند درجة حرارة 0  كلفن)، إلى مستوى الفراغ . يمكن للإلكترونات أن تنتقل عبر النفق الكمومي بين معدنين فقط من حالات الطاقة المشغولة على أحد الجانبين إلى حالات الطاقة غير المشغولة على الجانب الآخر من الحاجز. في غياب جهد الانحياز، تكون طاقات فيرمي متساوية، ولا يحدث انتقال عبر النفق الكمومي. يؤدي جهد الانحياز إلى رفع طاقات الإلكترونات في أحد الأقطاب الكهربائية، والإلكترونات التي لا يوجد لها نظير عند نفس الطاقة على الجانب الآخر ستنتقل عبر النفق الكمومي. في التجارب،  تُستخدم جهود انحياز تبلغ جزءًا من 1 فولت، لذا${\displaystyle \kappa }$يبلغ طوله حوالي 10 إلى 12 ^{نانومتر⁻¹}  ، بينما يبلغ عرضه بضعة أعشار من النانومتر. الحاجز شديد التوهين. يُختزل تعبير احتمالية النفاذية إلى${\displaystyle |t|^{2}=16\,\varepsilon (1-\varepsilon )\,e^{-2\kappa w}.}$وبالتالي فإن تيار النفق من مستوى واحد هو ^{[ 15 ]}

${\displaystyle j_{t}=\left[{\frac {4k\kappa }{k^{2}+\kappa ^{2}}}\right]^{2}\,{\frac {\hbar k}{m_{\text{e}}}}\,e^{-2\kappa w},}$

حيث يعتمد كلا متجهي الموجة على طاقة المستوى E ،${\displaystyle k={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E}},}$و${\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}(U-E)}}.}$

يعتمد تيار النفق بشكل أُسّي على المسافة بين العينة ورأس المسبار، حيث ينخفض ​​عادةً بمقدار عشرة أضعاف عند زيادة هذه المسافة بمقدار 1  أنغستروم (0.1  نانومتر). ^{[ 5 ]} ولهذا السبب، حتى عند حدوث النفق من رأس مسبار غير حاد تمامًا، فإن المساهمة الأكبر في التيار تأتي من الذرة أو المدار الأكثر بروزًا فيه. ^{[ 15 ]}

نتيجةً للشرط الذي يفرضه النفق الكمومي من مستوى طاقة مشغول على أحد جانبي الحاجز، وهو وجود مستوى طاقة فارغ من نفس المستوى على الجانب الآخر، يحدث النفق الكمومي بشكل رئيسي مع الإلكترونات القريبة من مستوى فيرمي. يمكن ربط تيار النفق الكمومي بكثافة الحالات المتاحة أو المشغولة في العينة. يعتمد التيار الناتج عن تطبيق جهد V (بافتراض حدوث النفق الكمومي من العينة إلى رأس المسبار) على عاملين: 1) عدد الإلكترونات بين مستوى فيرمي E_{_F} و E _{_F}  − eV في العينة، و2) عدد الإلكترونات التي تمتلك حالات حرة مقابلة للنفق الكمومي إليها على الجانب الآخر من الحاجز عند رأس المسبار. ^{[ 5 ]} كلما زادت كثافة الحالات المتاحة في منطقة النفق الكمومي، زاد تيار النفق الكمومي. اصطلاحًا، يشير الجهد V الموجب إلى أن الإلكترونات في رأس المسبار تنفق كموميًا إلى حالات فارغة في العينة؛ أما في حالة الجهد السالب، فتنفق الإلكترونات كموميًا من حالات مشغولة في العينة إلى رأس المسبار. ^{[ 5 ]} 

بالنسبة للانحيازات الصغيرة ودرجات الحرارة القريبة من الصفر المطلق، فإن عدد الإلكترونات المتاحة للنفق الكمومي في حجم معين (تركيز الإلكترونات) هو حاصل ضرب كثافة الحالات الإلكترونية ρ ( E, _F ) وفرق الطاقة بين مستويي فيرمي، eV . ^{[ 5 ]} نصف هذه الإلكترونات سيتحرك بعيدًا عن الحاجز. أما النصف الآخر فيمثل _التيار الكهربائي الساقط على الحاجز، والذي يُعطى بحاصل ضرب تركيز الإلكترونات والشحنة والسرعة v ( I = nev ). ^{[ 5 ]}  

${\displaystyle I_{i}={\tfrac {1}{2}}e^{2}v\,\rho (E_{\text{F}})\,V.}$

سيكون تيار النفق الكهربائي جزءًا صغيرًا من التيار الساقط. وتُحدد هذه النسبة باحتمالية النقل T ، ^{[ 5 ]} لذا

${\displaystyle I_{t}={\tfrac {1}{2}}e^{2}v\,\rho (E_{\text{F}})\,V\,T.}$

في أبسط نموذج لحاجز جهد مستطيل، يكون معامل احتمالية النقل T مساوياً لـ | t | ² .

ابتكر جون باردين نموذجًا يعتمد على دوال موجية أكثر واقعية للقطبين الكهربائيين، وذلك في دراسةٍ لوصلة معدن-عازل-معدن . ^{[ 16 ]} يأخذ نموذجه مجموعتين منفصلتين متعامدتين من الدوال الموجية للقطبين، ويدرس تطورهما الزمني عند تقريب النظامين من بعضهما. ^{[ 5 ] [ 15 ]} تُحل طريقة باردين المبتكرة، ^{[ 5 ]} مسألة اضطراب تعتمد على الزمن، حيث ينشأ الاضطراب من تفاعل النظامين الفرعيين، وليس من جهد خارجي في نظرية رايلي-شرودنغر القياسية للاضطراب .

تتلاشى كل من الدوال الموجية لإلكترونات العينة (S) والطرف (T) في الفراغ بعد اصطدامها بحاجز جهد السطح، والذي يُقارب حجم دالة شغل السطح. هذه الدوال الموجية هي حلول لمعادلتين منفصلتين من معادلات شرودنغر للإلكترونات في جهدين U_{_S} و U_{_T}. وعندما يكون التغير الزمني لحالات الطاقات المعروفة...${\displaystyle E_{\mu }^{\text{S}}}$و${\displaystyle E_{\nu }^{\text{T}}}$عند استخراج العوامل، تأخذ الدوال الموجية الشكل العام التالي

${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}(t)=\psi _{\mu }^{\text{S}}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}E_{\mu }^{\text{S}}t\right),}$

${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}(t)=\psi _{\nu }^{\text{T}}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}E_{\nu }^{\text{T}}t\right).}$

إذا تم تقريب النظامين من بعضهما، مع بقائهما مفصولين بمنطقة فراغ رقيقة، فإن الجهد المؤثر على الإلكترون في النظام المدمج هو U _{_T} + U_{_S} . هنا، يقتصر كل جهد مكانيًا على جانبه من الحاجز. ولأن ذيل دالة الموجة لأحد القطبين يقع ضمن نطاق جهد القطب الآخر، فإن هناك احتمالًا محدودًا لتطور أي حالة بمرور الوقت إلى حالات القطب الآخر. ^{[ 5 ]} يمكن كتابة مستقبل حالة العينة μ كتركيبة خطية بمعاملات تعتمد على الزمن.${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}(t)}$وكل شيء${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}(t)}$:

${\displaystyle \psi (t)=\psi _{\mu }^{\text{S}}(t)+\sum _{\nu }c_{\nu }(t)\psi _{\nu }^{\text{T}}(t)}$

مع الشرط الأولي${\displaystyle c_{\nu }(0)=0}$[ ^{5 ]} عند إدخال دالة الموجة الجديدة في معادلة شرودنغر للجهد U _T + U _S ، يتم إسقاط المعادلة الناتجة على كل جزء ^منفصل${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}}$(أي أن المعادلة تضرب في${\displaystyle {\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}}$(وتكاملها على كامل الحجم) لعزل المعاملات${\displaystyle c_{\nu }.}$الجميع${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}}$تُعتبر شبه متعامدة على جميع${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}}$(يمثل تداخلها جزءًا صغيرًا من إجمالي الدوال الموجية)، ويتم الاحتفاظ فقط بالكميات من الرتبة الأولى. وبالتالي، يُعطى التطور الزمني للمعاملات بواسطة

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}c_{\nu }(t)=-{\frac {i}{\hbar }}\int \psi _{\mu }^{\text{S}}\,U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})t\right].}$

لأن الجهد U _T يساوي صفرًا على مسافة بضعة أقطار ذرية بعيدًا عن سطح القطب الكهربائي، يمكن إجراء التكامل على z من نقطة z ₀ في مكان ما داخل الحاجز وإلى حجم الطرف ( z  > z ₀ ). 

إذا تم تعريف عنصر مصفوفة النفق على النحو التالي

${\displaystyle M_{\mu \nu }=\int _{z>z_{0}}\psi _{\mu }^{\text{S}}\,U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z,}$

احتمالية تطور حالة العينة μ في الزمن t إلى حالة الطرف ν هي

${\displaystyle |c_{\nu }(t)|^{2}=|M_{\mu \nu }|^{2}{\frac {4\sin ^{2}{\big [}{\tfrac {1}{2\hbar }}(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})t{\big ]}}{(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})^{2}}}.}$

في نظام يحتوي على العديد من الإلكترونات التي تصطدم بالحاجز، فإن هذا الاحتمال سيعطي نسبة الإلكترونات التي تنجح في النفق. إذا كانت هذه النسبة عند الزمن t هي${\displaystyle |c_{\nu }(t)|^{2},}$في وقت لاحق t  +  d t، يكون الكسر الكلي لـ${\displaystyle |c_{\nu }(t+\mathrm {d} t)|^{2}}$كان من الممكن أن يحدث نفق إلكتروني. وبالتالي، فإن تيار الإلكترونات المنفقة في كل لحظة يتناسب مع${\displaystyle |c_{\nu }(t+\mathrm {d} t)|^{2}-|c_{\nu }(t)|^{2}}$مقسوماً على${\displaystyle \mathrm {d} t,}$وهو المشتق الزمني لـ${\displaystyle |c_{\nu }(t)|^{2},}$^{[ 15 ]}

${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }\ {\overset {\text{def}}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|c_{\nu }(t)|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|M_{\mu \nu }|^{2}{\frac {\sin {\big [}(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}}){\tfrac {t}{\hbar }}{\big ]}}{\pi (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})}}.}$

إن النطاق الزمني للقياس في المجهر النفقي الماسح أكبر بكثير من النطاق الزمني النموذجي لعمليات الإلكترون في المواد، والذي يبلغ الفيمتوثانية ، و${\displaystyle t/\hbar }$كبيرة. الجزء الكسري من الصيغة هو دالة سريعة التذبذب لـ${\displaystyle (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})}$التي تتلاشى بسرعة بعيدًا عن الذروة المركزية، حيث${\displaystyle E_{\mu }^{\text{S}}=E_{\nu }^{\text{T}}}$بمعنى آخر، فإن عملية النفق الأكثر احتمالاً، وبفارق كبير، هي العملية المرنة، التي تُحفظ فيها طاقة الإلكترون. الكسر، كما هو مكتوب أعلاه، هو تمثيل لدالة دلتا ، لذا

${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }={\frac {2\pi }{\hbar }}|M_{\mu \nu }|^{2}\delta (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}}).}$

تُوصف أنظمة الحالة الصلبة عادةً بمصطلحات مستويات الطاقة المتصلة بدلاً من مستويات الطاقة المنفصلة.${\displaystyle \delta (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})}$يمكن اعتبارها كثافة حالات الطرف عند الطاقة${\displaystyle E_{\mu }^{\text{S}},}$أعطِ

${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }={\frac {2\pi }{\hbar }}|M_{\mu \nu }|^{2}\rho _{\text{T}}(E_{\mu }^{\text{S}}).}$

عدد مستويات الطاقة في العينة بين الطاقات${\displaystyle \varepsilon }$و${\displaystyle \varepsilon +\mathrm {d} \varepsilon }$يكون${\displaystyle \rho _{\text{S}}(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon .}$عندما تكون هذه المستويات مشغولة، فإنها تكون متدهورة دورانيًا (باستثناء بعض الفئات الخاصة من المواد) وتحتوي على شحنة${\displaystyle 2e\cdot \rho _{\text{S}}(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon }$من أي من الدورانين. مع تحيز العينة إلى الجهد${\displaystyle V,}$لا يمكن أن يحدث النفق الكمومي إلا بين الحالات التي يتم تحديد شغلها لكل قطب كهربائي بواسطة توزيع فيرمي-ديراك${\displaystyle f}$ليست متطابقة، أي عندما يكون أحدهما مشغولاً، وليس كلاهما. وينطبق ذلك على جميع الطاقات.${\displaystyle \varepsilon }$والتي${\displaystyle f(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )-f(E_{\text{F}}+\varepsilon )}$ليست صفرًا. على سبيل المثال، ينتقل الإلكترون عبر النفق الكمومي من مستوى طاقة إلى آخر.${\displaystyle E_{\text{F}}-eV}$في العينة إلى مستوى الطاقة${\displaystyle E_{\text{F}}}$في الطرف (${\displaystyle \varepsilon =0}$) إلكترون عند${\displaystyle E_{\text{F}}}$ستجد في العينة حالات غير مشغولة في الطرف عند${\displaystyle E_{\text{F}}+eV}$(${\displaystyle \varepsilon =eV}$وينطبق الأمر نفسه على جميع الطاقات بينهما. وبالتالي، فإن تيار النفق هو مجموع مساهمات صغيرة عبر جميع هذه الطاقات ناتجة عن ثلاثة عوامل:${\displaystyle 2e\cdot \rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon }$تمثل الإلكترونات المتاحة،${\displaystyle f(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )-f(E_{\text{F}}+\varepsilon )}$بالنسبة لأولئك المسموح لهم بالحفر، وعامل الاحتمالية${\displaystyle \Gamma }$أما بالنسبة لأولئك الذين سيقومون بالفعل بحفر الأنفاق:

${\displaystyle I_{t}={\frac {4\pi e}{\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }[f(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )-f(E_{\text{F}}+\varepsilon )]\,\rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\rho _{\text{T}}(E_{\text{F}}+\varepsilon )\,|M|^{2}\,d\varepsilon .}$

تُجرى التجارب النموذجية عند درجة حرارة الهيليوم السائل (حوالي 4  كلفن)، حيث يكون عرض قطع مستوى فيرمي لتعداد الإلكترونات أقل من ملي إلكترون فولت. تقتصر الطاقات المسموحة على تلك الواقعة بين مستويي فيرمي المتدرجين، ويصبح التكامل

${\displaystyle I_{t}={\frac {4\pi e}{\hbar }}\int _{0}^{eV}\rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\rho _{\text{T}}(E_{\text{F}}+\varepsilon )\,|M|^{2}\,d\varepsilon .}$

عندما يكون الانحياز صغيرًا، فمن المعقول افتراض أن دوال الموجة الإلكترونية، وبالتالي عنصر مصفوفة النفق، لا تتغير بشكل ملحوظ في نطاق ضيق من الطاقات. عندئذٍ، يكون تيار النفق ببساطة هو التفاف كثافات الحالات لسطح العينة ورأس المسبار.

${\displaystyle I_{t}\propto \int _{0}^{eV}\rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\rho _{\text{T}}(E_{\text{F}}+\varepsilon )\,d\varepsilon .}$

تتضمن عناصر مصفوفة النفق كيفية اعتماد تيار النفق على المسافة بين القطبين.

${\displaystyle M_{\mu \nu }=\int _{z>z_{0}}\psi _{\mu }^{\text{S}}\,U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$

يمكن تحويل هذه الصيغة بحيث لا يبقى أي اعتماد صريح على الجهد. أولاً،${\displaystyle U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}}$يتم استخراج جزء من معادلة شرودنغر للطرف، ويتم استخدام شرط النفق المرن بحيث

${\displaystyle M_{\mu \nu }=\int _{z>z_{0}}\left({\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}E_{\mu }\psi _{\mu }^{\text{S}}+\psi _{\mu }^{\text{S}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$

الآن${\displaystyle E_{\mu }\,{\psi _{\mu }^{\text{S}}}}$يوجد في معادلة شرودنغر للعينة ويساوي المؤثر الحركي بالإضافة إلى المؤثر الكامن الذي يؤثر على${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}.}$مع ذلك، فإن الجزء المحتمل الذي يحتوي على اليورانيوم _{والكبريت} يقع على الجانب الطرفي من الحاجز، ويقترب من الصفر. ما تبقى،

${\displaystyle M_{\mu \nu }=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{z>z_{0}}\left({\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\psi _{\mu }^{\text{S}}}-{\psi _{\mu }^{\text{S}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z,}$

يمكن إجراء التكامل على z لأن الدالة المراد تكاملها بين القوسين تساوي${\displaystyle \partial _{z}\left({\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\partial _{z}\psi _{\mu }^{\text{S}}-{\psi _{\mu }^{\text{S}}}\,\partial _{z}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\right).}$

عنصر مصفوفة النفق لباردين هو تكامل للدوال الموجية وتدرجاتها على سطح يفصل بين قطبين مستويين:

${\displaystyle M_{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{z=z_{0}}\left({\psi _{\mu }^{\text{S}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}-{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}{\frac {\partial }{\partial z}}{\psi _{\mu }^{\text{S}}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.}$

إن الاعتماد الأسي لتيار النفق على المسافة بين الأقطاب الكهربائية يأتي من الدوال الموجية نفسها التي تتسرب عبر خطوة الجهد عند السطح وتظهر اضمحلالًا أسيًا في المنطقة المحظورة كلاسيكيًا خارج المادة.

تُظهر عناصر مصفوفة النفق اعتمادًا ملحوظًا على الطاقة، بحيث يكون النفق من الطرف العلوي لنطاق الإلكترون فولت أكثر احتمالًا بعشرة أضعاف تقريبًا من النفق من الحالات في أسفله. عند تطبيق جهد موجب على العينة، تُفحص مستوياتها غير المشغولة كما لو كانت كثافة حالات رأس المسبار مُركزة عند مستوى فيرمي. وعلى العكس، عند تطبيق جهد سالب على العينة، تُفحص حالاتها الإلكترونية المشغولة، ولكن يهيمن طيف الحالات الإلكترونية لرأس المسبار. في هذه الحالة، من المهم أن تكون كثافة حالات رأس المسبار مُسطحة قدر الإمكان. ^{[ 5 ]}

يمكن الحصول على نتائج مماثلة لنتائج باردين من خلال دراسة الاقتراب الأديباتي للقطبين الكهربائيين واستخدام نظرية الاضطراب القياسية المعتمدة على الزمن. ^{[ 15 ]} وهذا يؤدي إلى قاعدة فيرمي الذهبية لاحتمالية الانتقال.${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }}$بالشكل المذكور أعلاه.

يُعنى نموذج باردين بالنفق الكمومي بين قطبين كهربائيين مستويين، ولا يُفسر الدقة الجانبية لمجهر المسح النفقي. استخدم تيرسوف وهامان ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} نظرية باردين، ونمذجا رأس المسبار كنقطة هندسية عديمة البنية. ^{[ 5 ]} ساعدهما ذلك على فصل خصائص رأس المسبار - التي يصعب نمذجتها - عن خصائص سطح العينة. وكانت النتيجة الرئيسية أن تيار النفق الكمومي يتناسب طرديًا مع الكثافة الموضعية لحالات العينة عند مستوى فيرمي، المأخوذة عند مركز انحناء رأس مسبار متناظر كرويًا ( نموذج رأس المسبار ذي الموجة s ). مع هذا التبسيط، أثبت نموذجهما جدواه في تفسير صور خصائص السطح الأكبر من نانومتر، على الرغم من أنه تنبأ بتموجات على المستوى الذري أقل من بيكومتر. هذه التموجات أقل بكثير من حد كشف المجهر، وأقل من القيم المرصودة فعليًا في التجارب.

في التجارب التي تتم بدقة دون النانومتر، يظل تداخل حالات سطح رأس المسبار وسطح العينة ذا أهمية بالغة، لدرجة الانعكاس الظاهري للتموجات الذرية التي قد تُلاحظ ضمن المسح نفسه. ولا يمكن تفسير هذه التأثيرات إلا من خلال نمذجة الحالات الإلكترونية للسطح ورأس المسبار، وكيفية تفاعل القطبين الكهربائيين انطلاقًا من المبادئ الأساسية .