النفق الكمومي

تحدد الدالة الموجية لنظام فيزيائي من الجسيمات كل ما يمكن معرفته عن هذا النظام. ^{[ 7 ]} لذا، تُحلل مسائل ميكانيكا الكم الدالة الموجية للنظام. وباستخدام الصيغ الرياضية، مثل معادلة شرودنغر ، يمكن استنتاج التطور الزمني لدالة موجية معروفة. ويرتبط مربع القيمة المطلقة لهذه الدالة الموجية ارتباطًا مباشرًا بتوزيع احتمالية مواقع الجسيمات، والذي يصف احتمالية قياس الجسيمات في تلك المواقع.

كما هو موضح في الرسوم المتحركة، عندما تصطدم حزمة موجية بالحاجز، ينعكس معظمها وينفذ جزء منها عبر الحاجز. تصبح الحزمة الموجية أكثر انتشارًا: فهي الآن على جانبي الحاجز، وتقل سعتها القصوى، لكنها متساوية في مربع قيمتها، مما يعني أن احتمال وجود الجسيم في أي مكان يظل واحدًا. كلما اتسع الحاجز وزادت طاقته، انخفض احتمال النفق الكمومي.

يمكن تحليل بعض نماذج حواجز الأنفاق، مثل الحواجز المستطيلة الموضحة، وحلها جبريًا. ^{[ 8 ] : 96} لا تمتلك معظم المسائل حلًا جبريًا، لذا تُستخدم الحلول العددية. توفر " الطرق شبه الكلاسيكية " حلولًا تقريبية أسهل في الحساب، مثل تقريب WKB .

يُعدّ النفق الكمومي من بين التأثيرات الكمومية المركزية غير التافهة في علم الأحياء الكمومي . ^{[ 32 ]} وهو مهم هنا في كلٍّ من نفق الإلكترون ونفق البروتون . يُعدّ نفق الإلكترون عاملاً رئيسياً في العديد من تفاعلات الأكسدة والاختزال الكيميائية الحيوية ( مثل عملية البناء الضوئي والتنفس الخلوي ) بالإضافة إلى التحفيز الإنزيمي. أما نفق البروتون فهو عامل رئيسي في الطفرات التلقائية في الحمض النووي . ^{[ 27 ]}

تحدث الطفرة التلقائية عندما تتم عملية تضاعف الحمض النووي بشكل طبيعي بعد أن ينفذ بروتون ذو أهمية خاصة عبر النفق الكمومي. ^{[ 33 ]} تربط رابطة هيدروجينية أزواج قواعد الحمض النووي. ويفصل جهد مزدوج على طول هذه الرابطة حاجز طاقة كامنة. يُعتقد أن هذا الجهد المزدوج غير متماثل، حيث يكون أحد البئرين أعمق من الآخر، بحيث يستقر البروتون عادةً في البئر الأعمق. ولكي تحدث الطفرة، يجب أن ينفذ البروتون عبر النفق الكمومي إلى البئر الأقل عمقًا. تُسمى حركة البروتون من موضعه الطبيعي بالانتقال التوتوميري . إذا حدث تضاعف الحمض النووي في هذه الحالة، فقد تتعرض قاعدة اقتران القواعد في الحمض النووي للخطر، مما يؤدي إلى حدوث طفرة. ^{[ 34 ]} كان بير-أولوف لودين أول من طور هذه النظرية للطفرة التلقائية داخل الحلزون المزدوج . ويُعتقد أن حالات أخرى من الطفرات الناتجة عن النفق الكمومي في علم الأحياء تُعد سببًا للشيخوخة والسرطان. ^{[ 35 ]}

يمكن كتابة معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن لجسيم واحد في بُعد واحد على النحو التالي:$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)}$$ أو $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x),}$$ أين

• ${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل ،
• ${\displaystyle m}$كتلة الجسيم،
• ${\displaystyle x}$يمثل المسافة المقاسة في اتجاه حركة الجسيم،
• ${\displaystyle \Psi }$هي دالة الموجة لشرودنغر،
• ${\displaystyle V}$هي طاقة الوضع للجسيم (مقاسة بالنسبة لأي مستوى مرجعي مناسب)،
• ${\displaystyle E}$هي طاقة الجسيم المرتبطة بالحركة في${\displaystyle x}$المحور - (مقاس بالنسبة إلى${\displaystyle V}$)
• ${\displaystyle M(x)}$هي كمية محددة بواسطة${\displaystyle V(x)-E}$، وهو ليس له اسم معتمد في الفيزياء.

تتخذ حلول معادلة شرودنغر أشكالاً مختلفة باختلاف قيم${\displaystyle x}$، وذلك بحسب ما${\displaystyle M(x)}$موجب أو سالب. متى${\displaystyle M(x)}$إذا كانت قيمة ثابتة وسالبة، فيمكن كتابة معادلة شرودنغر على الصورة التالية: $$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} M(x) \Psi(x) = -k^2 \Psi(x), \qquad \text{حيث} \quad k^2 = -\frac{2m}{\hbar^2} M.}$$

تمثل حلول هذه المعادلة موجات متحركة، ذات طور ثابت${\displaystyle +k}$أو${\displaystyle -k}$أو بدلاً من ذلك، إذا${\displaystyle M(x)}$إذا كانت قيمة ثابتة وموجبة، فيمكن كتابة معادلة شرودنغر على الصورة التالية: $$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2}\M\Psi(x) = \kappa^2 \Psi(x), \qquad \text{حيث} \quad \kappa^2 = \frac{2m}{\hbar^2}\M.}$$

حلول هذه المعادلة هي دوال أسية صاعدة وهابطة على شكل موجات متلاشية . عندما${\displaystyle M(x)}$يختلف الأمر باختلاف الموقع، ويحدث نفس الاختلاف في السلوك، اعتمادًا على ما إذا كان${\displaystyle M(x)}$إما سالبة أو موجبة. ويترتب على ذلك أن إشارة${\displaystyle M(x)}$يحدد طبيعة الوسط، مع السلبية${\displaystyle M(x)}$يتوافق مع الوسط أ وإيجابي${\displaystyle M(x)}$يتوافق مع الوسط B. وبالتالي، يمكن أن يحدث اقتران الموجة المتلاشية إذا كانت هناك منطقة ذات طاقة موجبة${\displaystyle M(x)}$تقع بين منطقتين سالبتين${\displaystyle M(x)}$وبالتالي خلق حاجز محتمل.

الرياضيات المستخدمة في التعامل مع الموقف حيث${\displaystyle M(x)}$يختلف بـ${\displaystyle x}$يُعدّ هذا الأمر صعبًا، إلا في حالات خاصة لا تتوافق عادةً مع الواقع الفيزيائي. وقد وردت معالجة رياضية كاملة في دراسة فرومان وفرومان المنشورة عام ١٩٦٥. لم تُدمج أفكارهما في كتب الفيزياء المدرسية، لكن تصحيحاتهما لم تُحدث تأثيرًا كميًا يُذكر.

تُعبّر الدالة الموجية عن طريق الدالة الأسية للدالة: $${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)},}$$أين$${\displaystyle \Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$${\displaystyle \Phi '(x)}$ثم يتم فصلها إلى أجزاء حقيقية وخيالية: $${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x),}$$أين${\displaystyle A(x)}$و${\displaystyle B(x)}$هي دوال ذات قيم حقيقية.

بإدخال المعادلة الثانية في المعادلة الأولى، وباستخدام حقيقة أن الجزء التخيلي يجب أن يكون صفرًا، نحصل على:

$${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$

لحل هذه المعادلة باستخدام التقريب شبه الكلاسيكي، يجب توسيع كل دالة على شكل متسلسلة قوى في${\displaystyle \hbar }$من المعادلات، يجب أن تبدأ متسلسلة القوى برتبة واحدة على الأقل من${\displaystyle \hbar ^{-1}}$لتحقيق الجزء الحقيقي من المعادلة؛ وللحصول على حد كلاسيكي جيد ، يُفضل البدء بأعلى قوة ممكنة لثابت بلانك ، مما يؤدي إلى$${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}A_{k}(x)}$$ و $${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(x),}$$ مع مراعاة القيود التالية على الحدود ذات الرتبة الأدنى، $${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}$$ و $${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0.}$$

في هذه المرحلة، يمكن النظر في حالتين متطرفتين.

الحالة 1

إذا كان السعة تتغير ببطء مقارنة بالطور${\displaystyle A_{0}(x)=0}$و $${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}}}$$ وهذا يتوافق مع الحركة الكلاسيكية. ويؤدي حل الرتبة التالية من التوسع إلى $${\displaystyle \Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(EV(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(EV(x)\right)}}}}$$

الحالة الثانية

إذا تغير الطور ببطء مقارنة بالسعة،${\displaystyle B_{0}(x)=0}$و $${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}$$ وهذا يتوافق مع ظاهرة النفق الكمومي. ويؤدي حل الرتبة التالية من التوسع إلى $${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}$$

في كلتا الحالتين، يتضح من المقام أن كلا الحلين التقريبيين سيئان بالقرب من نقاط التحول الكلاسيكية.${\displaystyle E=V(x)}$بعيدًا عن منطقة الجهد العالي، يتصرف الجسيم كموجة حرة متذبذبة؛ أما أسفل هذه المنطقة، فيخضع الجسيم لتغيرات أسية في السعة. وبدراسة سلوكه عند هذه الحدود ونقاط التحول الكلاسيكية، يمكن التوصل إلى حل شامل.

بدايةً، نقطة تحول كلاسيكية،${\displaystyle x_{1}}$يتم اختياره و${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$يتم توسيعها في سلسلة قوى حول${\displaystyle x_{1}}$: $${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})+v_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }$$

إن الاحتفاظ بالحد من الدرجة الأولى فقط يضمن الخطية: $${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1}).}$$

باستخدام هذا التقريب، تصبح المعادلة بالقرب من${\displaystyle x_{1}}$تصبح معادلة تفاضلية : $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=v_{1}(x-x_{1})\Psi (x).}$$

يمكن حل هذه المشكلة باستخدام دوال آيري كحلول. $${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}Ai\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}Bi\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)}$$

باستخدام هذه الحلول لجميع نقاط التحول الكلاسيكية، يمكن تكوين حل شامل يربط بين الحلول الحدية. بمعرفة المعاملين على أحد جانبي نقطة التحول الكلاسيكية، يمكن تحديد المعاملين على الجانب الآخر باستخدام هذا الحل المحلي لربطهما.

وبالتالي، فإن حلول دالة آيري ستتقارب إلى دوال الجيب وجيب التمام والدوال الأسية في الحدود المناسبة. العلاقات بين${\displaystyle C,\theta }$و${\displaystyle C_{+},C_{-}}$نكون $${\displaystyle C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$$ و

${\displaystyle C_{-}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$

باستخدام المعاملات التي تم إيجادها، يمكن إيجاد الحل العام. لذلك، فإن معامل النقل لجسيم يمر عبر حاجز جهد واحد هو $${\displaystyle T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}},}$$ أين${\displaystyle x_{1},x_{2}}$هما نقطتا التحول الكلاسيكيتان للحاجز المحتمل.

بالنسبة للحاجز المستطيل، يتبسط هذا التعبير إلى: $${\displaystyle T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{1})}.}$$

يُعد مفهوم النفق الديناميكي مناسبًا بشكل خاص لمعالجة مشكلة النفق الكمومي في الأبعاد العالية (${\displaystyle d>1}$في حالة النظام القابل للتكامل ، حيث تقتصر المسارات الكلاسيكية المحدودة على أسطح تورية في فضاء الطور ، يمكن فهم النفق الكمومي على أنه النقل الكمومي بين الحالات شبه الكلاسيكية المبنية على سطحين توريين متميزين ولكن متناظرين. ^{[ 46 ]}

في الواقع، لا يمكن دمج معظم الأنظمة، وتُظهر درجات متفاوتة من الفوضى. يُقال حينها إن الديناميكيات الكلاسيكية مختلطة، ويتكون فضاء طور النظام عادةً من جزر من المدارات المنتظمة محاطة ببحر واسع من المدارات الفوضوية. يُساعد وجود هذا البحر الفوضوي، حيث يكون النقل مسموحًا كلاسيكيًا، بين حلقتين متناظرتين على النفق الكمومي بينهما. تُعرف هذه الظاهرة بالنفق بمساعدة الفوضى ^{[ 47 ]} ، وتتميز برنين حاد لمعدل النفق عند تغيير أي من معلمات النظام.

متى${\displaystyle \hbar }$نظرًا لصغر حجمها مقارنةً بحجم الجزر المنتظمة، فإن البنية الدقيقة للفضاء الطوري الكلاسيكي تلعب دورًا رئيسيًا في ظاهرة النفق الكمومي. وعلى وجه الخصوص، يرتبط الحلقان المتناظران "عبر سلسلة من الانتقالات المحظورة كلاسيكيًا عبر الرنين غير الخطي" المحيط بالجزيرتين. ^{[ 48 ]}