حكم مواليد

قاعدة بورن هي إحدى مسلمات ميكانيكا الكم، وتحدد احتمالية أن ينتج عن قياس نظام كمي نتيجة معينة. في أحد تطبيقاتها الشائعة، تنص على أن كثافة الاحتمال لوجود جسيم في موضع معين تتناسب طرديًا مع مربع سعة دالة الموجة للنظام عند ذلك الموضع. وقد صاغها ونشرها الفيزيائي الألماني ماكس بورن في يوليو 1926. ^{[ 1 ]}

تنص قاعدة بورن على أن الكمية القابلة للرصد ، المقاسة في نظام ذي دالة موجية معيارية،${\displaystyle |\psi \rangle }$(انظر تدوين برا-كيت )، يتوافق مع مؤثر ذاتي الترافق${\displaystyle A}$الذي يكون طيفه منفصلاً إذا:

• ستكون النتيجة المقاسة إحدى القيم الذاتية${\displaystyle \lambda }$ل${\displaystyle A}$، و
• احتمالية قياس قيمة ذاتية معينة${\displaystyle \lambda _{i}}$سوف يساوي${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$، أين${\displaystyle P_{i}}$هو الإسقاط على الفضاء الذاتي لـ${\displaystyle A}$بما يتوافق مع${\displaystyle \lambda _{i}}$.

(في حالة كون الفضاء الذاتي لـ${\displaystyle A}$بما يتوافق مع${\displaystyle \lambda _{i}}$هو أحادي البعد ويمتد بواسطة المتجه الذاتي المعياري${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$،${\displaystyle P_{i}}$يساوي${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$لذا فإن الاحتمال${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$يساوي${\displaystyle \langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$بما أن العدد المركب${\displaystyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$يُعرف باسم سعة الاحتمال لمتجه الحالة${\displaystyle |\psi \rangle }$يُسند إلى المتجه الذاتي${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$من الشائع وصف قاعدة بورن بأنها تنص على أن الاحتمال يساوي مربع السعة (في الواقع، السعة مضروبة في مرافقها المركب ). وبصورة مكافئة، يمكن كتابة الاحتمال على النحو التالي:${\displaystyle {\big |}\langle \lambda _{i}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$.)

في حالة طيف${\displaystyle A}$إذا لم تكن منفصلة تمامًا، فإن نظرية الطيف تثبت وجود مقياس معين ذي قيمة إسقاطية (PVM).${\displaystyle Q}$، المقياس الطيفي لـ${\displaystyle A}$في هذه الحالة:

• احتمال أن تقع نتيجة القياس ضمن مجموعة قابلة للقياس${\displaystyle M}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$.

فعلى سبيل المثال، يمكن وصف جسيم واحد عديم البنية بواسطة دالة موجية${\displaystyle \psi }$يعتمد ذلك على إحداثيات الموقع${\displaystyle (x,y,z)}$وإحداثيات زمنية${\displaystyle t}$تشير قاعدة بورن إلى أن دالة كثافة الاحتمال${\displaystyle p}$لنتيجة قياس موضع الجسيم في وقت${\displaystyle t_{0}}$يكون: $${\displaystyle p(x,y,z,t_{0})=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.}$$ يمكن أيضًا استخدام قاعدة بورن لحساب الاحتمالات (للقياسات ذات المجموعات المنفصلة من النتائج) أو كثافات الاحتمال (للقياسات ذات القيم المستمرة) للملاحظات الأخرى، مثل الزخم والطاقة والزخم الزاوي.

في بعض التطبيقات، يُعمَّم هذا الأسلوب في معالجة قاعدة بورن باستخدام مقاييس ذات قيم موجبة للمؤثر (POVM) . مقياس POVM هو مقياس تكون قيمه عبارة عن مؤثرات شبه موجبة على فضاء هيلبرت . تُعدّ مقاييس POVM تعميمًا لقياسات فون نيومان، وبالمثل، تُعدّ القياسات الكمومية الموصوفة بمقاييس POVM تعميمًا للقياسات الكمومية الموصوفة بمتغيرات ذاتية الترافق. تشبيهًا تقريبيًا، يُشبه مقياس POVM مقياس PVM كما تُشبه الحالة المختلطة الحالة النقية . تُستخدم الحالات المختلطة لتحديد حالة نظام فرعي ضمن نظام أكبر (انظر تنقية الحالة الكمومية )؛ وبالمثل، تُعدّ مقاييس POVM ضرورية لوصف تأثير القياس الإسقاطي المُجرى على نظام أكبر على نظام فرعي. تُعدّ مقاييس POVM أكثر أنواع القياسات عمومية في ميكانيكا الكم، ويمكن استخدامها أيضًا في نظرية الحقل الكمومي . ^{[ 2 ]} وهي تُستخدم على نطاق واسع في مجال المعلومات الكمومية .

في أبسط حالات مصفوفة POVM ذات عدد محدود من العناصر التي تعمل على فضاء هيلبرت ذي أبعاد محدودة ، تكون مصفوفة POVM عبارة عن مجموعة من المصفوفات شبه المحددة الموجبة.${\displaystyle \{F_{i}\}}$في مساحة هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {H}}}$مجموعها يساوي مصفوفة الوحدة ، : ^{[ 3 ] : 90}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=I.}$$

عنصر POVM${\displaystyle F_{i}}$يرتبط بنتيجة القياس${\displaystyle i}$، بحيث يكون احتمال الحصول عليه عند إجراء قياس على الحالة الكمومية${\displaystyle \rho }$يُعطى بواسطة:

$${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}),}$$

أين${\displaystyle \operatorname {tr} }$هو عامل الأثر . هذه هي نسخة POVM من قاعدة بورن. عندما تكون الحالة الكمومية المقاسة حالة نقية${\displaystyle |\psi \rangle }$تُختزل هذه الصيغة إلى: $${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} {\big (}|\psi \rangle \langle \psi |F_{i}{\big )}=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle .}$$

قاعدة بورن، بالإضافة إلى وحدة عامل تطور الزمن${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t}}$(أو، بشكل مكافئ، الهاميلتوني)${\displaystyle {\hat {H}}}$كون الدالة هيرميتية (Hermitian ) يعني وحدة النظرية: فالدالة الموجية التي تتطور زمنيًا بواسطة مؤثر وحدوي ستبقى مُعَيَّرة بشكل صحيح. (في الحالة الأكثر عمومية، حيث يُنظر إلى التطور الزمني لمصفوفة الكثافة ، يُضمن التعيير الصحيح باشتراط أن يكون التطور الزمني دالة تحافظ على الأثر، وموجبة تمامًا ).

صاغ بورن قاعدة بورن في ورقة بحثية عام 1926. ^{[ 4 ]} في هذه الورقة، حلّ بورن معادلة شرودنغر لمسألة تشتت، واستلهامًا من ألبرت أينشتاين وقاعدة أينشتاين الاحتمالية للتأثير الكهروضوئي ، ^{[ 5 ]} خلص في حاشية إلى أن قاعدة بورن تُعطي التفسير الوحيد الممكن للحل. (يذكر متن المقالة أن السعة "تُعطي الاحتمال" ، بينما تُشير الحاشية المُضافة في البرهان إلى أن الاحتمال يتناسب طرديًا مع مربع مقدارها). في عام 1954، مُنح بورن، بالاشتراك مع والتر بوث ، جائزة نوبل في الفيزياء لهذا العمل وغيره. ^{[ 5 ]} ناقش جون فون نيومان تطبيق نظرية الطيف على قاعدة بورن في كتابه الصادر عام 1932. ^{[ 6 ]}