حجج الكتب الهولندية

في نظرية القرار ، والاقتصاد ، ونظرية الاحتمالات ، تُعدّ حجج "الرهان الهولندي" مجموعة من النتائج التي تُبيّن أن على الأفراد الالتزام بمُسلّمات الاختيار العقلاني لتجنّب نوع من التناقض الذاتي يُسمى "الرهان الهولندي". والرهان الهولندي ، الذي يُطلق عليه أحيانًا " مضخة المال" ، هو مجموعة من الرهانات التي تضمن خسارة مُؤكدة، أي أن المقامر سيخسر المال مهما حدث. ^{[ 1 ]} وتُسمى مجموعة الرهانات "متماسكة" إذا لم تُؤدِّ إلى "رهان هولندي".

تُستخدم حجج الكتاب الهولندي لاستكشاف درجات اليقين في المعتقدات، وإثبات أن واضعي الرهانات العقلانيين يجب أن يكونوا بايزيين ؛ ^{[ 2 ]} بعبارة أخرى، يجب على واضع الرهانات العقلاني أن يخصص احتمالات الأحداث التي تتصرف وفقًا لبديهيات الاحتمال ، ويجب أن تكون لديه تفضيلات يمكن نمذجتها باستخدام بديهيات فون نيومان-مورجنسترن .

في علم الاقتصاد، تُستخدم هذه النماذج لنمذجة السلوك من خلال استبعاد الحالات التي يُهدر فيها الأفراد أموالهم دون مقابل حقيقي. تُسمى النماذج القائمة على افتراض عقلانية الأفراد بنماذج الاختيار العقلاني . ويُضعف هذا الافتراض في النماذج السلوكية لصنع القرار.

طُرحت التجربة الفكرية لأول مرة من قبل عالم الاحتمالات الإيطالي برونو دي فينيتي والعالم الإنجليزي الموسوعي فرانك ب. رامزي ، على ما يبدو بشكل مستقل، لتبرير الاحتمال البايزي . ^{[ 1 ] [ 3 ]} وقد تم استكشافها بشكل أكثر شمولاً من قبل ليونارد سافاج ، الذي طورها إلى نموذج كامل للاختيار العقلاني.

لنفترض أن لدينا لاعبين، أ و ب. يجب على اللاعب أ تحديد سعر وعد بدفع دولار واحد إذا فاز جون سميث في انتخابات الغد. سيتمكن اللاعب ب من الاختيار بين شراء الوعد من أ بالسعر الذي حدده، أو إلزام أ بشرائه بنفس السعر. بعبارة أخرى: يحدد اللاعب أ احتمالات الفوز، بينما يقرر اللاعب ب أي جانب من الرهان سيختار. يُطلق على السعر الذي يحدده أ اسم "الاحتمال العملي الذاتي".

إذا قرر اللاعب (أ) أن احتمالية فوز جون سميث تبلغ 12.5%، فقد يحدد نسبة 7:1 ضده. هذا التقييم التقديري - أو ما يُعرف بـ"الاحتمالية التشغيلية الذاتية" - هو ما يحدد قيمة الربح في حالة الرهان الناجح. فالرهان بدولار واحد بهذه النسبة سيؤدي إما إلى خسارة دولار واحد (في حال خسارة سميث) أو ربح سبعة دولارات (في حال فوزه). في هذا المثال، سيُعاد الدولار الواحد إلى اللاعب في حال فوزه.

يخلص المنطق الهولندي التقليدي إلى أن الأفراد العقلانيين يجب أن يمتلكوا احتمالات ذاتية للأحداث العشوائية، وأن هذه الاحتمالات يجب أن تستوفي بديهيات الاحتمالات القياسية. بعبارة أخرى، يجب على أي شخص عقلاني أن يكون مستعدًا لتخصيص احتمال ذاتي (كمي) لأحداث مختلفة.

تجدر الإشارة إلى أن هذا الطرح لا يعني أن الأفراد مستعدون للانخراط في المقامرة بالمعنى التقليدي. فكلمة "مراهنة" هنا تشير إلى أي نوع من القرارات التي تُتخذ في ظل عدم اليقين . على سبيل المثال، يُعد شراء سلعة غير مألوفة من متجر كبير نوعًا من "المراهنة" (إذ يراهن المشتري على جودة المنتج)، وكذلك ركوب السيارة ("المراهنة" على أن السائق لن يتسبب في حادث).

الوحدة

في أحد الأمثلة، عرض وكيل مراهنات الاحتمالات التالية، وجذب رهانًا واحدًا على كل حصان، حيث أن حجم كل حصان يجعل النتيجة غير ذات صلة. الاحتمالات الضمنية، أي احتمال فوز كل حصان، مجموعها أكبر من 1، مما يخالف مبدأ الوحدة .

رقم الحصان	الاحتمالات المعروضة	الاحتمال الضمني	سعر الرهان	يدفع وكيل المراهنات إذا فاز الحصان
1	حتى	${\displaystyle {\frac {1}{1+1}}=0.5}$	100 دولار	رهان بقيمة 100 دولار + 100 دولار
2	3 مقابل 1 ضد	${\displaystyle {\frac {1}{3+1}}=0.25}$	50 دولارًا	مبلغ ٥٠ دولارًا + ١٥٠ دولارًا
3	4 إلى 1 ضد	${\displaystyle {\frac {1}{4+1}}=0.2}$	40 دولارًا	مبلغ 40 دولارًا + 160 دولارًا
4	9 إلى 1 ضد	${\displaystyle {\frac {1}{9+1}}=0.1}$	20 دولارًا	مبلغ 20 دولارًا + 180 دولارًا
		المجموع: 1.05	الإجمالي: 210 دولارًا	دائماً: 200 دولار

أياً كان الحصان الفائز في هذا المثال، سيدفع وكيل المراهنات 200 دولار (بما في ذلك إعادة مبلغ الرهان الفائز) - لكن المراهن راهن بمبلغ 210 دولارات، وبالتالي تكبد خسارة قدرها 10 دولارات في السباق.

لكن، إذا تم سحب الحصان رقم 4 ولم يقم وكيل المراهنات بتعديل احتمالات الفوز الأخرى، فإن مجموع الاحتمالات الضمنية سيصل إلى 0.95. في هذه الحالة، يمكن للمقامر دائمًا تحقيق ربح قدره 10 دولارات عن طريق المراهنة بمبلغ 100 دولار، و50 دولارًا، و40 دولارًا على الخيول الثلاثة المتبقية على التوالي، دون الحاجة إلى المراهنة بمبلغ 20 دولارًا على الحصان المسحوب، الذي أصبح الآن غير قادر على الفوز.

يُقال إن الشخص الذي يحدد أسعار مجموعة من الرهانات بطريقة تضمن له ربحًا صافيًا بغض النظر عن النتيجة، قد أنشأ "مراهنة هولندية". عندما يمتلك شخص ما "مراهنة هولندية"، يخسر خصمه دائمًا. الشخص الذي يحدد الأسعار بطريقة تمنح خصمه "مراهنة هولندية" لا يتصرف بعقلانية.

والآن تخيل سيناريو أكثر تعقيداً. يجب تحديد أسعار ثلاثة وعود:

• دفع دولار واحد إذا فاز فريق ريد سوكس في مباراة الغد: يخسر مشتري هذا الوعد رهانه إذا لم يفز فريق ريد سوكس بغض النظر عما إذا كان سبب خسارتهم هو انتهاء المباراة أو إلغاؤها، و
• دفع دولار واحد في حال فوز فريق ريد سوكس، وردّ ثمن الوعد في حال إلغاء المباراة، و
• دفع دولار واحد إذا انتهت اللعبة، بغض النظر عن الفائز.

هناك ثلاث نتائج محتملة: إلغاء المباراة؛ لعب المباراة وخسارة فريق ريد سوكس؛ لعب المباراة وفوز فريق ريد سوكس. يمكن تحديد الأسعار بطريقة تجعل

$${\displaystyle {\text{السعر}}({\text{المباراة المكتملة}})\times {\text{السعر}}({\text{فوز ريد سوكس}}\mid {\text{المباراة المكتملة}})\neq {\text{السعر}}({\text{فوز ريد سوكس والمباراة المكتملة}})}$$

(حيث يمثل السعر الثاني أعلاه سعر الرهان الذي يشمل استرداد المبلغ في حالة الإلغاء). (ملاحظة: الأسعار هنا هي أرقام لا بُعدية ناتجة عن القسمة على دولار واحد، وهو المبلغ المدفوع في الحالات الثلاث). يكتب الخصم الحصيف ثلاث متباينات خطية في ثلاثة متغيرات. المتغيرات هي المبالغ التي سيستثمرها في كل وعد من الوعود الثلاثة؛ قيمة أحد هذه المتغيرات سالبة إذا كان سيجبر مُحدد السعر على شراء ذلك الوعد، وموجبة إذا كان سيشتريه. كل متباينة تُقابل إحدى النتائج الثلاث المُحتملة. تنص كل متباينة على أن صافي ربح الخصم أكبر من الصفر. يوجد حل إذا كان مُحدد المصفوفة لا يساوي صفرًا. هذا المُحدد هو:

$${\displaystyle {\text{السعر}}({\text{المباراة المكتملة}})\times {\text{السعر}}({\text{فوز فريق ريد سوكس}}\mid {\text{المباراة المكتملة}})-{\text{السعر}}({\text{فوز فريق ريد سوكس والمباراة المكتملة}}).}$$

وبالتالي، يمكن للخصم الحصيف أن يجعل من يحدد السعر خاسراً مؤكداً ما لم يحدد المرء أسعاره بطريقة توازي أبسط توصيف تقليدي للاحتمال الشرطي .

في سباق كنتاكي ديربي لعام 2015 ، حُدِّدت احتمالات فوز الحصان المرشح الأوفر حظاً ("أميريكان فرعون") بنسبة 5:2، والحصان الثاني بنسبة 3:1، والثالث بنسبة 8:1. أما باقي الخيول، فكانت احتمالات فوزها أقل من 12:1. وبناءً على هذه الاحتمالات، فإن رهانًا بقيمة 10 دولارات على كل حصان من الخيول الثمانية عشر المشاركة سيؤدي إلى خسارة صافية في حال فوز الحصان المرشح الأوفر حظاً أو الحصان الثاني.

مع ذلك، إذا افترضنا أن أي حصان بنسبة فوز 12:1 أو أعلى لن يفوز، وراهنّا بـ 10 دولارات على كل من الخيول الثلاثة الأولى، فإننا نضمن على الأقل ربحًا بسيطًا. فوز الحصان المرشح للفوز (الذي فاز بالفعل) سيُدرّ ربحًا قدره 25 دولارًا، بالإضافة إلى مبلغ الرهان الأصلي البالغ 10 دولارات، ليصبح الرصيد النهائي 35 دولارًا (بزيادة صافية قدرها 5 دولارات). أما فوز الحصان المرشح الثاني فسيُدرّ ربحًا قدره 30 دولارًا بالإضافة إلى مبلغ الرهان الأصلي البالغ 10 دولارات، بزيادة صافية قدرها 10 دولارات. وفوز الحصان المرشح الثالث سيُدرّ ربحًا قدره 80 دولارًا بالإضافة إلى مبلغ الرهان الأصلي البالغ 10 دولارات، بزيادة صافية قدرها 60 دولارًا.

هذا النوع من الاستراتيجيات، فيما يتعلق بالثلاثة الأوائل فقط، يُشكل ما يُعرف بـ"الكتاب الهولندي". أما إذا أخذنا في الاعتبار جميع المتنافسين الثمانية عشر، فلا وجود لـ"كتاب هولندي" في هذه المنافسة.

في علم الاقتصاد، يُعدّ المثال الكلاسيكي لحالة يمكن فيها استغلال المستهلك من خلال "الحجز الهولندي" هو امتلاكه تفضيلات غير متعدية . تفترض النظرية الاقتصادية الكلاسيكية أن التفضيلات متعدية : فإذا اعتقد شخص ما أن الخيار (أ) أفضل من الخيار (ب)، وأن الخيار (ب) أفضل من الخيار (ج)، فلا بد أن يعتقد أن الخيار (أ) أفضل من الخيار (ج). علاوة على ذلك، لا يمكن أن توجد "دورات" في التفضيلات.

تشير حجة مضخة المال إلى أنه إذا كان لدى شخص ما مجموعة من التفضيلات غير المتعدية، فإنه يمكن استغلاله (ضخه) للحصول على المال حتى يُجبر على الخروج من السوق. تخيل أن جين لديها 20 دولارًا لشراء الفاكهة. يمكنها ملء سلتها إما بالبرتقال أو التفاح. تفضل جين الحصول على دولار واحد بدلًا من تفاحة، وتفاحة بدلًا من برتقالة، وبرتقالة بدلًا من دولار واحد. ولأن جين تفضل الحصول على برتقالة على دولار واحد، فهي على استعداد لشراء برتقالة بأكثر من دولار بقليل (ربما 1.10 دولار). ثم تستبدل برتقالتها بتفاحة، لأنها تفضل الحصول على تفاحة على برتقالة. أخيرًا، تبيع تفاحتها مقابل دولار واحد، لأنها تفضل الحصول على دولار واحد على تفاحة. عند هذه النقطة، يتبقى لدى جين 19.90 دولارًا، وقد خسرت 10 سنتات ولم تربح شيئًا في المقابل. يمكن تكرار هذه العملية حتى لا يتبقى لدى جين أي مال. (لاحظ أنه إذا كانت جين تحمل هذه التفضيلات حقًا، فلن ترى أي خطأ في هذه العملية؛ في كل خطوة، توافق جين على أنها أصبحت في وضع أفضل.) بعد نفاد أموالها، يجب على جين الخروج من السوق، وتتوقف تفضيلاتها وأفعالها عن أن تكون ذات صلة اقتصادية.

تُظهر التجارب في الاقتصاد السلوكي أن الأفراد قد يخالفون شرط التفضيلات المتعدية عند مقارنة الرهانات. ^{[ 4 ]} ومع ذلك، فإن معظم الأفراد لا يتخذون هذه الخيارات في المقارنات داخل الفرد نفسه حيث يكون التناقض واضحًا بشكل جليّ (بمعنى آخر، لا يمتلك الأفراد تفضيلات غير متعدية حقيقية، بل يرتكبون أخطاءً عند اتخاذ الخيارات باستخدام الاستدلالات ).

يجادل الاقتصاديون عادةً بأن الأشخاص ذوي التفضيلات المشابهة لتفضيلات جين سيخسرون ثرواتهم بالكامل في السوق. إذا كان هذا هو الحال، فلن نلاحظ تفضيلات تتسم بعدم التعدي أو غيرها من الخصائص التي تسمح باستغلالها. مع ذلك، إذا كان الأفراد على دراية جيدة بعدم التعدي لديهم، أو إذا أدت المنافسة من قبل المضاربين إلى انخفاض قيمة إبسيلون إلى الصفر، فقد تظل التفضيلات غير "القياسية" قابلة للملاحظة.

يمكن إثبات أن مجموعة الأسعار متماسكة عندما تستوفي بديهيات الاحتمالية والنتائج ذات الصلة مثل مبدأ الإدراج والاستبعاد .

يمكن تطبيق حجج الكتب الهولندية على التجارب الفكرية في نظرية الاحتمالات ، مثل معضلة الجميلة النائمة . وقد جادل فلاسفة مثل كريستوفر هيتشكوك بأن الجميلة النائمة تخضع لحجج الكتب الهولندية إذا ما أعطت مصداقية بنسبة 1/2. ^{[ 5 ]} وقد قيل إن أصحاب نظرية النصف يمكنهم تجنب حجج الكتب الهولندية من خلال تبني نظرية القرار القائمة على الأدلة . ومع ذلك، يرى فنسنت كونيتزر أن أصحاب نظرية النصف ما زالوا يتأثرون بحجج الكتب الهولندية حتى بعد تبني نظرية القرار القائمة على الأدلة. ^{[ 6 ]}

• "نظرية المعرفة البايزية"
• حجج الكتاب الهولندي في موسوعة ستانفورد للفلسفة.
• الاحتمالات كنسبة الرهان، تقرير من إعداد سي. كيفز.
• ملاحظات حول حجة الكتاب الهولندي، بقلم د. أ. فريدمان.